把脉中考：哪些函数问题最易失分
房延华 汪春梅
中考试题中有关函数的许多题目，求解的思路不难，但解题时，学生往往由于审题不清、考虑不周而错解.为帮助老师们在复习阶段搞好函数部分的复习，现将函数部分学生最容易失分的考点归纳如下.
1混淆纵坐标、横坐标在解析式中的对应关系
例1（2014年武汉市）已知直线y=2x-b经过点（1，-1），求关于x的不等式2x-b≥0的解集.
失分错因及分析有的同学由于错将函数图象上点的横、纵坐标与函数解析式中的x、y的对应关系混淆，而错求b=-3，导致后续错误.当点M（x，y）满足某函数解析式时，横坐标对应解析式中的x，纵坐标对应解析式中的y.正确解答应该是：把点（1，-1）代入直线y=2x-b得，-1=2-b，解得b=3.解2x-3≥0，得x≥32.
2对函数的图像与系数的符号之间的关系不清
例2（2014年抚州市）如，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=6x（x>0）和y=kx（x<0）的图象交于点P、点Q.
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值.
失分错因及分析（1）因为PQ∥x轴，所以点P的纵坐标为2，把y=2代入y=6x，得x=3，所以P点坐标为（3，2）；对于（2），有的同学由反比例函数k的几何意义，由S△POQ=S△OMQ+S△OMP，得12k+12×6=8，所以k=10.事实上，由知，反比例函数y=kx的图象的一支在第二象限，故k<0.正确解答应是：12|k|+12×6=8，所以|k|=10，所以k=±10.因为k<0，k=-10.
例3（2014年巴中市）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2，则下列叙述正确的是（）
A.abc<0B.-3a+c<0
C.b2-4ac≥0
D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
失分错因及分析有的同学将抛物线的开口方向与a的符号相混或不能准确判定b、c的符号而错选A，事实上，因为抛物线的开口向下，所以a<0，抛物线与y轴负半轴相交，所以c<0；对称轴x=-b2a=2>0，所以b>0，所以abc>0.
有的同学对用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴交点的个数这一知识掌握不清，而错选B，事实上，本题中抛物线与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2-4ac>0，故本选项错误.
由图知抛物线顶点横坐标为2，图象向左平移2个单位后横坐标为0，有的同学误认为平移后解析式为y=ax2+c.事实上，y=ax2+bx+c=a（x-2）2+4ac-b24a，因为x=-b2a=2，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+4ac-b24a，故本选项错误.
根据对称轴x=-b2a=2，得b=-4a，再根据图象，知当x=1时，y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c<0，故本选项正确，答案应选B.
3记错函数解析式的模式
例4（2014年绍兴市）如的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19（x-6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.
失分错因及分析有的同学认为：如，易得抛物线的顶点坐标为（-6，4），设抛物线解析式为y=a（x-6）2+4，将（-12，0）代入y=a（x-6）2+4，得a=-19，所以选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19（x-6）2+4.事实上，若二次函数的顶点坐标为（h，k），则二次函数的解析式可设为y=a（x-h）2+k，上述错解设成了y=a（x+h）2+k的形式.正确答案为y=-19（x+6）2+4.
4考虑问题不全面
例5（2014年株洲市）如果函数y=（a-1）x2+3x+a+5a-1的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是.
失分错因及分析有的同学认为函数图象经过四个象限，需满足2个条件：函数是二次函数；二次函数与x轴有两个交点.即a-1≠0，a≠1；Δ=9-4（a-1）·a+5a-1=-4a-11>0，解得a<-114.所以a的取值范围是a<-114.
事实上，借助草图分析，不难发现函数图象经过四个象限，除应满足以上两个条件外，还应满足条件“二次函数与y轴的正半轴相交”，即a+5a-1>0，解得a>1或a<-5.综上a的取值范围是a<-5.
5忽略实际问题中自变量的取值范围
例6（2014年成都市）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
失分错因及分析大部分同学都能顺利解答（1）小题：因为AB=xm，所以BC=（28-x）m，所以x（28-x）=192，解得x1=12，x2=16.即x的值为12m或16m.
但对于第（2）小题，有同学是这样解的：由题意，S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196.所以当x=14时，S取到最大值，Smax=196（m2）.
致错原因在于，错解忽略了条件“树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内”对x的限制作用，顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，可借助图象进行分析以求取最值.正确解答应该是：（2）由题意，S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196.
因为在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，且要将这棵树围在花园内，所以应有x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.
所以根据二次函数增减性，知当x=13时，S取到最大值，S最大=-（13-14）2+196=195（平方米）.
花园面积S的最大值为195平方米.
6缺乏分类意识致错
例7（2014年舟山市）当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）.
A.-74B.3或-3
C.2或-3D.2或-3或-74
失分错因及分析有的同学是这样解的：x=m时，二次函数有最大值m2+1，此时m2+1=4，解得m=-3，m=3，从而错选B.上述错解一方面忽略了-2≤x≤1，所以m=3应舍去，另一方面由于受二次函数在顶点处取得最值的思维定势的影响，错误地认定m满足-2≤x≤1.
本题应根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解：
二次函数的对称轴为直线x=m.
①若m<-2，x=-2时二次函数有最大值，此时-（-2-m）2+m2+1=4，解得m=-74，这与m<-2矛盾，故m值不存在.
②若﹣2≤m≤1，x=m时，二次函数有最大值m2+1，此时m2+1=4，解得m=-3，m=3（舍去）.
③若m>1，x=1时，二次函数有最大值，此时，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2，
综上所述，m的值为2或-3.故选C.
例8（2014年资阳市）如，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0
对于（2）小题，△ABM为等腰三角形，但由于等腰三角形腰、底指向不明，而有的同学易忽略分类讨论.正确解答应是：①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+32）或M（0，3-32）.所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+32）、（0，3﹣32）.
对于（3）小题，在△AOB沿x轴向右平移的过程，应分二种情况：①0
b1=3.解得k1=-1，
b1=3.
则直线AB的解析式为y=-x+3.
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0
k2+b2=4.解得k2=-2，
b2=6.则直线AC的解析式为y=-2x+6.
连结BE，直线BE交AC于G，则G（32，3）.在△AOB沿x轴向右平移的过程中，
①当0
y=-x+3+m，解得x=3-m
y=2m.即点M（3-m，2m）.
所以S=S△PEF-S△PAK-S△AFM=12PE2-12PK2-12AF·h=92-12（3-m）2-12m·2m=-32m2+3m.
②当32
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，y=6-2m，所以点H（m，6-2m）.
所以S=S△PAH-S△PAK=12PA·PH-12PA2=-12（3-m）·（6-2m）-12（3-m）2=12m2-3m+92.
综上所述，当0
中考试题中有关函数的许多题目，求解的思路不难，但解题时，学生往往由于审题不清、考虑不周而错解.为帮助老师们在复习阶段搞好函数部分的复习，现将函数部分学生最容易失分的考点归纳如下.
1混淆纵坐标、横坐标在解析式中的对应关系
例1（2014年武汉市）已知直线y=2x-b经过点（1，-1），求关于x的不等式2x-b≥0的解集.
失分错因及分析有的同学由于错将函数图象上点的横、纵坐标与函数解析式中的x、y的对应关系混淆，而错求b=-3，导致后续错误.当点M（x，y）满足某函数解析式时，横坐标对应解析式中的x，纵坐标对应解析式中的y.正确解答应该是：把点（1，-1）代入直线y=2x-b得，-1=2-b，解得b=3.解2x-3≥0，得x≥32.
2对函数的图像与系数的符号之间的关系不清
例2（2014年抚州市）如，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=6x（x>0）和y=kx（x<0）的图象交于点P、点Q.
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值.
失分错因及分析（1）因为PQ∥x轴，所以点P的纵坐标为2，把y=2代入y=6x，得x=3，所以P点坐标为（3，2）；对于（2），有的同学由反比例函数k的几何意义，由S△POQ=S△OMQ+S△OMP，得12k+12×6=8，所以k=10.事实上，由知，反比例函数y=kx的图象的一支在第二象限，故k<0.正确解答应是：12|k|+12×6=8，所以|k|=10，所以k=±10.因为k<0，k=-10.
例3（2014年巴中市）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2，则下列叙述正确的是（）
A.abc<0B.-3a+c<0
C.b2-4ac≥0
D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
失分错因及分析有的同学将抛物线的开口方向与a的符号相混或不能准确判定b、c的符号而错选A，事实上，因为抛物线的开口向下，所以a<0，抛物线与y轴负半轴相交，所以c<0；对称轴x=-b2a=2>0，所以b>0，所以abc>0.
有的同学对用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴交点的个数这一知识掌握不清，而错选B，事实上，本题中抛物线与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2-4ac>0，故本选项错误.
由图知抛物线顶点横坐标为2，图象向左平移2个单位后横坐标为0，有的同学误认为平移后解析式为y=ax2+c.事实上，y=ax2+bx+c=a（x-2）2+4ac-b24a，因为x=-b2a=2，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+4ac-b24a，故本选项错误.
根据对称轴x=-b2a=2，得b=-4a，再根据图象，知当x=1时，y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c<0，故本选项正确，答案应选B.
3记错函数解析式的模式
例4（2014年绍兴市）如的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19（x-6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.
失分错因及分析有的同学认为：如，易得抛物线的顶点坐标为（-6，4），设抛物线解析式为y=a（x-6）2+4，将（-12，0）代入y=a（x-6）2+4，得a=-19，所以选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19（x-6）2+4.事实上，若二次函数的顶点坐标为（h，k），则二次函数的解析式可设为y=a（x-h）2+k，上述错解设成了y=a（x+h）2+k的形式.正确答案为y=-19（x+6）2+4.
4考虑问题不全面
例5（2014年株洲市）如果函数y=（a-1）x2+3x+a+5a-1的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是.
失分错因及分析有的同学认为函数图象经过四个象限，需满足2个条件：函数是二次函数；二次函数与x轴有两个交点.即a-1≠0，a≠1；Δ=9-4（a-1）·a+5a-1=-4a-11>0，解得a<-114.所以a的取值范围是a<-114.
事实上，借助草图分析，不难发现函数图象经过四个象限，除应满足以上两个条件外，还应满足条件“二次函数与y轴的正半轴相交”，即a+5a-1>0，解得a>1或a<-5.综上a的取值范围是a<-5.
5忽略实际问题中自变量的取值范围
例6（2014年成都市）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
失分错因及分析大部分同学都能顺利解答（1）小题：因为AB=xm，所以BC=（28-x）m，所以x（28-x）=192，解得x1=12，x2=16.即x的值为12m或16m.
但对于第（2）小题，有同学是这样解的：由题意，S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196.所以当x=14时，S取到最大值，Smax=196（m2）.
致错原因在于，错解忽略了条件“树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内”对x的限制作用，顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，可借助图象进行分析以求取最值.正确解答应该是：（2）由题意，S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196.
因为在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，且要将这棵树围在花园内，所以应有x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.
所以根据二次函数增减性，知当x=13时，S取到最大值，S最大=-（13-14）2+196=195（平方米）.
花园面积S的最大值为195平方米.
6缺乏分类意识致错
例7（2014年舟山市）当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）.
A.-74B.3或-3
C.2或-3D.2或-3或-74
失分错因及分析有的同学是这样解的：x=m时，二次函数有最大值m2+1，此时m2+1=4，解得m=-3，m=3，从而错选B.上述错解一方面忽略了-2≤x≤1，所以m=3应舍去，另一方面由于受二次函数在顶点处取得最值的思维定势的影响，错误地认定m满足-2≤x≤1.
本题应根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解：
二次函数的对称轴为直线x=m.
①若m<-2，x=-2时二次函数有最大值，此时-（-2-m）2+m2+1=4，解得m=-74，这与m<-2矛盾，故m值不存在.
②若﹣2≤m≤1，x=m时，二次函数有最大值m2+1，此时m2+1=4，解得m=-3，m=3（舍去）.
③若m>1，x=1时，二次函数有最大值，此时，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2，
综上所述，m的值为2或-3.故选C.
例8（2014年资阳市）如，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0
对于（2）小题，△ABM为等腰三角形，但由于等腰三角形腰、底指向不明，而有的同学易忽略分类讨论.正确解答应是：①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+32）或M（0，3-32）.所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+32）、（0，3﹣32）.
对于（3）小题，在△AOB沿x轴向右平移的过程，应分二种情况：①0
b1=3.解得k1=-1，
b1=3.
则直线AB的解析式为y=-x+3.
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0
k2+b2=4.解得k2=-2，
b2=6.则直线AC的解析式为y=-2x+6.
连结BE，直线BE交AC于G，则G（32，3）.在△AOB沿x轴向右平移的过程中，
①当0
y=-x+3+m，解得x=3-m
y=2m.即点M（3-m，2m）.
所以S=S△PEF-S△PAK-S△AFM=12PE2-12PK2-12AF·h=92-12（3-m）2-12m·2m=-32m2+3m.
②当32
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，y=6-2m，所以点H（m，6-2m）.
所以S=S△PAH-S△PAK=12PA·PH-12PA2=-12（3-m）·（6-2m）-12（3-m）2=12m2-3m+92.
综上所述，当0
