正确认识和精心设计数学习题
尹作卿
根据《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）的要求，在数学教学中，应注重发展学生的“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识”.这些观念或意识的形成都离不开做练习，或者说，学生各种能力及意识的形成都是在解答数学问题的过程中逐渐发展起来的.可见，数学习题的质量具有重要的作用.笔者在本文首先就数学习题的主要功能作简单分析，然后就如何设计数学习题谈谈自己的思考与实践.
1正确认识习题的功能
使学生熟悉和掌握《课标2011年版》的要求，发展学生综合能力的问题称为习题.这样的问题应以数学为内容、或虽然不以数学为内容但必须运用数学知识或数学思想方法才能解决，它包括教师提出的问题、例题、练习、测试及综合与实践活动等多种形式.
学习数学必须要做练习，这是事实，不能想象不做习题就能学好数学.作为数学教师，应当对数学习题的功能有一个全方位的理解.我们认为，数学习题的功能主要表现为：
1.1帮助学生学好基础知识，形成基本技能
《课标2011年版》指出，数学教学应“注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握.”知识技能是学生发展的基础性目标，是学生适应社会生活和进一步发展所必需的基本素养.不论是掌握数学的基础知识，还是形成基本的技能都必须通过“解题”来达到.通过数学习题，使学生获得较系统的数学知识，形成必要的技能、技巧.具体地说，通过数学习题学生可以掌握数学知识（概念、命题、法则、语言、方法），建立基本概念与概念之间的各种关系，了解数学的主要思想，加深对数学定理、法则、原理以及它们之间联系的理解，形成掌握、运用相应的数学语言、符合语言、几何语言的技能，能把教学内容模型化的技能.数学教学应让学生充分经历“三个过程”：经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能.
1.2促进学生的思维发展
数学是思维的产物，学习者只有通过做习题，通过自己的思维过程，才能体悟这些思维的结果.形式逻辑的知识不是作为一种独立的学科进行讲授的，它蕴含在数学知识之中，学生只有通过解题活动的实践才能逐步学会这些知识，即逻辑思维的训练只能在解题的过程中实现.
1.3思想教育功能
数学的教育功能可分为两个方面，即智力和非智力的.学生对数学问题的求解过程中，所体现出的坚强的意志、好强的个性、大胆展示等良好的心理素质，是属于非智力培养的内容.通过解答数学问题，可以激发学生的学习兴趣，提升学生的外在学习动机和自我效能感.另一方面，“数学是思维的体操”客观地反映出数学习题的智力教育内容.这一教育内容主要通过教学的全过程来实现.数学教学的过程，即概念的形成过程、结论的推导过程和方法的探索过程，也就是数学问题解决的过程，通过问题解决，使学生获得和发展推理能力、化归能力，形式化地处理问题和建立数学模型的能力，以及运用对应、方程、函数、图象等数学观念解决问题的能力.
1.4评价功能
课堂教学中，可以通过习题，确定教与学的水平，检查学生对知识的理解、掌握程度非常重要.特别是学生的知识水平和能力水平通过课堂教学评价落实得好，可以及时为教师调整教学方法提供保障，使教学过程少走弯路，提高课堂教学效益.利于教师对学习效果的检测.学生作业情况直接反映了教学效果，对习题解答情况的了解是教学评价的一种重要手段.
1.5优化学生的认知结构
数学习题是数学学习巩固与复习的一种重要途径，数学习题可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构.学生数学水平如何，归根到底体现在解题上.因此，适量的习题训练是必不可少的，而习题设计的好坏，直接影响到训练效率的高低.优化习题不仅能有效地增强学生解决问题的能力，提高数学教学质量，而且可以促进学生良好的数学观念的形成.
2明确习题的目的要求
目前初中数学教材虽然有多个版本，但教材中的习题基本上都分为三类，如青岛版教材中的三类是：一是安排在每个课时后面的“练习”，是当堂应完成的.主要是为了巩固刚学过的知识和直接运用新知识进行解答的题目.目的是让学生切实理解与掌握新知识，形成初步运用这些知识的基本技能，二是一节教材之后的“习题”，主要供课内、课外作业用.一节教材不一定一课时完成，有时需要多个课时才能完成.一般来讲，这种题目是在进行了若干练习的基础上安排的（当然也有的是安排在一个课时之后的），目的在于使学生巩固所学的基础知识，能熟练的运用这些知识解决简单的问题，并形成一定的技巧.三是每章之后的“综合练习”，这些题目的目的是使学生进一步巩固、深化和灵活运用所学的知识、提高解题能力.“综合练习”和“习题”中的题目，按照其难度和类型又分为“复习与巩固”“拓展与延伸”“探索与创新”三组不同层次的问题；其中，“复习与巩固”“拓展与延伸”两组问题供全体学生使用，“探索与创新”中的问题供学有余力的同学选用.这样设置充分体现了《课标2011年版》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念.
教师在备课中，应针对这三种类型的每一个题目，明确每个题目的具体要求、解题关键、解题技巧以及解题格式.通过分析，确定哪些题目学生可以独立完成，哪些题目需要提示，哪些应作为例题讲解，做到心中有数，有的放矢.
3在习题的处理上，应把握的几个关系
3.1习题的数量与质量的关系
练习在学习中有重要的作用，但不要认为练习越多越好.这就要求教师在备课时应对以下几个问题进行认真的思考：同一种类型的问题应该做多少？不同类型习题的练习数量是否有差异？如何精选高质量的题目，以利于减轻学生的学习负担？
3.2解题通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握.
巧法的灵魂在于“巧”字，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物.当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法.
3.3解题过程和探索解题思路的关系
教学中经常听到学生说，老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”.出现这种现象的根本原因就在于教师没有暴露解题途径的寻找过程.其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力.教师在解题教学中，应重点引导学生分清问题的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.
案例1证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对于平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，我们选择让学生通过操作实验来得到.所以，在教学中可要求学生动手剪、拼接硬纸片三角形，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路.具体操作、探索过程为：
（1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）；
（2）用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图2中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了.
3.4常规习题与开放题的关系
传统的数学习题基本上是封闭性问题，属于常规问题.随着课改的深入，开放性问题的作用越来越显得重要.两种类型的问题对于学生的成长都是不可缺少的.教师应当思考的问题是：常规性问题与开放性问题的数量比例是多少比较合理？开放性问题如何与教材内容的学习衔接？开放性问题的难度如何把握？
有了上面的一些认识，教师便可根据教材的特点，练习的目的要求，学生的实际情况，精选确定出教学用的例题和供学生练习用的题目.这也是创造性使用教材的一个方面.
3.2解题通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握.
巧法的灵魂在于“巧”字，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物.当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法.
3.3解题过程和探索解题思路的关系
教学中经常听到学生说，老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”.出现这种现象的根本原因就在于教师没有暴露解题途径的寻找过程.其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力.教师在解题教学中，应重点引导学生分清问题的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.
案例1证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对于平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，我们选择让学生通过操作实验来得到.所以，在教学中可要求学生动手剪、拼接硬纸片三角形，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路.具体操作、探索过程为：
（1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）；
（2）用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图2中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了.
3.4常规习题与开放题的关系
传统的数学习题基本上是封闭性问题，属于常规问题.随着课改的深入，开放性问题的作用越来越显得重要.两种类型的问题对于学生的成长都是不可缺少的.教师应当思考的问题是：常规性问题与开放性问题的数量比例是多少比较合理？开放性问题如何与教材内容的学习衔接？开放性问题的难度如何把握？
有了上面的一些认识，教师便可根据教材的特点，练习的目的要求，学生的实际情况，精选确定出教学用的例题和供学生练习用的题目.这也是创造性使用教材的一个方面.
3.2解题通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握.
巧法的灵魂在于“巧”字，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物.当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法.
3.3解题过程和探索解题思路的关系
教学中经常听到学生说，老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”.出现这种现象的根本原因就在于教师没有暴露解题途径的寻找过程.其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力.教师在解题教学中，应重点引导学生分清问题的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.
案例1证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对于平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，我们选择让学生通过操作实验来得到.所以，在教学中可要求学生动手剪、拼接硬纸片三角形，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路.具体操作、探索过程为：
（1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）；
（2）用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图2中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了.
3.4常规习题与开放题的关系
传统的数学习题基本上是封闭性问题，属于常规问题.随着课改的深入，开放性问题的作用越来越显得重要.两种类型的问题对于学生的成长都是不可缺少的.教师应当思考的问题是：常规性问题与开放性问题的数量比例是多少比较合理？开放性问题如何与教材内容的学习衔接？开放性问题的难度如何把握？
有了上面的一些认识，教师便可根据教材的特点，练习的目的要求，学生的实际情况，精选确定出教学用的例题和供学生练习用的题目.这也是创造性使用教材的一个方面.
根据《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）的要求，在数学教学中，应注重发展学生的“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识”.这些观念或意识的形成都离不开做练习，或者说，学生各种能力及意识的形成都是在解答数学问题的过程中逐渐发展起来的.可见，数学习题的质量具有重要的作用.笔者在本文首先就数学习题的主要功能作简单分析，然后就如何设计数学习题谈谈自己的思考与实践.
1正确认识习题的功能
使学生熟悉和掌握《课标2011年版》的要求，发展学生综合能力的问题称为习题.这样的问题应以数学为内容、或虽然不以数学为内容但必须运用数学知识或数学思想方法才能解决，它包括教师提出的问题、例题、练习、测试及综合与实践活动等多种形式.
学习数学必须要做练习，这是事实，不能想象不做习题就能学好数学.作为数学教师，应当对数学习题的功能有一个全方位的理解.我们认为，数学习题的功能主要表现为：
1.1帮助学生学好基础知识，形成基本技能
《课标2011年版》指出，数学教学应“注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握.”知识技能是学生发展的基础性目标，是学生适应社会生活和进一步发展所必需的基本素养.不论是掌握数学的基础知识，还是形成基本的技能都必须通过“解题”来达到.通过数学习题，使学生获得较系统的数学知识，形成必要的技能、技巧.具体地说，通过数学习题学生可以掌握数学知识（概念、命题、法则、语言、方法），建立基本概念与概念之间的各种关系，了解数学的主要思想，加深对数学定理、法则、原理以及它们之间联系的理解，形成掌握、运用相应的数学语言、符合语言、几何语言的技能，能把教学内容模型化的技能.数学教学应让学生充分经历“三个过程”：经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能.
1.2促进学生的思维发展
数学是思维的产物，学习者只有通过做习题，通过自己的思维过程，才能体悟这些思维的结果.形式逻辑的知识不是作为一种独立的学科进行讲授的，它蕴含在数学知识之中，学生只有通过解题活动的实践才能逐步学会这些知识，即逻辑思维的训练只能在解题的过程中实现.
1.3思想教育功能
数学的教育功能可分为两个方面，即智力和非智力的.学生对数学问题的求解过程中，所体现出的坚强的意志、好强的个性、大胆展示等良好的心理素质，是属于非智力培养的内容.通过解答数学问题，可以激发学生的学习兴趣，提升学生的外在学习动机和自我效能感.另一方面，“数学是思维的体操”客观地反映出数学习题的智力教育内容.这一教育内容主要通过教学的全过程来实现.数学教学的过程，即概念的形成过程、结论的推导过程和方法的探索过程，也就是数学问题解决的过程，通过问题解决，使学生获得和发展推理能力、化归能力，形式化地处理问题和建立数学模型的能力，以及运用对应、方程、函数、图象等数学观念解决问题的能力.
1.4评价功能
课堂教学中，可以通过习题，确定教与学的水平，检查学生对知识的理解、掌握程度非常重要.特别是学生的知识水平和能力水平通过课堂教学评价落实得好，可以及时为教师调整教学方法提供保障，使教学过程少走弯路，提高课堂教学效益.利于教师对学习效果的检测.学生作业情况直接反映了教学效果，对习题解答情况的了解是教学评价的一种重要手段.
1.5优化学生的认知结构
数学习题是数学学习巩固与复习的一种重要途径，数学习题可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构.学生数学水平如何，归根到底体现在解题上.因此，适量的习题训练是必不可少的，而习题设计的好坏，直接影响到训练效率的高低.优化习题不仅能有效地增强学生解决问题的能力，提高数学教学质量，而且可以促进学生良好的数学观念的形成.
2明确习题的目的要求
目前初中数学教材虽然有多个版本，但教材中的习题基本上都分为三类，如青岛版教材中的三类是：一是安排在每个课时后面的“练习”，是当堂应完成的.主要是为了巩固刚学过的知识和直接运用新知识进行解答的题目.目的是让学生切实理解与掌握新知识，形成初步运用这些知识的基本技能，二是一节教材之后的“习题”，主要供课内、课外作业用.一节教材不一定一课时完成，有时需要多个课时才能完成.一般来讲，这种题目是在进行了若干练习的基础上安排的（当然也有的是安排在一个课时之后的），目的在于使学生巩固所学的基础知识，能熟练的运用这些知识解决简单的问题，并形成一定的技巧.三是每章之后的“综合练习”，这些题目的目的是使学生进一步巩固、深化和灵活运用所学的知识、提高解题能力.“综合练习”和“习题”中的题目，按照其难度和类型又分为“复习与巩固”“拓展与延伸”“探索与创新”三组不同层次的问题；其中，“复习与巩固”“拓展与延伸”两组问题供全体学生使用，“探索与创新”中的问题供学有余力的同学选用.这样设置充分体现了《课标2011年版》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念.
教师在备课中，应针对这三种类型的每一个题目，明确每个题目的具体要求、解题关键、解题技巧以及解题格式.通过分析，确定哪些题目学生可以独立完成，哪些题目需要提示，哪些应作为例题讲解，做到心中有数，有的放矢.
3在习题的处理上，应把握的几个关系
3.1习题的数量与质量的关系
练习在学习中有重要的作用，但不要认为练习越多越好.这就要求教师在备课时应对以下几个问题进行认真的思考：同一种类型的问题应该做多少？不同类型习题的练习数量是否有差异？如何精选高质量的题目，以利于减轻学生的学习负担？
3.2解题通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握.
巧法的灵魂在于“巧”字，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物.当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法.
3.3解题过程和探索解题思路的关系
教学中经常听到学生说，老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”.出现这种现象的根本原因就在于教师没有暴露解题途径的寻找过程.其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力.教师在解题教学中，应重点引导学生分清问题的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.
案例1证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对于平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，我们选择让学生通过操作实验来得到.所以，在教学中可要求学生动手剪、拼接硬纸片三角形，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路.具体操作、探索过程为：
（1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）；
（2）用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图2中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了.
3.4常规习题与开放题的关系
传统的数学习题基本上是封闭性问题，属于常规问题.随着课改的深入，开放性问题的作用越来越显得重要.两种类型的问题对于学生的成长都是不可缺少的.教师应当思考的问题是：常规性问题与开放性问题的数量比例是多少比较合理？开放性问题如何与教材内容的学习衔接？开放性问题的难度如何把握？
有了上面的一些认识，教师便可根据教材的特点，练习的目的要求，学生的实际情况，精选确定出教学用的例题和供学生练习用的题目.这也是创造性使用教材的一个方面.
3.2解题通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握.
巧法的灵魂在于“巧”字，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物.当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法.
3.3解题过程和探索解题思路的关系
教学中经常听到学生说，老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”.出现这种现象的根本原因就在于教师没有暴露解题途径的寻找过程.其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力.教师在解题教学中，应重点引导学生分清问题的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.
案例1证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对于平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，我们选择让学生通过操作实验来得到.所以，在教学中可要求学生动手剪、拼接硬纸片三角形，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路.具体操作、探索过程为：
（1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）；
（2）用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图2中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了.
3.4常规习题与开放题的关系
传统的数学习题基本上是封闭性问题，属于常规问题.随着课改的深入，开放性问题的作用越来越显得重要.两种类型的问题对于学生的成长都是不可缺少的.教师应当思考的问题是：常规性问题与开放性问题的数量比例是多少比较合理？开放性问题如何与教材内容的学习衔接？开放性问题的难度如何把握？
有了上面的一些认识，教师便可根据教材的特点，练习的目的要求，学生的实际情况，精选确定出教学用的例题和供学生练习用的题目.这也是创造性使用教材的一个方面.
3.2解题通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法.这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握.
巧法的灵魂在于“巧”字，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物.当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法.
3.3解题过程和探索解题思路的关系
教学中经常听到学生说，老师“添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错（或不会）”.出现这种现象的根本原因就在于教师没有暴露解题途径的寻找过程.其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力.教师在解题教学中，应重点引导学生分清问题的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程是关键，让学生做到既知其然，又知其所以然.
案例1证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对于平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明.让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，我们选择让学生通过操作实验来得到.所以，在教学中可要求学生动手剪、拼接硬纸片三角形，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路.具体操作、探索过程为：
（1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）；
（2）用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程，学生可以发现，在图2中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可.这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了.
3.4常规习题与开放题的关系
传统的数学习题基本上是封闭性问题，属于常规问题.随着课改的深入，开放性问题的作用越来越显得重要.两种类型的问题对于学生的成长都是不可缺少的.教师应当思考的问题是：常规性问题与开放性问题的数量比例是多少比较合理？开放性问题如何与教材内容的学习衔接？开放性问题的难度如何把握？
有了上面的一些认识，教师便可根据教材的特点，练习的目的要求，学生的实际情况，精选确定出教学用的例题和供学生练习用的题目.这也是创造性使用教材的一个方面.
