数学试题“适”“用”教学的研究
中考数学试题具有引领课堂教学的导向作用，但因“施用”却不“适用”的整体复制模式（搬运试题），导致其实用价值流失.因此，研究其“适用”教学的意义重大.
1试题呈现
题目已知二次函数y=x2+bx+c，其图像抛物线交x轴于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.
（1）求此二次函数关系式；
（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.
分析本题由3个设问构成，是“数形结合”的集大成者，具有极强的选拔功能.问题（1）考查用待定系数法求解析式的基本知识；问题（2）在分类的基础上考查中点坐标法，示范“几何法”简化代数运算的优势；问题（3）在强化分类意识的基础上，借助相似变换获得问题解决方案.就考查本质而言，这道题依然是动态压轴题，带有明显的“静中趋动”、“动中取静”的特征.由抽样反馈可知，后两问的得分率仅为312%，尽管有时间不足问题，其难度仍可见一斑.
实践证明，作为难题，以例题（试题）形式直接呈现于课堂（卷面）的效果了了.若能进行适应性分解、加工与组合，让其穿插在相关课堂的教学结点处，进行必要的、可行的“适用性”教学，则能释放试题滋养课堂原本应有的功用力量.
2“适用”教学的意义
2.1解法研究
问题（1）属于容易题，不再赘述；问题（2）就标准答案而言，在坐标法统摄的基础上，在分类思想的指导下（分CD为平行四边形对角线或边两种情况讨论），借助平行四边形顶点平移过程的一致性（本质是“向量法”），获取点E的纵坐标为2或4，进而达成问题解决目标；问题（3）如，设直线l的函数关系式为y=kx+3，则可知点E坐标为（k+4，k2+4k+3）.过点E作EH⊥x轴，交x轴于H，则点H（k+4，0），G（1，k+3）.进而可得OA·EH=GA·BH，则有Rt△GOA∽Rt△EBH，终归于正确结论.
因问题（2）标准答案采用似“向量法”，过于巧妙，跑偏“大众数学”的价值取向；借助斜率法（两直线平行时k值相等），出现高次方程，对初中生而言，不具有普适性.穷则思变，笔者借助“几何中点法”获取普适简捷的解决方案.当CD为平行四边形的对角线时，则其中点坐标为（1，1），其中C（0，3）、E（x1，x21-4x1+3）、D（2，-1）、F（x2，0），此时EF的中点坐标为（x1+x22，x21-4x1+32）.借助“平行四边形的对角线互相平分”的性质，即可解方程组获取正确答案E（2+3，2）或E（2-3，2）.类似的，当CD为平行四边形的一边时，终归于正确答案（2+5，4）、（2-5，4）.问题（3）在探寻“对应边成比例”的过程中需要引入绝对值符号，给解题带来一定难度.其实，在探得点E、G以及已知点B的坐标后，借助待定系数法求出直线OG和BE的k1值（斜率）相同即可获得待证结论.在这里，命题者试图切入考查相似变换的视角，落实全面考查的命题目标.但笔者认为，用“相似法”获得结论是牵强的，一方面额外增添逻辑步骤，另一方面增加难度系数，有悖于“以简驭繁”数形结合思想的指导方向.
2.2“适”“用”意义
“适用”原指符合客观条件的要求，适合应用.在这里，“适”指插入的试题信息元具有适配性和针对性，贴合学生现实、适合教学内容、符合认知规律；“用”指功用、效用、实用和致用，不是拿来主义的“施用”和照单全收的“试用”.
“适”“用”试题教学的意义可归结为以下两个层面：一是落实（2011年版）课标政策的实施建议.把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.而中考数学试题就是研究整体知识的良好载体，具有多维度视角的可研发性，但要实现适用研究的意义，必须经历过程性改造（分解组合、对号入座），方能承担生长知识“延伸点”的作用；二是契合尼采的通向智慧之门的“三个必经阶段”.第一阶段是合群时期，崇敬、顺从和仿效；第二阶段是“沙漠时期”，自由的精神茁壮成长，重估一切价值；第三阶段是创造时期，在否定的基础上重新进行肯定.中考试题本身具有让学生产生崇敬的魅力，其丰富的思想内涵能让学生在研究中获得长足发展，开放的解法能让学生在鉴别中优化解题思维，进而显化试题“适用”教学的本体价值和创新意义.
3“适用”教学的过程
3.1分解过程
借用高考状元朱海一的话说，她的高分来自于对试题的分解研究.分解的过程就是定向积累的过程，一道有意义的中考题总是由典型知识点的组合伸展而来，在使用时应回归基点，而不是拿来即用.正如波利亚所说的那样，没有任何问题可以解决的十全十美，总剩下些工作要做.这里“剩下要做的工作”就是优化解题方法，对试题进行分解与组合，使其贴近课堂现实，贴合学生思维发展区，进而切实落实试题服务于教学的导向性功能.
就试题表现形式而言：可将问题（1）插入到苏教版《数学》九年级下册第六章“二次函数”第20页习题，作为衍生思维之用并补充“交点式”解法，能让学生在“比较研究”中深化对“顶点式”的理解.将问题（2）插入到本章章末复习题，作为“灵活应用栏”的一个典例使用并聚类分析，能让学生在问题解决中体验“数形结合”思想的优越性，感受数学内部知识的联结之美和简捷质效.将问题（3）改造后回归“一次函数”或“相似三角形”的章末课，作为交汇思维衔接的范例进行适用性教学.
就试题领导教学而言：可将问题（1）改造后回归苏教版八年级《数学》上册“62一次函数”课末，作为引领思维发展的经验题呈现；问题（2）经过外显变式放在一次函数章末课作为例题使用，经过内显变式（变化参数）放在苏教版《数学》八年级下册“93平行四边形”单元课作为例题使用，这样能锻炼学生变换视角看问题的能力，形成正向问题解决的产生式系统；问题（3）就逆向思维培养需求来说，应该放在一次函数章末复习课末端，具有示范考试导向的意义；就命题考查意图来说，应该放在苏教版《数学》九年级下册“探索三角形相似的条件”单元课，作为能力提升题处理，能让学生感受相似变换的考察样态板式，明白中考在此领域的考查视角.
3.2“适”“用”过程
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程内容中指出，“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中”.中考试题蕴含丰富的思想方法，是培养创新意识的良好载体，但照搬会因望而生畏而消化不良，只有结合课堂教学现状对其进行适应性改造，方能契合学生的现有思维水平.唯有立体分解、指向组合、定向把握，方能给学生发现提出问题准备客观条件，给其独立思考、学会思考准备适应的研究对象，给其归纳概括得到猜想和规律并验证提供可行的平台，而这些基于学生学习内需的改造行为，正是试题适用教学的具体创新表现.这就在一定层面回应了“创新意识培养应从义务教育阶段做起”的政策指令，落实了试题“适用教学”课堂研究观.
改造后的试题形态呈现如下：
问题（1）适用形态：已知某函数y=x2+bx+c，其图像与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），请求出b与c的值，并写出该函数关系式.
问题（2）适用形态：①借用苏教版高中《数学》（必修四）第二章“平面向量”第77页练习第2题作为思维铺垫：已知ABCD的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求第四个顶点D的坐标.②借用苏教版《数学》八年级上册第五章“平面直角坐标系”第133页复习题第10题作为分类启示：平行四边形的两个顶点的坐标分别为（-3，0）、（1，0），第三个顶点在y轴上，且与x轴的距离为3个单位长度.求第四个顶点的坐标.③对原创试题进行方向性改造，使其适合单元教育形态：平行四边形的两个顶点C（0，3）、D（2，-1），第三个顶点F在x轴上，第四个顶点E在函数y=x2-4x+3的图像上.试求出点E的坐标.
问题（3）适用形态：已知平面内有一点B（3，0），直线l过函数y=x2-4x+3图像上的一点C（0，3）和另一点E（点E不与点A、B重合）.若过点A（1，0）作AG⊥x轴，交直线l于点G，连OG、BE，试说明OG∥BE.
适用教学说明（就试题领导教学的研究视角）：
问题（1）作为一次函数单元题适用，切入了从特殊到一般的方法，能让学生在研究中领悟函数的本质和待定系数法的能动性；问题（2）作为一次函数章末例题适用，体现梯级思维聚类教学行为，反映分类思想、中点坐标法以及操作不变性思想、数形结合思想等，能让学生在问题解决中感受知识考查的本质和方向.若作为“平行四边形”的单元例题呈现，则能让学生在研讨中体会“从不同角度加以分析”以及“从不同层次进行理解”的本质要义，发展学生的试题解题观和创新意识，证实了尼采“创造阶段”的价值论.问题（3）作为一次函数章末复习题适用，能让学生在思考中感受逆向思维的本质以及知识产生式系统的双向性，锻炼了学生变换视角看问题的能力.若作为“探索三角形相似条件”的单元题适用，则示范数形结合的方法，只是违背优化思想的指导初衷，但就代数背景下的“几何法”能给未来问题解决带来一定的指导意义.正如弗里德曼在《怎样学会解数学题》一书中呼吁，“应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答习题看做是设计和发明的目标.”这与试题“适”“用”教学研究的思想本质是一脉相通的.
有人说，初中阶段的“代数学”可归结为a2，“几何学”可归结为“直角三角形”.换句话说，一道有借鉴价值的中考数学试题，命制的“基点”应该是“a2”和“直角三角形”元概念，命制的“方法”应该是市场化精加工与本土化元创造，命制的“精髓”是形而上数学思想群的复合性渗透；“适”“用”试题教学的过程就是基于在地性思维“组装”的基础上进行针对性“卸载”“穿插”“镶嵌”等课堂机制的运行，终归于试题领导教学的正向作用.
顺便提及，那种只是为了“得个答案”的中考试题教学观，生产了大批量“不开窍”的学生，终将在“过不了升学观”的质疑声中被淘汰；而试题“适”“用”教学的研究行为，终会在能力渐次发展的实践中得到认同和中肯.
作者简介朱桂凤，女，中学高级教师.连云港市“首批学术领军人才”培养对象、第五期“521工程”培养对象、“333工程”培养对象、“精品课题”培育对象；获2014年国家基础教育教学成果二等奖，2013年江苏省基础教育教学成果特等奖，2014年市精品课题成果一等奖，市教学基本功一等奖；主持省、市“十二五”教育科学规划课题多项，参与国家级课题研究.研究方向是初中数学慢教育；近两年在国家级核心期刊发表12篇文章，在省级及以上专业期刊发表22篇文章，被中国人大书报复印资料《初中数学教与学》全文转载了4次；参与编写《初中数学实验理论与实践》《教学创新：初中数学教学案例》一书.
1试题呈现
题目已知二次函数y=x2+bx+c，其图像抛物线交x轴于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.
（1）求此二次函数关系式；
（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.
分析本题由3个设问构成，是“数形结合”的集大成者，具有极强的选拔功能.问题（1）考查用待定系数法求解析式的基本知识；问题（2）在分类的基础上考查中点坐标法，示范“几何法”简化代数运算的优势；问题（3）在强化分类意识的基础上，借助相似变换获得问题解决方案.就考查本质而言，这道题依然是动态压轴题，带有明显的“静中趋动”、“动中取静”的特征.由抽样反馈可知，后两问的得分率仅为312%，尽管有时间不足问题，其难度仍可见一斑.
实践证明，作为难题，以例题（试题）形式直接呈现于课堂（卷面）的效果了了.若能进行适应性分解、加工与组合，让其穿插在相关课堂的教学结点处，进行必要的、可行的“适用性”教学，则能释放试题滋养课堂原本应有的功用力量.
2“适用”教学的意义
2.1解法研究
问题（1）属于容易题，不再赘述；问题（2）就标准答案而言，在坐标法统摄的基础上，在分类思想的指导下（分CD为平行四边形对角线或边两种情况讨论），借助平行四边形顶点平移过程的一致性（本质是“向量法”），获取点E的纵坐标为2或4，进而达成问题解决目标；问题（3）如，设直线l的函数关系式为y=kx+3，则可知点E坐标为（k+4，k2+4k+3）.过点E作EH⊥x轴，交x轴于H，则点H（k+4，0），G（1，k+3）.进而可得OA·EH=GA·BH，则有Rt△GOA∽Rt△EBH，终归于正确结论.
因问题（2）标准答案采用似“向量法”，过于巧妙，跑偏“大众数学”的价值取向；借助斜率法（两直线平行时k值相等），出现高次方程，对初中生而言，不具有普适性.穷则思变，笔者借助“几何中点法”获取普适简捷的解决方案.当CD为平行四边形的对角线时，则其中点坐标为（1，1），其中C（0，3）、E（x1，x21-4x1+3）、D（2，-1）、F（x2，0），此时EF的中点坐标为（x1+x22，x21-4x1+32）.借助“平行四边形的对角线互相平分”的性质，即可解方程组获取正确答案E（2+3，2）或E（2-3，2）.类似的，当CD为平行四边形的一边时，终归于正确答案（2+5，4）、（2-5，4）.问题（3）在探寻“对应边成比例”的过程中需要引入绝对值符号，给解题带来一定难度.其实，在探得点E、G以及已知点B的坐标后，借助待定系数法求出直线OG和BE的k1值（斜率）相同即可获得待证结论.在这里，命题者试图切入考查相似变换的视角，落实全面考查的命题目标.但笔者认为，用“相似法”获得结论是牵强的，一方面额外增添逻辑步骤，另一方面增加难度系数，有悖于“以简驭繁”数形结合思想的指导方向.
2.2“适”“用”意义
“适用”原指符合客观条件的要求，适合应用.在这里，“适”指插入的试题信息元具有适配性和针对性，贴合学生现实、适合教学内容、符合认知规律；“用”指功用、效用、实用和致用，不是拿来主义的“施用”和照单全收的“试用”.
“适”“用”试题教学的意义可归结为以下两个层面：一是落实（2011年版）课标政策的实施建议.把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.而中考数学试题就是研究整体知识的良好载体，具有多维度视角的可研发性，但要实现适用研究的意义，必须经历过程性改造（分解组合、对号入座），方能承担生长知识“延伸点”的作用；二是契合尼采的通向智慧之门的“三个必经阶段”.第一阶段是合群时期，崇敬、顺从和仿效；第二阶段是“沙漠时期”，自由的精神茁壮成长，重估一切价值；第三阶段是创造时期，在否定的基础上重新进行肯定.中考试题本身具有让学生产生崇敬的魅力，其丰富的思想内涵能让学生在研究中获得长足发展，开放的解法能让学生在鉴别中优化解题思维，进而显化试题“适用”教学的本体价值和创新意义.
3“适用”教学的过程
3.1分解过程
借用高考状元朱海一的话说，她的高分来自于对试题的分解研究.分解的过程就是定向积累的过程，一道有意义的中考题总是由典型知识点的组合伸展而来，在使用时应回归基点，而不是拿来即用.正如波利亚所说的那样，没有任何问题可以解决的十全十美，总剩下些工作要做.这里“剩下要做的工作”就是优化解题方法，对试题进行分解与组合，使其贴近课堂现实，贴合学生思维发展区，进而切实落实试题服务于教学的导向性功能.
就试题表现形式而言：可将问题（1）插入到苏教版《数学》九年级下册第六章“二次函数”第20页习题，作为衍生思维之用并补充“交点式”解法，能让学生在“比较研究”中深化对“顶点式”的理解.将问题（2）插入到本章章末复习题，作为“灵活应用栏”的一个典例使用并聚类分析，能让学生在问题解决中体验“数形结合”思想的优越性，感受数学内部知识的联结之美和简捷质效.将问题（3）改造后回归“一次函数”或“相似三角形”的章末课，作为交汇思维衔接的范例进行适用性教学.
就试题领导教学而言：可将问题（1）改造后回归苏教版八年级《数学》上册“62一次函数”课末，作为引领思维发展的经验题呈现；问题（2）经过外显变式放在一次函数章末课作为例题使用，经过内显变式（变化参数）放在苏教版《数学》八年级下册“93平行四边形”单元课作为例题使用，这样能锻炼学生变换视角看问题的能力，形成正向问题解决的产生式系统；问题（3）就逆向思维培养需求来说，应该放在一次函数章末复习课末端，具有示范考试导向的意义；就命题考查意图来说，应该放在苏教版《数学》九年级下册“探索三角形相似的条件”单元课，作为能力提升题处理，能让学生感受相似变换的考察样态板式，明白中考在此领域的考查视角.
3.2“适”“用”过程
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程内容中指出，“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中”.中考试题蕴含丰富的思想方法，是培养创新意识的良好载体，但照搬会因望而生畏而消化不良，只有结合课堂教学现状对其进行适应性改造，方能契合学生的现有思维水平.唯有立体分解、指向组合、定向把握，方能给学生发现提出问题准备客观条件，给其独立思考、学会思考准备适应的研究对象，给其归纳概括得到猜想和规律并验证提供可行的平台，而这些基于学生学习内需的改造行为，正是试题适用教学的具体创新表现.这就在一定层面回应了“创新意识培养应从义务教育阶段做起”的政策指令，落实了试题“适用教学”课堂研究观.
改造后的试题形态呈现如下：
问题（1）适用形态：已知某函数y=x2+bx+c，其图像与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），请求出b与c的值，并写出该函数关系式.
问题（2）适用形态：①借用苏教版高中《数学》（必修四）第二章“平面向量”第77页练习第2题作为思维铺垫：已知ABCD的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求第四个顶点D的坐标.②借用苏教版《数学》八年级上册第五章“平面直角坐标系”第133页复习题第10题作为分类启示：平行四边形的两个顶点的坐标分别为（-3，0）、（1，0），第三个顶点在y轴上，且与x轴的距离为3个单位长度.求第四个顶点的坐标.③对原创试题进行方向性改造，使其适合单元教育形态：平行四边形的两个顶点C（0，3）、D（2，-1），第三个顶点F在x轴上，第四个顶点E在函数y=x2-4x+3的图像上.试求出点E的坐标.
问题（3）适用形态：已知平面内有一点B（3，0），直线l过函数y=x2-4x+3图像上的一点C（0，3）和另一点E（点E不与点A、B重合）.若过点A（1，0）作AG⊥x轴，交直线l于点G，连OG、BE，试说明OG∥BE.
适用教学说明（就试题领导教学的研究视角）：
问题（1）作为一次函数单元题适用，切入了从特殊到一般的方法，能让学生在研究中领悟函数的本质和待定系数法的能动性；问题（2）作为一次函数章末例题适用，体现梯级思维聚类教学行为，反映分类思想、中点坐标法以及操作不变性思想、数形结合思想等，能让学生在问题解决中感受知识考查的本质和方向.若作为“平行四边形”的单元例题呈现，则能让学生在研讨中体会“从不同角度加以分析”以及“从不同层次进行理解”的本质要义，发展学生的试题解题观和创新意识，证实了尼采“创造阶段”的价值论.问题（3）作为一次函数章末复习题适用，能让学生在思考中感受逆向思维的本质以及知识产生式系统的双向性，锻炼了学生变换视角看问题的能力.若作为“探索三角形相似条件”的单元题适用，则示范数形结合的方法，只是违背优化思想的指导初衷，但就代数背景下的“几何法”能给未来问题解决带来一定的指导意义.正如弗里德曼在《怎样学会解数学题》一书中呼吁，“应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答习题看做是设计和发明的目标.”这与试题“适”“用”教学研究的思想本质是一脉相通的.
有人说，初中阶段的“代数学”可归结为a2，“几何学”可归结为“直角三角形”.换句话说，一道有借鉴价值的中考数学试题，命制的“基点”应该是“a2”和“直角三角形”元概念，命制的“方法”应该是市场化精加工与本土化元创造，命制的“精髓”是形而上数学思想群的复合性渗透；“适”“用”试题教学的过程就是基于在地性思维“组装”的基础上进行针对性“卸载”“穿插”“镶嵌”等课堂机制的运行，终归于试题领导教学的正向作用.
顺便提及，那种只是为了“得个答案”的中考试题教学观，生产了大批量“不开窍”的学生，终将在“过不了升学观”的质疑声中被淘汰；而试题“适”“用”教学的研究行为，终会在能力渐次发展的实践中得到认同和中肯.
作者简介朱桂凤，女，中学高级教师.连云港市“首批学术领军人才”培养对象、第五期“521工程”培养对象、“333工程”培养对象、“精品课题”培育对象；获2014年国家基础教育教学成果二等奖，2013年江苏省基础教育教学成果特等奖，2014年市精品课题成果一等奖，市教学基本功一等奖；主持省、市“十二五”教育科学规划课题多项，参与国家级课题研究.研究方向是初中数学慢教育；近两年在国家级核心期刊发表12篇文章，在省级及以上专业期刊发表22篇文章，被中国人大书报复印资料《初中数学教与学》全文转载了4次；参与编写《初中数学实验理论与实践》《教学创新：初中数学教学案例》一书.
