念好三字经解题有保证
模拟试题中经常会遇到“两条线段和最小”这类问题.笔者在教学中，指导学生解决这一传统问题时，总结出的解题方法是，作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与这条直线的交点即为所求作的动点，利用轴对称的性质把两条线段之和转化为一条线段.后来将其细化为“三环节”进行，学生掌握得可以，也收到了不错的教学效果.这三个“环节”是：①“作”.即作出其中一个定点关于直线的对称点；②“找”.即把这个对称点和另一个已知定点连接起来，与直线相交于一点，当动点移动到与这个交点重合时，根据“两点之间，线段最短.”可知此时的两线段和最小，即利用转化思想，把两条线段和的最小值转化为一条线段的长；③“求”.即利用勾股定理求出这条线段的长，即为两条线段和的最小值.下面通过几例，说说用这“三环节”解决这类问题的具体步骤，供参考.例1如图1，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=1cm，BD=2cm，AB=4cm.现有一个动点P，从点B向点A运动.当点P运动到何处时PC+PD最小？并求出这个最小值.
指导解法如下：
第一环节：作已知点C关于AB所在直线的对称点C′（如图1）；
第二环节：连结C′D，交AB于点P′.
因为AB是CC′的垂直平分线，所以P′C′=P′C，因此当点P运动到和点P′重合时，根据“两点之间，线段最短.”可知PC+PD最小，它的最小值就是线段C′D的长.
第三环节：作C′E∥AB，与DB延长线交于点E.因为CA⊥AB，DB⊥AB，所以四边形AC′EB为矩形，所以C′E=AB=4，BE=AC′=AC=1，DE=2+1=3，在Rt△DEC′中，C′D=C′E2+DE2=42+32=5，所以C′D=C′P′+P′D=5，即PC+PD的最小值为5cm.
例2如图2，AB是半径为1的⊙O的直径，点M在⊙O上，∠MAB=30°，N为弧MB的中点，点P是直径AB上一个动点，求PM+PN的最小值是多少？
指导解法如下：
①作点N关于直径AB的对称点N′，由垂径定理可知，点N′也在⊙O上；
②连接MN′交AB于点P′，当动点P移动到与P′点重合时PM+PN的值最小，即是线段MN′的长.
③连接OM、ON′，因为圆周角∠MAB=30°，所以圆心角∠BOM=60°，
又因为MN=NB=BN′，所以它们所对的圆心角都为30°，即∠BON′=30°，所以∠MON′=90°.
在Rt△MON′中，MN′=12+12=2，即PM+PN的最小值为2.
例3如图3，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值是多少？
指导解法如下：如图4，
第一步：作A关于OB的对称点D；
第二步：连接CD交OB于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，因为DP=PA，所以PA+PC=PD+PC=CD，PA+PC的最小值为线段CD的长.
第三步：作DN⊥OA于N，因为B（3，3），所以在Rt△OAB中，AB=3，OA=3，∠B=60°，∠BOA=30°.由勾股定理得OB=23，在Rt△OAM中，因为∠BOA=30°，所以AM=12OA=32，所以AD=2×32=3.在Rt△OAM中，因为∠BOA=30°，所以∠OAM=60°.因为DN⊥OA，所以∠NDA=30°，所以AN=12AD=32，由勾股定理得：DN=332，又因为C（12，0），所以CN=AO-AN-OC=3-32-12=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=CN2+DN2=12+（332）2=312，即PA+PC的最小值是312.
作者简介陈国玉，男，中学高级教师.凉州区骨干教师、“教学能手”、“教科研先进个人”，多次荣获学校“优秀教师”、“优秀班主任”称号.有100多篇论文在国家、省市级期刊上发表.
指导解法如下：
第一环节：作已知点C关于AB所在直线的对称点C′（如图1）；
第二环节：连结C′D，交AB于点P′.
因为AB是CC′的垂直平分线，所以P′C′=P′C，因此当点P运动到和点P′重合时，根据“两点之间，线段最短.”可知PC+PD最小，它的最小值就是线段C′D的长.
第三环节：作C′E∥AB，与DB延长线交于点E.因为CA⊥AB，DB⊥AB，所以四边形AC′EB为矩形，所以C′E=AB=4，BE=AC′=AC=1，DE=2+1=3，在Rt△DEC′中，C′D=C′E2+DE2=42+32=5，所以C′D=C′P′+P′D=5，即PC+PD的最小值为5cm.
例2如图2，AB是半径为1的⊙O的直径，点M在⊙O上，∠MAB=30°，N为弧MB的中点，点P是直径AB上一个动点，求PM+PN的最小值是多少？
指导解法如下：
①作点N关于直径AB的对称点N′，由垂径定理可知，点N′也在⊙O上；
②连接MN′交AB于点P′，当动点P移动到与P′点重合时PM+PN的值最小，即是线段MN′的长.
③连接OM、ON′，因为圆周角∠MAB=30°，所以圆心角∠BOM=60°，
又因为MN=NB=BN′，所以它们所对的圆心角都为30°，即∠BON′=30°，所以∠MON′=90°.
在Rt△MON′中，MN′=12+12=2，即PM+PN的最小值为2.
例3如图3，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值是多少？
指导解法如下：如图4，
第一步：作A关于OB的对称点D；
第二步：连接CD交OB于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，因为DP=PA，所以PA+PC=PD+PC=CD，PA+PC的最小值为线段CD的长.
第三步：作DN⊥OA于N，因为B（3，3），所以在Rt△OAB中，AB=3，OA=3，∠B=60°，∠BOA=30°.由勾股定理得OB=23，在Rt△OAM中，因为∠BOA=30°，所以AM=12OA=32，所以AD=2×32=3.在Rt△OAM中，因为∠BOA=30°，所以∠OAM=60°.因为DN⊥OA，所以∠NDA=30°，所以AN=12AD=32，由勾股定理得：DN=332，又因为C（12，0），所以CN=AO-AN-OC=3-32-12=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=CN2+DN2=12+（332）2=312，即PA+PC的最小值是312.
作者简介陈国玉，男，中学高级教师.凉州区骨干教师、“教学能手”、“教科研先进个人”，多次荣获学校“优秀教师”、“优秀班主任”称号.有100多篇论文在国家、省市级期刊上发表.
