初中数学发生教学法的探索与实践
德国生物学家海克尔（E.Haeckel）（1843—1919）在1866年提出了生物发生律，即“个体发育史重蹈种族发展史”.如果将此原理类推于教育将得出：个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程.具体到数学教育，即“个体对数学知识的理解过程遵循数学知识的发生发展过程.”
把历史作为教学线索，不明确地谈论历史，用历史来启示教学，这就是发生教学法.其基本思想是：在学生具备足够的动机后、在心理发展的适当时候讲授某个主题.应当保护和发展学生对未知事物猎奇的天性，积极引导学生经历知识的发生过程[1].运用发生教学法进行教学，一般遵循以下步骤：（1）要全面了解所教主题的历史；（2）要理解该主题历史发展过程中的关键环节；（3）掌握一个环节发展到下一个环节的原因是什么？遇到的困难和障碍是什么？（4）重构历史环节，使其适合于课堂教学；（5）设计出一系列由易到难、环环相扣的问题.可以是历史上的问题，也可以是改编的问题.下以人教版七年级数学第一章“有理数”第一节“正数和负数”为例，介绍发生教学法的具体实施过程.
1全面了解正数和负数的历史
中国是最早认识和使用负数的国家.战国时期李悝（约公元前455—前395年）在《法经》中说到“衣五人终岁用千五百不足四百五十”.即：5个人一年开支1500钱，入不敷出，差450钱.“不足”就是负数的概念和记号.约公元一世纪中国的数学专著《九章算术》中记载了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”.同时在解方程组的过程中出现“不够减”的情形时，给出了“正负术”.公元三世纪，魏晋时期的数学家刘徽对负数给出了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之.”[2]即：在运算中，遇到具有相反意义的量，不但需要正数，还需要引入负数以作区分.
公元七世纪，印度学者婆罗摩芨多（598—665）在《婆罗摩历算书》里给出了正数、负数和零的概念，分别被他称作“财产”、“债务”和“萨雅”.公元十二世纪，印度数学家婆什迎罗（1114—1185）在《算法本源》中，全面讨论了负数，把负数叫做“负债”或“损失”.他承认方程x2-45x=250有两个根：x=50或x=-5，他接着说：“第二个根并不用，因为它是不足的，人们并不支持负根.”
在西方，最早描述负数的是公元三世纪的希腊数学家丢番图，他在《算术》中称方程4x+20=4是没有意义的.在解方程中，若遇到负根，他就放弃这个方程，认为是不可解的.
阿拉伯人吸纳了古希腊和古印度的数学理念，发展成为自己的文明，但在负数的认知上却要比中国和印度人晚得多.公元十世纪阿拉伯学者艾布·瓦发的算术手稿中，在讲述一种两位数乘法的简捷算法时，引用了负数概念.
在近代西方，意大利的卡丹（1501—1576）在其《大术》中虽然承认方程的负根，但他把正数称为“真实的数”，而把负数称为“虚假的数”.法国的韦达（1540—1603）不承认负数，把负数叫做“不合理的数”.英国的沃利斯（1616—1703）在《无穷算术》中尽管承认负数，但他认为负数，这是不可思议的.1637年笛卡尔（1596—1650）在《几何》中首次研究方程有正负根的条件，并规定了正负号的法则.法国的阿纳德（1612—1694）表示：如果-1∶1=1∶（-1），而-1<1，那么一个小的数与一个大的数的比，怎么可能等于一个大的数与一个小的数的比？直到十九世纪，还有一些西方数学家不理解“小于一无所有”的数.
负数地位的最后确立是由德国数学家维尔斯特拉斯（1815—1897）和意大利数学家皮亚诺（1858—1932）完成的.1860年维尔斯特拉斯把有理数定义为整数对，即当m、n为整数时，nm（m≠0）定义为有理数；当m、n中一个为正整数，一个为负整数时，nm就是负有理数.这样负数就建立在整数的基础上.40年后，皮亚诺在《算术原理新方法》中用自然数建立了整数：如果a，b是自然数，则“a-b”定义为一个整数.若a>b，“a-b”为正整数；若a
2东西方对负数认知的差异性
东方引入负数的目的是为了解决实际或算术中的“出仓”或“不足”等问题.负数仅仅是解决问题的一种工具，而不是作为抽象的数来进行研究的.中国的古代数学家很多是平民百姓，他们有机会接触实际的商业和贸易过程，对“负债”、“支出”等问题有切实的体会，对他们而言负数是现实生活的原型，并不是抽象的.印度数学受到我国古代数学的影响，在解决实际生活中的经济和数学问题时，对负数有丰富的认知和发展.中国和印度接受负数和应用负数都比较早.
西方认识负数主要来源于古希腊数学，而古希腊从事数学和哲学研究的人，很少有现实的经济实践活动，几乎没有负数的实际应用.自亚里斯多德开创了以“三段论”为核心的演绎逻辑以后，一切推理都以形式逻辑作为基础.西方人认为数是独特的或绝对的存在物，他们首先看到的是“物”，这在数学中表现为“数”，他们的逻辑是这样的：1表示有一个，2表示有两个，……，0表示什么都没有，“什么都没有”就已经是最少了，而负数比零还小，也就是说：比“什么都没有”还少，这怎么可能呢？在认识负数的过程中，由于缺乏几何原型，直观上没有基础，建立负数的逻辑结构又做不到.由于受古希腊数学影响较大，西方在长达一千多年的时间里不接受负数，直到十三世纪对负数才有一些初步的认识.
可以从东西方的哲学思想和思维方式上来分析这个问题.中国传统哲学主要是儒家哲学，它讲究道德文化，对事物多停留在许多感性和经验性的认识阶段.西方继承了从古希腊开始的科学与哲学传统，注重抽象的理性思维与逻辑思维.中国古代数学家对负数的认知和记法是西方国家无法比拟的，相对而言，虽然西方数学家对负数的认识较晚和难以接受，但是没有放弃对负数的理性研究，最终建立了负数的基础理论.东西方文化的差异导致了负数不同的发展方向，体现了两种文化独特的数学价值取向，这是多元文化给予数学的多样贡献.多样化与一体化的辩证统一也应被看作数学发展的一个基本规律[3].
3正数和负数的表示及与零的关系
公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.我国最早采用正号“+”、负号“-”是从清末开始的.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔第一个提出用减号“-”表示负数.从此，负数符号“-”逐渐得到人们的认识，并沿用至今.
没有零的符号，就没有完整的位置制记数法.零的记号，最早在印度出现[4].公元前2500年左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示空的位置.约在6世纪初，印度开始使用命位记数法.印度人认识到0除了在各数之间起空位作用外，还有它独立的存在性—0本身被看作是一个数，它表示“没有”这个量.也就是说，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号0表示.这一步是思维的一个很大的跨越.公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字.
0在中国古代叫做金元数字，我国古代用算筹记数，也采取空位表示零.古书中缺字常用“□”表示，数字里的空位也用“□”表示，以后由于书写时常用行书，“□”也就容易写成圆圈了，用“○”表示零.
大约1500年前，欧洲不知道用“0”这个数字.这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号.他发现，有了“0”，进行数学运算非常方便，还把印度人使用“0”的方法向人们做了介绍.这件事不久被罗马教皇知道了，教皇很愤怒，认为神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”.谁要使用它，谁就是亵渎上帝！就这样，“0”被教皇命令禁止了.最后，“0”在欧洲还是被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.
至此，数学中零有四个功能.首先，零是一个概念，它表示一无所有.其次，在位值记数法中，零表示一个空位，同时起到指示数码所在位置的作用.再次，零是一个数，可以和其它的数一起参与运算.最后，零是标准的起点或分界.
4根据历史，重构课堂
教学目标：
1.在实践中表示相反意义的量及解方程的需要，使学生了解学习正负数的必要性.
2.使学生经历符号化和数学化的过程，体会负数表示的发生发展过程.
3.感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣.
教学重点：体会负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反意义的量.
教学难点：体会负数的意义，重新认识零.
教学过程：
4.1创设情境，引入新知
1.师：我们知道，为了表示物体的个数和事物的顺序，产生了1，2，3，4，…，这些数，我们把它叫做什么数？
生：自然数.
师：为了表示“没有”，又引入了一个什么数？
生：自然数0.
师：当分物和测量的结果不是整数时，又引入了什么数？
生：分数（小数）.
师：这些数有多少个？
生：无数个.
师：现在同学们看一个实际情境.
2.课件出示情境：甲、乙两人在一次商品交易中分别赚100元、亏100元.
师：老师把甲赚100元、乙亏100元表示成这样，你觉得把事情表达清楚了吗？
甲100元乙100元生：没有.
师：也就是说虽然都是100元，但两个100元表示的实际意义是相反的，它们是一组相反意义的量.
3.课件出示情境：
同学们能用你以前所学的知识来解决下列问题吗？
（1）王东买笔一共要给15元钱，现在他给了20元钱，应找给他几元？
（2）王东买笔一共要给15元钱，若王东手上只有10元钱，他能买到想要的笔吗？为什么？
对上述两个问题要求列出算式.
学生能够很快给出这样的两个式子：20-15=5，15-10=5
引导学生思考：第一个式子我们是用王东手中的钱数减去笔的总费用，第二个问题我们能不能也按这样的顺序写出式子呢？试一下，看看结果等于多少？
学生列出式子：10-15，但如何计算却无法解决，只会说：“不够减”.
数学相关历史介绍：
其实这种事情古人也发生过，历史上很多数学家也曾经被困扰过.
历史问题：公元三世纪希腊数学家丢番图在其《算术》中称方程4x+20=4是没有意义的.同样，意大利数学家斐波拉契（1170-1250）在《花朵》中称：方程x+36=33是没有根据的，除非第一个人欠债3个钱币.
显然都碰到了不够减的问题.
结合情境（1）和情境（2），赚100元和亏100元，（20-15）和（10-15）那你能用自己的方式把它们区别开吗？
4.2自主探索，展示过程
1.交流大家的想法.
（1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.
（2）有学生在10-15=的右边写了一个红色的5；有学生在10-15=的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在10-15=的右边写了一个“5不足”等.
2.介绍人类探索负数的表示方法
师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.
师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？
生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.
师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5
师：用正数或负数表示具有相反意义的量.
（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.
（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.
4.3抽象归纳，重新建构
1.定义：像3，18%，35这样大于0的数叫做正数，像-3，-18%，-35这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.
2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写.
3.相反意义的量
师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）
（1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；
（2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度；
请学生举出一些相反意义的量的实例.
教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.
4.找相反意义的量
师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？
学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.
5.学生在空白的温度计上标出这两个温度.
师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面二格是多少摄氏度？
生：2摄氏度.
师：再往上呢？依次标到5摄氏度.
师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？
学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？
师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.
6.交流和总结.
讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.
4.4拓展延伸，巩固新知
1.相反意义的量
师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.
师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.
生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.
师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？
生：（讨论后得出）不能.
例题一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
解：这个月小明体重增加2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
2.练习
南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？
3.总结和作业
总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.
（2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.
（3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，0的意义已不仅是表示“没有”.
（4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.
作业：P5：4，5，6，7.
参考文献
[1]涂荣豹，宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：106.
[4]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.
作者简介张俊忠，男，1971年生，湖北应城人，华中师范大学教育学院博士研究生，华中师大一附中初中部中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.
4.2自主探索，展示过程
1.交流大家的想法.
（1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.
（2）有学生在10-15=的右边写了一个红色的5；有学生在10-15=的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在10-15=的右边写了一个“5不足”等.
2.介绍人类探索负数的表示方法
师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.
师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？
生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.
师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5
师：用正数或负数表示具有相反意义的量.
（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.
（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.
4.3抽象归纳，重新建构
1.定义：像3，18%，35这样大于0的数叫做正数，像-3，-18%，-35这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.
2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写.
3.相反意义的量
师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）
（1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；
（2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度；
请学生举出一些相反意义的量的实例.
教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.
4.找相反意义的量
师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？
学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.
5.学生在空白的温度计上标出这两个温度.
师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面二格是多少摄氏度？
生：2摄氏度.
师：再往上呢？依次标到5摄氏度.
师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？
学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？
师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.
6.交流和总结.
讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.
4.4拓展延伸，巩固新知
1.相反意义的量
师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.
师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.
生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.
师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？
生：（讨论后得出）不能.
例题一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
解：这个月小明体重增加2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
2.练习
南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？
3.总结和作业
总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.
（2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.
（3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，0的意义已不仅是表示“没有”.
（4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.
作业：P5：4，5，6，7.
参考文献
[1]涂荣豹，宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：106.
[4]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.
作者简介张俊忠，男，1971年生，湖北应城人，华中师范大学教育学院博士研究生，华中师大一附中初中部中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.
4.2自主探索，展示过程
1.交流大家的想法.
（1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.
（2）有学生在10-15=的右边写了一个红色的5；有学生在10-15=的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在10-15=的右边写了一个“5不足”等.
2.介绍人类探索负数的表示方法
师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.
师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？
生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.
师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5
师：用正数或负数表示具有相反意义的量.
（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.
（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.
4.3抽象归纳，重新建构
1.定义：像3，18%，35这样大于0的数叫做正数，像-3，-18%，-35这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.
2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写.
3.相反意义的量
师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）
（1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；
（2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度；
请学生举出一些相反意义的量的实例.
教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.
4.找相反意义的量
师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？
学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.
5.学生在空白的温度计上标出这两个温度.
师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面二格是多少摄氏度？
生：2摄氏度.
师：再往上呢？依次标到5摄氏度.
师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？
学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？
师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.
6.交流和总结.
讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.
4.4拓展延伸，巩固新知
1.相反意义的量
师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.
师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.
生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.
师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？
生：（讨论后得出）不能.
例题一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
解：这个月小明体重增加2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
2.练习
南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？
3.总结和作业
总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.
（2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.
（3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，0的意义已不仅是表示“没有”.
（4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.
作业：P5：4，5，6，7.
参考文献
[1]涂荣豹，宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：106.
[4]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.
作者简介张俊忠，男，1971年生，湖北应城人，华中师范大学教育学院博士研究生，华中师大一附中初中部中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.
把历史作为教学线索，不明确地谈论历史，用历史来启示教学，这就是发生教学法.其基本思想是：在学生具备足够的动机后、在心理发展的适当时候讲授某个主题.应当保护和发展学生对未知事物猎奇的天性，积极引导学生经历知识的发生过程[1].运用发生教学法进行教学，一般遵循以下步骤：（1）要全面了解所教主题的历史；（2）要理解该主题历史发展过程中的关键环节；（3）掌握一个环节发展到下一个环节的原因是什么？遇到的困难和障碍是什么？（4）重构历史环节，使其适合于课堂教学；（5）设计出一系列由易到难、环环相扣的问题.可以是历史上的问题，也可以是改编的问题.下以人教版七年级数学第一章“有理数”第一节“正数和负数”为例，介绍发生教学法的具体实施过程.
1全面了解正数和负数的历史
中国是最早认识和使用负数的国家.战国时期李悝（约公元前455—前395年）在《法经》中说到“衣五人终岁用千五百不足四百五十”.即：5个人一年开支1500钱，入不敷出，差450钱.“不足”就是负数的概念和记号.约公元一世纪中国的数学专著《九章算术》中记载了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”.同时在解方程组的过程中出现“不够减”的情形时，给出了“正负术”.公元三世纪，魏晋时期的数学家刘徽对负数给出了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之.”[2]即：在运算中，遇到具有相反意义的量，不但需要正数，还需要引入负数以作区分.
公元七世纪，印度学者婆罗摩芨多（598—665）在《婆罗摩历算书》里给出了正数、负数和零的概念，分别被他称作“财产”、“债务”和“萨雅”.公元十二世纪，印度数学家婆什迎罗（1114—1185）在《算法本源》中，全面讨论了负数，把负数叫做“负债”或“损失”.他承认方程x2-45x=250有两个根：x=50或x=-5，他接着说：“第二个根并不用，因为它是不足的，人们并不支持负根.”
在西方，最早描述负数的是公元三世纪的希腊数学家丢番图，他在《算术》中称方程4x+20=4是没有意义的.在解方程中，若遇到负根，他就放弃这个方程，认为是不可解的.
阿拉伯人吸纳了古希腊和古印度的数学理念，发展成为自己的文明，但在负数的认知上却要比中国和印度人晚得多.公元十世纪阿拉伯学者艾布·瓦发的算术手稿中，在讲述一种两位数乘法的简捷算法时，引用了负数概念.
在近代西方，意大利的卡丹（1501—1576）在其《大术》中虽然承认方程的负根，但他把正数称为“真实的数”，而把负数称为“虚假的数”.法国的韦达（1540—1603）不承认负数，把负数叫做“不合理的数”.英国的沃利斯（1616—1703）在《无穷算术》中尽管承认负数，但他认为负数，这是不可思议的.1637年笛卡尔（1596—1650）在《几何》中首次研究方程有正负根的条件，并规定了正负号的法则.法国的阿纳德（1612—1694）表示：如果-1∶1=1∶（-1），而-1<1，那么一个小的数与一个大的数的比，怎么可能等于一个大的数与一个小的数的比？直到十九世纪，还有一些西方数学家不理解“小于一无所有”的数.
负数地位的最后确立是由德国数学家维尔斯特拉斯（1815—1897）和意大利数学家皮亚诺（1858—1932）完成的.1860年维尔斯特拉斯把有理数定义为整数对，即当m、n为整数时，nm（m≠0）定义为有理数；当m、n中一个为正整数，一个为负整数时，nm就是负有理数.这样负数就建立在整数的基础上.40年后，皮亚诺在《算术原理新方法》中用自然数建立了整数：如果a，b是自然数，则“a-b”定义为一个整数.若a>b，“a-b”为正整数；若a
2东西方对负数认知的差异性
东方引入负数的目的是为了解决实际或算术中的“出仓”或“不足”等问题.负数仅仅是解决问题的一种工具，而不是作为抽象的数来进行研究的.中国的古代数学家很多是平民百姓，他们有机会接触实际的商业和贸易过程，对“负债”、“支出”等问题有切实的体会，对他们而言负数是现实生活的原型，并不是抽象的.印度数学受到我国古代数学的影响，在解决实际生活中的经济和数学问题时，对负数有丰富的认知和发展.中国和印度接受负数和应用负数都比较早.
西方认识负数主要来源于古希腊数学，而古希腊从事数学和哲学研究的人，很少有现实的经济实践活动，几乎没有负数的实际应用.自亚里斯多德开创了以“三段论”为核心的演绎逻辑以后，一切推理都以形式逻辑作为基础.西方人认为数是独特的或绝对的存在物，他们首先看到的是“物”，这在数学中表现为“数”，他们的逻辑是这样的：1表示有一个，2表示有两个，……，0表示什么都没有，“什么都没有”就已经是最少了，而负数比零还小，也就是说：比“什么都没有”还少，这怎么可能呢？在认识负数的过程中，由于缺乏几何原型，直观上没有基础，建立负数的逻辑结构又做不到.由于受古希腊数学影响较大，西方在长达一千多年的时间里不接受负数，直到十三世纪对负数才有一些初步的认识.
可以从东西方的哲学思想和思维方式上来分析这个问题.中国传统哲学主要是儒家哲学，它讲究道德文化，对事物多停留在许多感性和经验性的认识阶段.西方继承了从古希腊开始的科学与哲学传统，注重抽象的理性思维与逻辑思维.中国古代数学家对负数的认知和记法是西方国家无法比拟的，相对而言，虽然西方数学家对负数的认识较晚和难以接受，但是没有放弃对负数的理性研究，最终建立了负数的基础理论.东西方文化的差异导致了负数不同的发展方向，体现了两种文化独特的数学价值取向，这是多元文化给予数学的多样贡献.多样化与一体化的辩证统一也应被看作数学发展的一个基本规律[3].
3正数和负数的表示及与零的关系
公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.我国最早采用正号“+”、负号“-”是从清末开始的.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔第一个提出用减号“-”表示负数.从此，负数符号“-”逐渐得到人们的认识，并沿用至今.
没有零的符号，就没有完整的位置制记数法.零的记号，最早在印度出现[4].公元前2500年左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示空的位置.约在6世纪初，印度开始使用命位记数法.印度人认识到0除了在各数之间起空位作用外，还有它独立的存在性—0本身被看作是一个数，它表示“没有”这个量.也就是说，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号0表示.这一步是思维的一个很大的跨越.公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字.
0在中国古代叫做金元数字，我国古代用算筹记数，也采取空位表示零.古书中缺字常用“□”表示，数字里的空位也用“□”表示，以后由于书写时常用行书，“□”也就容易写成圆圈了，用“○”表示零.
大约1500年前，欧洲不知道用“0”这个数字.这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号.他发现，有了“0”，进行数学运算非常方便，还把印度人使用“0”的方法向人们做了介绍.这件事不久被罗马教皇知道了，教皇很愤怒，认为神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”.谁要使用它，谁就是亵渎上帝！就这样，“0”被教皇命令禁止了.最后，“0”在欧洲还是被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.
至此，数学中零有四个功能.首先，零是一个概念，它表示一无所有.其次，在位值记数法中，零表示一个空位，同时起到指示数码所在位置的作用.再次，零是一个数，可以和其它的数一起参与运算.最后，零是标准的起点或分界.
4根据历史，重构课堂
教学目标：
1.在实践中表示相反意义的量及解方程的需要，使学生了解学习正负数的必要性.
2.使学生经历符号化和数学化的过程，体会负数表示的发生发展过程.
3.感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣.
教学重点：体会负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反意义的量.
教学难点：体会负数的意义，重新认识零.
教学过程：
4.1创设情境，引入新知
1.师：我们知道，为了表示物体的个数和事物的顺序，产生了1，2，3，4，…，这些数，我们把它叫做什么数？
生：自然数.
师：为了表示“没有”，又引入了一个什么数？
生：自然数0.
师：当分物和测量的结果不是整数时，又引入了什么数？
生：分数（小数）.
师：这些数有多少个？
生：无数个.
师：现在同学们看一个实际情境.
2.课件出示情境：甲、乙两人在一次商品交易中分别赚100元、亏100元.
师：老师把甲赚100元、乙亏100元表示成这样，你觉得把事情表达清楚了吗？
甲100元乙100元生：没有.
师：也就是说虽然都是100元，但两个100元表示的实际意义是相反的，它们是一组相反意义的量.
3.课件出示情境：
同学们能用你以前所学的知识来解决下列问题吗？
（1）王东买笔一共要给15元钱，现在他给了20元钱，应找给他几元？
（2）王东买笔一共要给15元钱，若王东手上只有10元钱，他能买到想要的笔吗？为什么？
对上述两个问题要求列出算式.
学生能够很快给出这样的两个式子：20-15=5，15-10=5
引导学生思考：第一个式子我们是用王东手中的钱数减去笔的总费用，第二个问题我们能不能也按这样的顺序写出式子呢？试一下，看看结果等于多少？
学生列出式子：10-15，但如何计算却无法解决，只会说：“不够减”.
数学相关历史介绍：
其实这种事情古人也发生过，历史上很多数学家也曾经被困扰过.
历史问题：公元三世纪希腊数学家丢番图在其《算术》中称方程4x+20=4是没有意义的.同样，意大利数学家斐波拉契（1170-1250）在《花朵》中称：方程x+36=33是没有根据的，除非第一个人欠债3个钱币.
显然都碰到了不够减的问题.
结合情境（1）和情境（2），赚100元和亏100元，（20-15）和（10-15）那你能用自己的方式把它们区别开吗？
4.2自主探索，展示过程
1.交流大家的想法.
（1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.
（2）有学生在10-15=的右边写了一个红色的5；有学生在10-15=的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在10-15=的右边写了一个“5不足”等.
2.介绍人类探索负数的表示方法
师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.
师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？
生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.
师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5
师：用正数或负数表示具有相反意义的量.
（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.
（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.
4.3抽象归纳，重新建构
1.定义：像3，18%，35这样大于0的数叫做正数，像-3，-18%，-35这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.
2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写.
3.相反意义的量
师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）
（1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；
（2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度；
请学生举出一些相反意义的量的实例.
教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.
4.找相反意义的量
师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？
学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.
5.学生在空白的温度计上标出这两个温度.
师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面二格是多少摄氏度？
生：2摄氏度.
师：再往上呢？依次标到5摄氏度.
师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？
学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？
师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.
6.交流和总结.
讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.
4.4拓展延伸，巩固新知
1.相反意义的量
师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.
师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.
生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.
师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？
生：（讨论后得出）不能.
例题一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
解：这个月小明体重增加2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
2.练习
南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？
3.总结和作业
总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.
（2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.
（3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，0的意义已不仅是表示“没有”.
（4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.
作业：P5：4，5，6，7.
参考文献
[1]涂荣豹，宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：106.
[4]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.
作者简介张俊忠，男，1971年生，湖北应城人，华中师范大学教育学院博士研究生，华中师大一附中初中部中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.
4.2自主探索，展示过程
1.交流大家的想法.
（1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.
（2）有学生在10-15=的右边写了一个红色的5；有学生在10-15=的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在10-15=的右边写了一个“5不足”等.
2.介绍人类探索负数的表示方法
师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.
师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？
生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.
师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5
师：用正数或负数表示具有相反意义的量.
（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.
（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.
4.3抽象归纳，重新建构
1.定义：像3，18%，35这样大于0的数叫做正数，像-3，-18%，-35这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.
2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写.
3.相反意义的量
师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）
（1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；
（2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度；
请学生举出一些相反意义的量的实例.
教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.
4.找相反意义的量
师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？
学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.
5.学生在空白的温度计上标出这两个温度.
师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面二格是多少摄氏度？
生：2摄氏度.
师：再往上呢？依次标到5摄氏度.
师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？
学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？
师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.
6.交流和总结.
讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.
4.4拓展延伸，巩固新知
1.相反意义的量
师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.
师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.
生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.
师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？
生：（讨论后得出）不能.
例题一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
解：这个月小明体重增加2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
2.练习
南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？
3.总结和作业
总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.
（2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.
（3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，0的意义已不仅是表示“没有”.
（4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.
作业：P5：4，5，6，7.
参考文献
[1]涂荣豹，宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：106.
[4]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.
作者简介张俊忠，男，1971年生，湖北应城人，华中师范大学教育学院博士研究生，华中师大一附中初中部中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.
4.2自主探索，展示过程
1.交流大家的想法.
（1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.
（2）有学生在10-15=的右边写了一个红色的5；有学生在10-15=的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在10-15=的右边写了一个“5不足”等.
2.介绍人类探索负数的表示方法
师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.
公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.
师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？
生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.
师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5
师：用正数或负数表示具有相反意义的量.
（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.
（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.
4.3抽象归纳，重新建构
1.定义：像3，18%，35这样大于0的数叫做正数，像-3，-18%，-35这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.
2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写.
3.相反意义的量
师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）
（1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；
（2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度；
请学生举出一些相反意义的量的实例.
教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.
4.找相反意义的量
师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？
学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.
5.学生在空白的温度计上标出这两个温度.
师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面二格是多少摄氏度？
生：2摄氏度.
师：再往上呢？依次标到5摄氏度.
师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？
学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？
师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.
6.交流和总结.
讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.
4.4拓展延伸，巩固新知
1.相反意义的量
师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.
师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.
生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.
师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？
生：（讨论后得出）不能.
例题一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.
解：这个月小明体重增加2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
2.练习
南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？
3.总结和作业
总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.
（2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.
（3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，0的意义已不仅是表示“没有”.
（4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.
作业：P5：4，5，6，7.
参考文献
[1]涂荣豹，宁连华.中学数学经典教学方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001：106.
[4]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.
作者简介张俊忠，男，1971年生，湖北应城人，华中师范大学教育学院博士研究生，华中师大一附中初中部中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.
