近两年高考数学文化试题赏析

    王勇 谭锴

    

    

    

    2017年全国高考大纲中要求：“在数学中增加数学文化的内容”，这是从考试命题的角度正式地、明确地要求把数学文化融人数学试题，2018年、2019年高考大纲中表示，要求学生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义，可见，数学文化仍然是其考查的重要内容，

    据统计，2018年的13套高考试卷中有8套试卷出现数学文化试题共6道，2019年的13套高考试卷中有9套试卷出现数学文化试题共8道，为了更直接地体会高考试卷中的数学文化试题，列于表1.

    从上述统计结果可以看出近两年高考的数学文化试题有以下特征：第一，从题型来看，均为选择题和填空题，其中选择题所占比例较大;第二，从知识点的分布来看，涉及概率与统计、立体几何、数列与方程组、不等式、跨学科综合、优美曲线等;第三，从题目来源来看，包括以《九章算术》、《张邱建算经》、《周易》等中国古代经典数学著作中的数学名题、相关素材以及国内外数学家的优秀成果、数学与其他学科的联系和实际生产生活的内容等为背景。

    下面给出十四道题的深度解析，供学生复习时参考。

    一、以国内外数学家的优秀成果为背景

    1.希波克拉底研究的几何图形

    例1（2018·全国卷I理10）如图1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边BC，直角边AB、AC，AABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1.p2.p3.则（ ），

    点评本题以古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形这一数学文化为背景，考查几何概型，往年考查的数学文化试题，更多地考查中国传统数学文化，2018年高考数学文化试题放眼世界，体现大国风范，取百家之长，圆中华之梦。

    2.陈景润与哥德巴赫猜想

    例2（2018·全国卷Ⅱ理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为2个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）。

    点评本题是以我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得世界领先成果为背景的一道古典概型试题，题目难度不大，目的是使考生潜移默化地感受我国数学取得的成就，提升考生的民族自豪感。

    3.祖暅原理与几何体的体积

    例3（2019·浙江卷第4题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖咂原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，九是柱体的高，若某柱体的三视图如图2所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：em3）是（ ），

    A，158B，162 C，182 D，324

    解析如图3.该柱体是一个直五棱柱，棱柱的高为6.底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4.下底为6.高为3.另一个的上底为2.下底为6.高为3。

    点评本题以祖咂原理为背景，考查三视图、柱体的体积等知识，考查考生的空间想象能力与运算求解能力，体现了数学建模、直观想象、数学运算等核心素养，本题在弘扬中华优秀传统文化的同时，引导考生树立正确的历史观、民族观、国家观。

    二、以实际生产生活的内容为背景

    1.中国古建筑中的榫卯设计

    例4

    （2018·全国卷Ⅲ理3文3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图4中木构件右边的小长方体是榫头，若如图4摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）。

    解析由题意可知咬合时带卯眼的木构件的直观图如图5所示，由直观图可知其俯视图应选A。

    点评本题以中国古建筑借助榫卯连接木构件为背景，很好地考查了三视图的相关内容，考生需要先想象咬合时带卯眼的木构件的直观图，再想象其俯视图，这和以往多数通过所给三视图想象直观图的命题方式相比，确实增添了一些新意，另外也传播了中国悠久的文明和智慧，同时还能让考生感受数学的神奇与魅力。

    2.中国悠久的金石文化

    例5（2019·全国卷Ⅱ理16文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图6），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图7是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有——个面，其棱长为——。

    点评本题以《周易》中的“卦”所展示的数学文化为问题背景，考查排列组合、古典概型的概率计算，考查抽象概括能力、运算求解能力、数据处理能力，体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养，本题考查中华传统文化，与同卷第4题（以“断臂维纳斯”为背景创设的求身高问题）国外数学文化交相辉映，意在激发考生的爱国主义思想，增强民族自信心与自豪感。

    4.以中国古典小说四大名著为背景设计的统计题

    例12（2019·全国卷Ⅲ理3文4）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学的瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则該校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）。

    A，0.5B，0.6C，0.7D，0.8

    解析用Venn图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图12：

    结合选项可知其身高可能是175cm，故选B，

    点评本题以“断臂维纳斯”与黄金分割比例为背景创设求身高的问题，考查数学文化、不等式的解法与性质及数值估算等知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、数据处理能力，体现了数学抽象、数学运算和数据分析等核心素养，本题与2018年全国卷I理科数学第10题（希波克拉底研究的几何图形）均取材于古希腊数学文化，意在增强数学文化的浸润，吸收世界数学文化的精华，引导考生开阔视野，更加热爱数学文化，关注数学之美，

    点评本题考查内容比较丰富，涉及曲线的方程与几何性质、不等式、距离、面积等知识，对考生的推理能力、综合应用能力、运算求解能力要求较高;重点体现逻辑推理、数学运算等核心素养;同时也展现了对创新思维与审美能力的考查。