抛物线与特殊三角形的面积探究
纵观近几年的中考试卷，考题中出现了大量的以抛物线为载体，探究由抛物线上的点构造有关特殊三角形的面积问题.这类题以直角坐标系为背景，由边和角的不确定性，考查了分类讨论、数形结合等数学思想.本文探究抛物线与有关特殊三角形的面积.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，当b2-4ac≥ 时，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B两点间的距离，则有d=xA-xB=b2-4aca.
在△ABC中，当C是抛物线的顶点时， AB边上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，
即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）
在△ABC中，设C（h，k）是抛物线上任意一点，易知AB边上的高=yc=k，
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，
即S△ABC=12kab2-4ac.（2）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等腰直角三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，CE=BE.
又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化简得b2-4ac=4.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=
12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等边三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，则有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化简得b2-4ac=12.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.
即S△ABC=33a2.（4）
下面举例说明这几个公式在解题中的应用.
例1若二次函数y=x2 -（k+1 ）x+k-2的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则S△ABC的最小值是.
解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.当k=1时，b2-4ac的最小值是8.
由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.
故S△ABC的最小值是22.
例2若二次函数y=-3x2 -4x-k+5的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等边三角形时，求k的值和S△ABC.
解因为b2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.
例3若二次函数y=14-kx2 -x+k的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当k为何值时，△ABC为等腰直角三角形，并求S△ABC.
解因为b2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.
例4已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且经过点C（1，2），若S△ABC=8，求该二次函数的表达式.
解因为二次函数y=x2+bx+c的图像经过点C1，2，所以b+c=1.（1）
又S△ABC=8， 则有1221b2-4c=8，
即b2-4c=8.（2）
由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，从而c=-1或 c=7.故该二次函数为y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.
作者简介吴健，男，陕西咸阳人，陕西省咸阳市有突出贡献专家、市十大杰出人物、市新世纪学术带头人，发表文稿2000余篇，著作多部.
纵观近几年的中考试卷，考题中出现了大量的以抛物线为载体，探究由抛物线上的点构造有关特殊三角形的面积问题.这类题以直角坐标系为背景，由边和角的不确定性，考查了分类讨论、数形结合等数学思想.本文探究抛物线与有关特殊三角形的面积.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，当b2-4ac≥ 时，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B两点间的距离，则有d=xA-xB=b2-4aca.
在△ABC中，当C是抛物线的顶点时， AB边上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，
即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）
在△ABC中，设C（h，k）是抛物线上任意一点，易知AB边上的高=yc=k，
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，
即S△ABC=12kab2-4ac.（2）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等腰直角三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，CE=BE.
又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化简得b2-4ac=4.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=
12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等边三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，则有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化简得b2-4ac=12.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.
即S△ABC=33a2.（4）
下面举例说明这几个公式在解题中的应用.
例1若二次函数y=x2 -（k+1 ）x+k-2的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则S△ABC的最小值是.
解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.当k=1时，b2-4ac的最小值是8.
由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.
故S△ABC的最小值是22.
例2若二次函数y=-3x2 -4x-k+5的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等边三角形时，求k的值和S△ABC.
解因为b2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.
例3若二次函数y=14-kx2 -x+k的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当k为何值时，△ABC为等腰直角三角形，并求S△ABC.
解因为b2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.
例4已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且经过点C（1，2），若S△ABC=8，求该二次函数的表达式.
解因为二次函数y=x2+bx+c的图像经过点C1，2，所以b+c=1.（1）
又S△ABC=8， 则有1221b2-4c=8，
即b2-4c=8.（2）
由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，从而c=-1或 c=7.故该二次函数为y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.
作者简介吴健，男，陕西咸阳人，陕西省咸阳市有突出贡献专家、市十大杰出人物、市新世纪学术带头人，发表文稿2000余篇，著作多部.
纵观近几年的中考试卷，考题中出现了大量的以抛物线为载体，探究由抛物线上的点构造有关特殊三角形的面积问题.这类题以直角坐标系为背景，由边和角的不确定性，考查了分类讨论、数形结合等数学思想.本文探究抛物线与有关特殊三角形的面积.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，当b2-4ac≥ 时，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B两点间的距离，则有d=xA-xB=b2-4aca.
在△ABC中，当C是抛物线的顶点时， AB边上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，
即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）
在△ABC中，设C（h，k）是抛物线上任意一点，易知AB边上的高=yc=k，
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，
即S△ABC=12kab2-4ac.（2）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等腰直角三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，CE=BE.
又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化简得b2-4ac=4.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=
12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等边三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，则有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化简得b2-4ac=12.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.
即S△ABC=33a2.（4）
下面举例说明这几个公式在解题中的应用.
例1若二次函数y=x2 -（k+1 ）x+k-2的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则S△ABC的最小值是.
解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.当k=1时，b2-4ac的最小值是8.
由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.
故S△ABC的最小值是22.
例2若二次函数y=-3x2 -4x-k+5的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等边三角形时，求k的值和S△ABC.
解因为b2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.
例3若二次函数y=14-kx2 -x+k的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当k为何值时，△ABC为等腰直角三角形，并求S△ABC.
解因为b2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.
例4已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且经过点C（1，2），若S△ABC=8，求该二次函数的表达式.
解因为二次函数y=x2+bx+c的图像经过点C1，2，所以b+c=1.（1）
又S△ABC=8， 则有1221b2-4c=8，
即b2-4c=8.（2）
由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，从而c=-1或 c=7.故该二次函数为y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.
作者简介吴健，男，陕西咸阳人，陕西省咸阳市有突出贡献专家、市十大杰出人物、市新世纪学术带头人，发表文稿2000余篇，著作多部.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，当b2-4ac≥ 时，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B两点间的距离，则有d=xA-xB=b2-4aca.
在△ABC中，当C是抛物线的顶点时， AB边上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，
即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）
在△ABC中，设C（h，k）是抛物线上任意一点，易知AB边上的高=yc=k，
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，
即S△ABC=12kab2-4ac.（2）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等腰直角三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，CE=BE.
又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化简得b2-4ac=4.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=
12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等边三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，则有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化简得b2-4ac=12.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.
即S△ABC=33a2.（4）
下面举例说明这几个公式在解题中的应用.
例1若二次函数y=x2 -（k+1 ）x+k-2的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则S△ABC的最小值是.
解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.当k=1时，b2-4ac的最小值是8.
由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.
故S△ABC的最小值是22.
例2若二次函数y=-3x2 -4x-k+5的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等边三角形时，求k的值和S△ABC.
解因为b2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.
例3若二次函数y=14-kx2 -x+k的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当k为何值时，△ABC为等腰直角三角形，并求S△ABC.
解因为b2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.
例4已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且经过点C（1，2），若S△ABC=8，求该二次函数的表达式.
解因为二次函数y=x2+bx+c的图像经过点C1，2，所以b+c=1.（1）
又S△ABC=8， 则有1221b2-4c=8，
即b2-4c=8.（2）
由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，从而c=-1或 c=7.故该二次函数为y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.
作者简介吴健，男，陕西咸阳人，陕西省咸阳市有突出贡献专家、市十大杰出人物、市新世纪学术带头人，发表文稿2000余篇，著作多部.
纵观近几年的中考试卷，考题中出现了大量的以抛物线为载体，探究由抛物线上的点构造有关特殊三角形的面积问题.这类题以直角坐标系为背景，由边和角的不确定性，考查了分类讨论、数形结合等数学思想.本文探究抛物线与有关特殊三角形的面积.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，当b2-4ac≥ 时，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B两点间的距离，则有d=xA-xB=b2-4aca.
在△ABC中，当C是抛物线的顶点时， AB边上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，
即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）
在△ABC中，设C（h，k）是抛物线上任意一点，易知AB边上的高=yc=k，
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，
即S△ABC=12kab2-4ac.（2）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等腰直角三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，CE=BE.
又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化简得b2-4ac=4.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=
12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等边三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，则有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化简得b2-4ac=12.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.
即S△ABC=33a2.（4）
下面举例说明这几个公式在解题中的应用.
例1若二次函数y=x2 -（k+1 ）x+k-2的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则S△ABC的最小值是.
解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.当k=1时，b2-4ac的最小值是8.
由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.
故S△ABC的最小值是22.
例2若二次函数y=-3x2 -4x-k+5的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等边三角形时，求k的值和S△ABC.
解因为b2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.
例3若二次函数y=14-kx2 -x+k的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当k为何值时，△ABC为等腰直角三角形，并求S△ABC.
解因为b2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.
例4已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且经过点C（1，2），若S△ABC=8，求该二次函数的表达式.
解因为二次函数y=x2+bx+c的图像经过点C1，2，所以b+c=1.（1）
又S△ABC=8， 则有1221b2-4c=8，
即b2-4c=8.（2）
由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，从而c=-1或 c=7.故该二次函数为y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.
作者简介吴健，男，陕西咸阳人，陕西省咸阳市有突出贡献专家、市十大杰出人物、市新世纪学术带头人，发表文稿2000余篇，著作多部.
纵观近几年的中考试卷，考题中出现了大量的以抛物线为载体，探究由抛物线上的点构造有关特殊三角形的面积问题.这类题以直角坐标系为背景，由边和角的不确定性，考查了分类讨论、数形结合等数学思想.本文探究抛物线与有关特殊三角形的面积.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，当b2-4ac≥ 时，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B两点间的距离，则有d=xA-xB=b2-4aca.
在△ABC中，当C是抛物线的顶点时， AB边上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，
即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）
在△ABC中，设C（h，k）是抛物线上任意一点，易知AB边上的高=yc=k，
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，
即S△ABC=12kab2-4ac.（2）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等腰直角三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，CE=BE.
又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化简得b2-4ac=4.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=
12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）
当C是抛物线的顶点且△ABC为等边三角形时，过点C作AB的垂线，垂足为E，则有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化简得b2-4ac=12.
所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.
即S△ABC=33a2.（4）
下面举例说明这几个公式在解题中的应用.
例1若二次函数y=x2 -（k+1 ）x+k-2的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则S△ABC的最小值是.
解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.当k=1时，b2-4ac的最小值是8.
由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.
故S△ABC的最小值是22.
例2若二次函数y=-3x2 -4x-k+5的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等边三角形时，求k的值和S△ABC.
解因为b2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.
例3若二次函数y=14-kx2 -x+k的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，当k为何值时，△ABC为等腰直角三角形，并求S△ABC.
解因为b2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.
例4已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且经过点C（1，2），若S△ABC=8，求该二次函数的表达式.
解因为二次函数y=x2+bx+c的图像经过点C1，2，所以b+c=1.（1）
又S△ABC=8， 则有1221b2-4c=8，
即b2-4c=8.（2）
由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，从而c=-1或 c=7.故该二次函数为y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.
作者简介吴健，男，陕西咸阳人，陕西省咸阳市有突出贡献专家、市十大杰出人物、市新世纪学术带头人，发表文稿2000余篇，著作多部.
