基于审美体验的数学活动教学
孙朝仁+朱桂凤
审美体验是课堂教学的最高境界.审美不是文学与艺术的专利，与数学教育息息相关.张奠宙先生“‘悟的过程，就是数学欣赏过程”的论断就确证这一点.如果说，数学欣赏是一片等待开发的沃土；那么，数学审美体验则是亟待耕作的一方良田.本文以数学活动教学为例，探讨如何实施“审美体验”的数学教学.1 审美体验的教学价值
1.1 知识经验“客观化”
审美是知识经验内化的心理条件.学习新知的过程就是审美作用施加的过程，知识经验获得的过程就是审美体验释放的心理过程.王国维先生的“须入乎其内，又须出乎其外”的论断在一定层面就回应了审美体验价值的双向度（内隐与外显交互作用）.学习者自己建构的个体经验往往缺乏稳定性，唯有嵌入“学伴圈”共同体的审美通式，方能在内审美组织的调节下渐次形成确认的“客观经验”.
审美体验的教学价值不止于客观化知识经验，还在于充满生命张力的思想方法.
1.2 思想方法“本体化”
最核心的数学思想是什么？就是很多数学知识都忘了之后，还能留下的东西.这是史宁中教授的教学观.教授提出这样的命题，不在于思想方法本身的重要性，而在于思想方法支配人的能力，这就是学科教学本源性价值所在.思想方法隐藏在具体知识背后，因而其形成与发展更要借助审美体验，方能在吸纳知识经验的过程中成就终身受用的方法论.思想方法本体化的过程就是个体认知激情与审美状态理性联接的过程.
审美体验的教学价值不能止于本体化思想方法，更在于此在化的情感倾向.
1.3 情感倾向“此在化”（唯美化或唯美意象）
“如何让你遇见我，在我最美丽的时刻.”这是席慕蓉的诗，在一定层面反映了学习者由审美体验引发了此在化的情感倾向.“此在”是海德格尔哲学用语，有“属己的”（德文俗语是“Eigentlich”）大意，在这里是“真、善、美”的复合体[1].抽象美丽的“我”就出现在情感此在化的过程里，情感此在化发生的过程就是内在审美因素作用的过程.审美对象并不是一种本然的存在，不仅与人的审美意识和审美能力相关，更重要的与主体的审美状态匹配，所谓情景交融，决定因素是情而非景.
2 审美体验的教学实践
“儿童/是由一百种组成的/儿童有/一百种语言/一百双手/一百个念头/一百种思考、游戏、说话的方式/还有一百种倾听、惊奇和爱的方式/有一百种欢乐，去歌唱、去理解/一百个世界，去梦想……”这是意大利马拉古奇对儿童审美体验的变向刻画.好课的亮点就在于有目的地展现和开发数学审美状态，淡化灰色群体的灰暗心理，“青春”的学习心理离不开审美体验策略的运作.
2.1 活动流程简单与和谐，让学习者在舒展的“情”“境”中感受“简约美”
托尔斯泰以为，朴素是美的必要条件.而简单与和谐又是朴素的支点，所以朴素美的背后必然是简单美、和谐美的统一.简约是朴素的集大成者，简约美不能脱离媒介而存在，隐存于学习者认知情绪的内存，必须依附于一定的情境载体，方能因感受简约而释放简约美的力量.简约美的本质是“简而不减，富而不浮”；简约美的力量就在于以最精炼的线条拉动学生最丰硕的激情体验，以最简捷的体系让学生获得最丰厚的收成[2].
比如，在“分割等边三角形纸片”活动中，仅设置两个问题情境：（1）将一张等边三角形纸片分割成4张、6张小等边三角形纸片，说说你的分法；（2）请你说说把一张等边三角形分割成n（n≥9）张小等边三角形纸片的分割方法.简短的两行“书写宇宙的文字”（伽利略语）却让孩子们沉迷了足足一节课，终归于正确的方法论论断：利用等边三角形的中位线能分割成4张小等边三角形纸片（称为基本分割法1）；作等边三角形一条中位线将其分割成1个等边三角形和梯形，再利用梯形上底的中点和下底的三等分点，将梯形分割成5张小等边三角形纸片，从而分割成6张小等边三角形纸片（称为基本分割法2）；重复使用分割方法1和分割方法2或组合使用，就能获得分割成n（n≥9）张小等边三角形纸片的方法.伴随下课铃声的到来，孩子们还在意犹未尽的碰撞与交锋，这是简约美的本质力量让孩子们“沉醉不知归路”.
回溯情境流程，简约美穿行始终毋容置疑.首先，这里的“情”是纸片简单、好玩、能做，这里的“境”是朴素、和谐、理趣，“情”“境”融合的结果便是两种“分割套路”的重复或组合，暗流涌动的“火热思考”霎那凝练成“冰冷美丽”的复合物，简约美从爱美心底油然而生.其次，探索分割方法的过程就是“富而不浮”本质外显的过程，“基本套路”澄明敞亮的过程就是“豪华落尽见真淳”外溢的简约状态.
2.2 活动形式多样与多元，让学习者在自主的“和”“合”中感悟“自由美”
“世界是按照美的原则来构建的”，“人也是按照美的规律来建造的”（马克思语）.作为教育客体的学习者，首先是一个大写的“人”，因此有审美需求；其次，审美对象又是世界的一个组件，因此需要施加审美塑造，即“搜尽奇峰打草稿”（清人石涛）的创作态度，方能在自由心境的支配下，滋生自由美的质感.自由心境的产生拒绝单一和封闭，渴求形式多样、形态多元，方能在“和”“合”理念统摄的自由平台上，释放原生态的学科审美官能.
比如，在“制作无盖的长方体纸盒”活动中，创设梯级审美载体：（1）用一根长为20cm的绳子围成一个长方形，怎样才能使长方形的面积尽可能大？（2）如何用一张正方形的硬纸板制作无盖的长方体纸盒？（3）若正方形硬纸板的边长为20cm，每个小正方形的边长为xcm，你能用含x的代数式表示无盖的长方体纸盒的容积V吗？当x为多少时，V的值尽可能的大？三个问题变式由特殊到一般、由简单到复杂，按照审美的内在逻辑顺序依次呈现.“尽可能大”“制作”“V的值尽可能的大”这些关键词本身就包含着多样和多元、猜想和创造以及“和合”文化的审美背景.“制作”和“探索”结论的过程就是自由美感抬升的过程，孩子们的脸上写满了原始的快乐，终归于自由美感的洋溢和审美体验的定向移情.
“从一粒沙子中窥探世界，在一朵野花里寻觅天堂.掌中握无限，霎那成永恒.”（威廉·布莱克语）每个孩子都有天生的爱美能力，一旦拥有自由展现的时空，就会产生惊人的学习吞吐量，由教育受体转化为教育矛体.“受体”向“矛体”逆转的过程就是自由美奔放的过程.而案例本身的开放性就洋溢一种人性所向的自由美，“和+合”视野下的人文价值观就是自由美的皈依.
2.3 活动载体理趣与理序，让学习者在积极的“求”“创”中体验“抽象美”
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.就M·克莱因先生的审美愿望而言，情怀是抽象美滋润的结果，赏心悦目、动人心弦是理趣与理序复合作用的审美心理状态，而获得智慧与改善生活离不开审美求创的努力.因此，我们有理由相信M·克莱因先生的审美状态可期待.因为期待，皮革马利翁让雕塑变成美女，这已不是神话，已被罗森塔尔的心理实验所证实.因此，蕴含“趣”与“序”的活动载体，能让孩子们在求创的躬耕中体验“抽象美”.
比如，在“折等腰三角形”活动中，设所有矩形纸片的长为a，宽为b，根据折叠方法画出示意图，并说明折法的合理性.折纸有“趣”，说理有“序”，折在关键，叠在本质.折纸是一种创造行为，也是一种审美逻辑顺序，每一步操作，每一次说理都是抽象审美支配的结果.孩子们在自由时空内，自性的言说和自信的图式，在创造审美的内驱下获得客观和可观的论断（如图1呈现4种主要的折法）.求探等腰三角形的过程就是抽象审美发挥作用的过程，终归于精彩纷呈、位格不同而立意多元的结论，这就是抽象美通达的结果.哲学家曾将“审美”作为学习的最高境界，“学有所乐”是一种淡定而飘逸的审美人生.折纸活动本身就是抽象美的外显，“折”的技艺就是抽象美的思维凝练，方法的合理性则是抽象美的内在逻辑.而抽象美的体验产生于求创的过程中，孩子们创造的过程就是理与序、意与形融通的过程，也是“灰色区域”幡然敞亮的幸福一刻，其间的快乐由内而外.这与罗素的审美体验“数学不但拥有真理，而且也具有至高的美”一脉相通.
2.4 活动思维融合与关联，让学习者在自性的“情”“意”中体认“无限美”
“绚烂之极归于平淡，浮华之极归于朴素”这是美学家宗白华先生的课程观.短短的十六个字就将教育审美体验表达到极致.其间，“绚烂”是思维的关联与融合，“浮华”是情与意的辩证统一，“平淡”是一种归真自性的作学心理状态，“朴素”则是无限美的最高境界.美渗透在精湛设计的字里行间，美流淌在思维积极探问的状态里，美浸润在论断发现的惊奇里.“风波即大道，尘土有至情”，美让“操心”活动变得价值连城.[3]学科教育不能没有审美，孩子们情意的变化是审美的内在表现，润物无声，拒绝标签，也拒绝说教.
比如，在“分割正方形”操作活动中，设置操作不变性问题串：（1）不能分割成n（n≤6）个正方形的情况有哪些？（2）画出把一个正方形分割成7个、8个、9个小正方形的示意图；（3）说说如何把一个正方形分割成n（n≥9）个正方形的方法；（4）如何将一个正方形分割成15个和99个小正方形呢？说说你是怎样知道的？在开放的平台上，在“学伴圈”思维通式的关联与融合下，孩子们终归于答案的完美.问题（1）给出基本分割法（如图2，A型和B型）和2个、3个、5个不能分割的正确结论；问题（2）探出通过两次A型操作分割成7个、5等分边的类B型操作分割成8个（如图3）、两次A型操作或A型、B型各操作一次都可以分割成9个小正方形的结论；问题（3）通过A型、B型或其组合操作分割成9个、10个、11个基础上，每使用一次A型操作，可增加3个，以此类推，可以获得具体的分割方法；问题（4）是“经世致用”思想，借助二元一次方程正整数解的方法给出简捷的答案.
经历了“直观操作—联系比较—归纳概括—深度理解”的研究过程，学生获得不仅仅是数学结论，更重要的是意志努力下豁然开朗一刻“无限美”的体验.
“自然界不能是无理性的，而理性不是反自然的.”（恩格斯语）思维的关联是理性的、情与意的融合也是理性的，无限美的审美感受则是理性的叠加，而这些理性的要素依托于活动的载体，是自然的自然，因此，活动的施加过程与其血脉相连.如果说，学生求探分割方法的过程是一种无限中的有限，那么借助方程模型探得结论则是有限中的无限，而思维勾连交错的过程则是无限中的无限.如果把活动看作是“积累经验”的积件，则是对数学活动的误解，其要义是人文审美性能的增值，这才是活动展开的本质初衷.歌德的“理论是灰色的，而生活之树长青”的论断，再度显化“水木清华”数学人应有的课程文化观.
参考文献
[1]傅佩荣.西方哲学与人生（第2卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[2]杨九俊.向往真善美走向高境界[J].江苏教育研究，2014（2B）：4-8.
[3]朱桂凤.高效课堂：行走在自由与规则的中间地带[J].中学数学（下半月），2014（4）：68-70.
“从一粒沙子中窥探世界，在一朵野花里寻觅天堂.掌中握无限，霎那成永恒.”（威廉·布莱克语）每个孩子都有天生的爱美能力，一旦拥有自由展现的时空，就会产生惊人的学习吞吐量，由教育受体转化为教育矛体.“受体”向“矛体”逆转的过程就是自由美奔放的过程.而案例本身的开放性就洋溢一种人性所向的自由美，“和+合”视野下的人文价值观就是自由美的皈依.
2.3 活动载体理趣与理序，让学习者在积极的“求”“创”中体验“抽象美”
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.就M·克莱因先生的审美愿望而言，情怀是抽象美滋润的结果，赏心悦目、动人心弦是理趣与理序复合作用的审美心理状态，而获得智慧与改善生活离不开审美求创的努力.因此，我们有理由相信M·克莱因先生的审美状态可期待.因为期待，皮革马利翁让雕塑变成美女，这已不是神话，已被罗森塔尔的心理实验所证实.因此，蕴含“趣”与“序”的活动载体，能让孩子们在求创的躬耕中体验“抽象美”.
比如，在“折等腰三角形”活动中，设所有矩形纸片的长为a，宽为b，根据折叠方法画出示意图，并说明折法的合理性.折纸有“趣”，说理有“序”，折在关键，叠在本质.折纸是一种创造行为，也是一种审美逻辑顺序，每一步操作，每一次说理都是抽象审美支配的结果.孩子们在自由时空内，自性的言说和自信的图式，在创造审美的内驱下获得客观和可观的论断（如图1呈现4种主要的折法）.求探等腰三角形的过程就是抽象审美发挥作用的过程，终归于精彩纷呈、位格不同而立意多元的结论，这就是抽象美通达的结果.哲学家曾将“审美”作为学习的最高境界，“学有所乐”是一种淡定而飘逸的审美人生.折纸活动本身就是抽象美的外显，“折”的技艺就是抽象美的思维凝练，方法的合理性则是抽象美的内在逻辑.而抽象美的体验产生于求创的过程中，孩子们创造的过程就是理与序、意与形融通的过程，也是“灰色区域”幡然敞亮的幸福一刻，其间的快乐由内而外.这与罗素的审美体验“数学不但拥有真理，而且也具有至高的美”一脉相通.
2.4 活动思维融合与关联，让学习者在自性的“情”“意”中体认“无限美”
“绚烂之极归于平淡，浮华之极归于朴素”这是美学家宗白华先生的课程观.短短的十六个字就将教育审美体验表达到极致.其间，“绚烂”是思维的关联与融合，“浮华”是情与意的辩证统一，“平淡”是一种归真自性的作学心理状态，“朴素”则是无限美的最高境界.美渗透在精湛设计的字里行间，美流淌在思维积极探问的状态里，美浸润在论断发现的惊奇里.“风波即大道，尘土有至情”，美让“操心”活动变得价值连城.[3]学科教育不能没有审美，孩子们情意的变化是审美的内在表现，润物无声，拒绝标签，也拒绝说教.
比如，在“分割正方形”操作活动中，设置操作不变性问题串：（1）不能分割成n（n≤6）个正方形的情况有哪些？（2）画出把一个正方形分割成7个、8个、9个小正方形的示意图；（3）说说如何把一个正方形分割成n（n≥9）个正方形的方法；（4）如何将一个正方形分割成15个和99个小正方形呢？说说你是怎样知道的？在开放的平台上，在“学伴圈”思维通式的关联与融合下，孩子们终归于答案的完美.问题（1）给出基本分割法（如图2，A型和B型）和2个、3个、5个不能分割的正确结论；问题（2）探出通过两次A型操作分割成7个、5等分边的类B型操作分割成8个（如图3）、两次A型操作或A型、B型各操作一次都可以分割成9个小正方形的结论；问题（3）通过A型、B型或其组合操作分割成9个、10个、11个基础上，每使用一次A型操作，可增加3个，以此类推，可以获得具体的分割方法；问题（4）是“经世致用”思想，借助二元一次方程正整数解的方法给出简捷的答案.
经历了“直观操作—联系比较—归纳概括—深度理解”的研究过程，学生获得不仅仅是数学结论，更重要的是意志努力下豁然开朗一刻“无限美”的体验.
“自然界不能是无理性的，而理性不是反自然的.”（恩格斯语）思维的关联是理性的、情与意的融合也是理性的，无限美的审美感受则是理性的叠加，而这些理性的要素依托于活动的载体，是自然的自然，因此，活动的施加过程与其血脉相连.如果说，学生求探分割方法的过程是一种无限中的有限，那么借助方程模型探得结论则是有限中的无限，而思维勾连交错的过程则是无限中的无限.如果把活动看作是“积累经验”的积件，则是对数学活动的误解，其要义是人文审美性能的增值，这才是活动展开的本质初衷.歌德的“理论是灰色的，而生活之树长青”的论断，再度显化“水木清华”数学人应有的课程文化观.
参考文献
[1]傅佩荣.西方哲学与人生（第2卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[2]杨九俊.向往真善美走向高境界[J].江苏教育研究，2014（2B）：4-8.
[3]朱桂凤.高效课堂：行走在自由与规则的中间地带[J].中学数学（下半月），2014（4）：68-70.
“从一粒沙子中窥探世界，在一朵野花里寻觅天堂.掌中握无限，霎那成永恒.”（威廉·布莱克语）每个孩子都有天生的爱美能力，一旦拥有自由展现的时空，就会产生惊人的学习吞吐量，由教育受体转化为教育矛体.“受体”向“矛体”逆转的过程就是自由美奔放的过程.而案例本身的开放性就洋溢一种人性所向的自由美，“和+合”视野下的人文价值观就是自由美的皈依.
2.3 活动载体理趣与理序，让学习者在积极的“求”“创”中体验“抽象美”
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.就M·克莱因先生的审美愿望而言，情怀是抽象美滋润的结果，赏心悦目、动人心弦是理趣与理序复合作用的审美心理状态，而获得智慧与改善生活离不开审美求创的努力.因此，我们有理由相信M·克莱因先生的审美状态可期待.因为期待，皮革马利翁让雕塑变成美女，这已不是神话，已被罗森塔尔的心理实验所证实.因此，蕴含“趣”与“序”的活动载体，能让孩子们在求创的躬耕中体验“抽象美”.
比如，在“折等腰三角形”活动中，设所有矩形纸片的长为a，宽为b，根据折叠方法画出示意图，并说明折法的合理性.折纸有“趣”，说理有“序”，折在关键，叠在本质.折纸是一种创造行为，也是一种审美逻辑顺序，每一步操作，每一次说理都是抽象审美支配的结果.孩子们在自由时空内，自性的言说和自信的图式，在创造审美的内驱下获得客观和可观的论断（如图1呈现4种主要的折法）.求探等腰三角形的过程就是抽象审美发挥作用的过程，终归于精彩纷呈、位格不同而立意多元的结论，这就是抽象美通达的结果.哲学家曾将“审美”作为学习的最高境界，“学有所乐”是一种淡定而飘逸的审美人生.折纸活动本身就是抽象美的外显，“折”的技艺就是抽象美的思维凝练，方法的合理性则是抽象美的内在逻辑.而抽象美的体验产生于求创的过程中，孩子们创造的过程就是理与序、意与形融通的过程，也是“灰色区域”幡然敞亮的幸福一刻，其间的快乐由内而外.这与罗素的审美体验“数学不但拥有真理，而且也具有至高的美”一脉相通.
2.4 活动思维融合与关联，让学习者在自性的“情”“意”中体认“无限美”
“绚烂之极归于平淡，浮华之极归于朴素”这是美学家宗白华先生的课程观.短短的十六个字就将教育审美体验表达到极致.其间，“绚烂”是思维的关联与融合，“浮华”是情与意的辩证统一，“平淡”是一种归真自性的作学心理状态，“朴素”则是无限美的最高境界.美渗透在精湛设计的字里行间，美流淌在思维积极探问的状态里，美浸润在论断发现的惊奇里.“风波即大道，尘土有至情”，美让“操心”活动变得价值连城.[3]学科教育不能没有审美，孩子们情意的变化是审美的内在表现，润物无声，拒绝标签，也拒绝说教.
比如，在“分割正方形”操作活动中，设置操作不变性问题串：（1）不能分割成n（n≤6）个正方形的情况有哪些？（2）画出把一个正方形分割成7个、8个、9个小正方形的示意图；（3）说说如何把一个正方形分割成n（n≥9）个正方形的方法；（4）如何将一个正方形分割成15个和99个小正方形呢？说说你是怎样知道的？在开放的平台上，在“学伴圈”思维通式的关联与融合下，孩子们终归于答案的完美.问题（1）给出基本分割法（如图2，A型和B型）和2个、3个、5个不能分割的正确结论；问题（2）探出通过两次A型操作分割成7个、5等分边的类B型操作分割成8个（如图3）、两次A型操作或A型、B型各操作一次都可以分割成9个小正方形的结论；问题（3）通过A型、B型或其组合操作分割成9个、10个、11个基础上，每使用一次A型操作，可增加3个，以此类推，可以获得具体的分割方法；问题（4）是“经世致用”思想，借助二元一次方程正整数解的方法给出简捷的答案.
经历了“直观操作—联系比较—归纳概括—深度理解”的研究过程，学生获得不仅仅是数学结论，更重要的是意志努力下豁然开朗一刻“无限美”的体验.
“自然界不能是无理性的，而理性不是反自然的.”（恩格斯语）思维的关联是理性的、情与意的融合也是理性的，无限美的审美感受则是理性的叠加，而这些理性的要素依托于活动的载体，是自然的自然，因此，活动的施加过程与其血脉相连.如果说，学生求探分割方法的过程是一种无限中的有限，那么借助方程模型探得结论则是有限中的无限，而思维勾连交错的过程则是无限中的无限.如果把活动看作是“积累经验”的积件，则是对数学活动的误解，其要义是人文审美性能的增值，这才是活动展开的本质初衷.歌德的“理论是灰色的，而生活之树长青”的论断，再度显化“水木清华”数学人应有的课程文化观.
参考文献
[1]傅佩荣.西方哲学与人生（第2卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[2]杨九俊.向往真善美走向高境界[J].江苏教育研究，2014（2B）：4-8.
[3]朱桂凤.高效课堂：行走在自由与规则的中间地带[J].中学数学（下半月），2014（4）：68-70.
审美体验是课堂教学的最高境界.审美不是文学与艺术的专利，与数学教育息息相关.张奠宙先生“‘悟的过程，就是数学欣赏过程”的论断就确证这一点.如果说，数学欣赏是一片等待开发的沃土；那么，数学审美体验则是亟待耕作的一方良田.本文以数学活动教学为例，探讨如何实施“审美体验”的数学教学.1 审美体验的教学价值
1.1 知识经验“客观化”
审美是知识经验内化的心理条件.学习新知的过程就是审美作用施加的过程，知识经验获得的过程就是审美体验释放的心理过程.王国维先生的“须入乎其内，又须出乎其外”的论断在一定层面就回应了审美体验价值的双向度（内隐与外显交互作用）.学习者自己建构的个体经验往往缺乏稳定性，唯有嵌入“学伴圈”共同体的审美通式，方能在内审美组织的调节下渐次形成确认的“客观经验”.
审美体验的教学价值不止于客观化知识经验，还在于充满生命张力的思想方法.
1.2 思想方法“本体化”
最核心的数学思想是什么？就是很多数学知识都忘了之后，还能留下的东西.这是史宁中教授的教学观.教授提出这样的命题，不在于思想方法本身的重要性，而在于思想方法支配人的能力，这就是学科教学本源性价值所在.思想方法隐藏在具体知识背后，因而其形成与发展更要借助审美体验，方能在吸纳知识经验的过程中成就终身受用的方法论.思想方法本体化的过程就是个体认知激情与审美状态理性联接的过程.
审美体验的教学价值不能止于本体化思想方法，更在于此在化的情感倾向.
1.3 情感倾向“此在化”（唯美化或唯美意象）
“如何让你遇见我，在我最美丽的时刻.”这是席慕蓉的诗，在一定层面反映了学习者由审美体验引发了此在化的情感倾向.“此在”是海德格尔哲学用语，有“属己的”（德文俗语是“Eigentlich”）大意，在这里是“真、善、美”的复合体[1].抽象美丽的“我”就出现在情感此在化的过程里，情感此在化发生的过程就是内在审美因素作用的过程.审美对象并不是一种本然的存在，不仅与人的审美意识和审美能力相关，更重要的与主体的审美状态匹配，所谓情景交融，决定因素是情而非景.
2 审美体验的教学实践
“儿童/是由一百种组成的/儿童有/一百种语言/一百双手/一百个念头/一百种思考、游戏、说话的方式/还有一百种倾听、惊奇和爱的方式/有一百种欢乐，去歌唱、去理解/一百个世界，去梦想……”这是意大利马拉古奇对儿童审美体验的变向刻画.好课的亮点就在于有目的地展现和开发数学审美状态，淡化灰色群体的灰暗心理，“青春”的学习心理离不开审美体验策略的运作.
2.1 活动流程简单与和谐，让学习者在舒展的“情”“境”中感受“简约美”
托尔斯泰以为，朴素是美的必要条件.而简单与和谐又是朴素的支点，所以朴素美的背后必然是简单美、和谐美的统一.简约是朴素的集大成者，简约美不能脱离媒介而存在，隐存于学习者认知情绪的内存，必须依附于一定的情境载体，方能因感受简约而释放简约美的力量.简约美的本质是“简而不减，富而不浮”；简约美的力量就在于以最精炼的线条拉动学生最丰硕的激情体验，以最简捷的体系让学生获得最丰厚的收成[2].
比如，在“分割等边三角形纸片”活动中，仅设置两个问题情境：（1）将一张等边三角形纸片分割成4张、6张小等边三角形纸片，说说你的分法；（2）请你说说把一张等边三角形分割成n（n≥9）张小等边三角形纸片的分割方法.简短的两行“书写宇宙的文字”（伽利略语）却让孩子们沉迷了足足一节课，终归于正确的方法论论断：利用等边三角形的中位线能分割成4张小等边三角形纸片（称为基本分割法1）；作等边三角形一条中位线将其分割成1个等边三角形和梯形，再利用梯形上底的中点和下底的三等分点，将梯形分割成5张小等边三角形纸片，从而分割成6张小等边三角形纸片（称为基本分割法2）；重复使用分割方法1和分割方法2或组合使用，就能获得分割成n（n≥9）张小等边三角形纸片的方法.伴随下课铃声的到来，孩子们还在意犹未尽的碰撞与交锋，这是简约美的本质力量让孩子们“沉醉不知归路”.
回溯情境流程，简约美穿行始终毋容置疑.首先，这里的“情”是纸片简单、好玩、能做，这里的“境”是朴素、和谐、理趣，“情”“境”融合的结果便是两种“分割套路”的重复或组合，暗流涌动的“火热思考”霎那凝练成“冰冷美丽”的复合物，简约美从爱美心底油然而生.其次，探索分割方法的过程就是“富而不浮”本质外显的过程，“基本套路”澄明敞亮的过程就是“豪华落尽见真淳”外溢的简约状态.
2.2 活动形式多样与多元，让学习者在自主的“和”“合”中感悟“自由美”
“世界是按照美的原则来构建的”，“人也是按照美的规律来建造的”（马克思语）.作为教育客体的学习者，首先是一个大写的“人”，因此有审美需求；其次，审美对象又是世界的一个组件，因此需要施加审美塑造，即“搜尽奇峰打草稿”（清人石涛）的创作态度，方能在自由心境的支配下，滋生自由美的质感.自由心境的产生拒绝单一和封闭，渴求形式多样、形态多元，方能在“和”“合”理念统摄的自由平台上，释放原生态的学科审美官能.
比如，在“制作无盖的长方体纸盒”活动中，创设梯级审美载体：（1）用一根长为20cm的绳子围成一个长方形，怎样才能使长方形的面积尽可能大？（2）如何用一张正方形的硬纸板制作无盖的长方体纸盒？（3）若正方形硬纸板的边长为20cm，每个小正方形的边长为xcm，你能用含x的代数式表示无盖的长方体纸盒的容积V吗？当x为多少时，V的值尽可能的大？三个问题变式由特殊到一般、由简单到复杂，按照审美的内在逻辑顺序依次呈现.“尽可能大”“制作”“V的值尽可能的大”这些关键词本身就包含着多样和多元、猜想和创造以及“和合”文化的审美背景.“制作”和“探索”结论的过程就是自由美感抬升的过程，孩子们的脸上写满了原始的快乐，终归于自由美感的洋溢和审美体验的定向移情.
“从一粒沙子中窥探世界，在一朵野花里寻觅天堂.掌中握无限，霎那成永恒.”（威廉·布莱克语）每个孩子都有天生的爱美能力，一旦拥有自由展现的时空，就会产生惊人的学习吞吐量，由教育受体转化为教育矛体.“受体”向“矛体”逆转的过程就是自由美奔放的过程.而案例本身的开放性就洋溢一种人性所向的自由美，“和+合”视野下的人文价值观就是自由美的皈依.
2.3 活动载体理趣与理序，让学习者在积极的“求”“创”中体验“抽象美”
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.就M·克莱因先生的审美愿望而言，情怀是抽象美滋润的结果，赏心悦目、动人心弦是理趣与理序复合作用的审美心理状态，而获得智慧与改善生活离不开审美求创的努力.因此，我们有理由相信M·克莱因先生的审美状态可期待.因为期待，皮革马利翁让雕塑变成美女，这已不是神话，已被罗森塔尔的心理实验所证实.因此，蕴含“趣”与“序”的活动载体，能让孩子们在求创的躬耕中体验“抽象美”.
比如，在“折等腰三角形”活动中，设所有矩形纸片的长为a，宽为b，根据折叠方法画出示意图，并说明折法的合理性.折纸有“趣”，说理有“序”，折在关键，叠在本质.折纸是一种创造行为，也是一种审美逻辑顺序，每一步操作，每一次说理都是抽象审美支配的结果.孩子们在自由时空内，自性的言说和自信的图式，在创造审美的内驱下获得客观和可观的论断（如图1呈现4种主要的折法）.求探等腰三角形的过程就是抽象审美发挥作用的过程，终归于精彩纷呈、位格不同而立意多元的结论，这就是抽象美通达的结果.哲学家曾将“审美”作为学习的最高境界，“学有所乐”是一种淡定而飘逸的审美人生.折纸活动本身就是抽象美的外显，“折”的技艺就是抽象美的思维凝练，方法的合理性则是抽象美的内在逻辑.而抽象美的体验产生于求创的过程中，孩子们创造的过程就是理与序、意与形融通的过程，也是“灰色区域”幡然敞亮的幸福一刻，其间的快乐由内而外.这与罗素的审美体验“数学不但拥有真理，而且也具有至高的美”一脉相通.
2.4 活动思维融合与关联，让学习者在自性的“情”“意”中体认“无限美”
“绚烂之极归于平淡，浮华之极归于朴素”这是美学家宗白华先生的课程观.短短的十六个字就将教育审美体验表达到极致.其间，“绚烂”是思维的关联与融合，“浮华”是情与意的辩证统一，“平淡”是一种归真自性的作学心理状态，“朴素”则是无限美的最高境界.美渗透在精湛设计的字里行间，美流淌在思维积极探问的状态里，美浸润在论断发现的惊奇里.“风波即大道，尘土有至情”，美让“操心”活动变得价值连城.[3]学科教育不能没有审美，孩子们情意的变化是审美的内在表现，润物无声，拒绝标签，也拒绝说教.
比如，在“分割正方形”操作活动中，设置操作不变性问题串：（1）不能分割成n（n≤6）个正方形的情况有哪些？（2）画出把一个正方形分割成7个、8个、9个小正方形的示意图；（3）说说如何把一个正方形分割成n（n≥9）个正方形的方法；（4）如何将一个正方形分割成15个和99个小正方形呢？说说你是怎样知道的？在开放的平台上，在“学伴圈”思维通式的关联与融合下，孩子们终归于答案的完美.问题（1）给出基本分割法（如图2，A型和B型）和2个、3个、5个不能分割的正确结论；问题（2）探出通过两次A型操作分割成7个、5等分边的类B型操作分割成8个（如图3）、两次A型操作或A型、B型各操作一次都可以分割成9个小正方形的结论；问题（3）通过A型、B型或其组合操作分割成9个、10个、11个基础上，每使用一次A型操作，可增加3个，以此类推，可以获得具体的分割方法；问题（4）是“经世致用”思想，借助二元一次方程正整数解的方法给出简捷的答案.
经历了“直观操作—联系比较—归纳概括—深度理解”的研究过程，学生获得不仅仅是数学结论，更重要的是意志努力下豁然开朗一刻“无限美”的体验.
“自然界不能是无理性的，而理性不是反自然的.”（恩格斯语）思维的关联是理性的、情与意的融合也是理性的，无限美的审美感受则是理性的叠加，而这些理性的要素依托于活动的载体，是自然的自然，因此，活动的施加过程与其血脉相连.如果说，学生求探分割方法的过程是一种无限中的有限，那么借助方程模型探得结论则是有限中的无限，而思维勾连交错的过程则是无限中的无限.如果把活动看作是“积累经验”的积件，则是对数学活动的误解，其要义是人文审美性能的增值，这才是活动展开的本质初衷.歌德的“理论是灰色的，而生活之树长青”的论断，再度显化“水木清华”数学人应有的课程文化观.
参考文献
[1]傅佩荣.西方哲学与人生（第2卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[2]杨九俊.向往真善美走向高境界[J].江苏教育研究，2014（2B）：4-8.
[3]朱桂凤.高效课堂：行走在自由与规则的中间地带[J].中学数学（下半月），2014（4）：68-70.
“从一粒沙子中窥探世界，在一朵野花里寻觅天堂.掌中握无限，霎那成永恒.”（威廉·布莱克语）每个孩子都有天生的爱美能力，一旦拥有自由展现的时空，就会产生惊人的学习吞吐量，由教育受体转化为教育矛体.“受体”向“矛体”逆转的过程就是自由美奔放的过程.而案例本身的开放性就洋溢一种人性所向的自由美，“和+合”视野下的人文价值观就是自由美的皈依.
2.3 活动载体理趣与理序，让学习者在积极的“求”“创”中体验“抽象美”
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.就M·克莱因先生的审美愿望而言，情怀是抽象美滋润的结果，赏心悦目、动人心弦是理趣与理序复合作用的审美心理状态，而获得智慧与改善生活离不开审美求创的努力.因此，我们有理由相信M·克莱因先生的审美状态可期待.因为期待，皮革马利翁让雕塑变成美女，这已不是神话，已被罗森塔尔的心理实验所证实.因此，蕴含“趣”与“序”的活动载体，能让孩子们在求创的躬耕中体验“抽象美”.
比如，在“折等腰三角形”活动中，设所有矩形纸片的长为a，宽为b，根据折叠方法画出示意图，并说明折法的合理性.折纸有“趣”，说理有“序”，折在关键，叠在本质.折纸是一种创造行为，也是一种审美逻辑顺序，每一步操作，每一次说理都是抽象审美支配的结果.孩子们在自由时空内，自性的言说和自信的图式，在创造审美的内驱下获得客观和可观的论断（如图1呈现4种主要的折法）.求探等腰三角形的过程就是抽象审美发挥作用的过程，终归于精彩纷呈、位格不同而立意多元的结论，这就是抽象美通达的结果.哲学家曾将“审美”作为学习的最高境界，“学有所乐”是一种淡定而飘逸的审美人生.折纸活动本身就是抽象美的外显，“折”的技艺就是抽象美的思维凝练，方法的合理性则是抽象美的内在逻辑.而抽象美的体验产生于求创的过程中，孩子们创造的过程就是理与序、意与形融通的过程，也是“灰色区域”幡然敞亮的幸福一刻，其间的快乐由内而外.这与罗素的审美体验“数学不但拥有真理，而且也具有至高的美”一脉相通.
2.4 活动思维融合与关联，让学习者在自性的“情”“意”中体认“无限美”
“绚烂之极归于平淡，浮华之极归于朴素”这是美学家宗白华先生的课程观.短短的十六个字就将教育审美体验表达到极致.其间，“绚烂”是思维的关联与融合，“浮华”是情与意的辩证统一，“平淡”是一种归真自性的作学心理状态，“朴素”则是无限美的最高境界.美渗透在精湛设计的字里行间，美流淌在思维积极探问的状态里，美浸润在论断发现的惊奇里.“风波即大道，尘土有至情”，美让“操心”活动变得价值连城.[3]学科教育不能没有审美，孩子们情意的变化是审美的内在表现，润物无声，拒绝标签，也拒绝说教.
比如，在“分割正方形”操作活动中，设置操作不变性问题串：（1）不能分割成n（n≤6）个正方形的情况有哪些？（2）画出把一个正方形分割成7个、8个、9个小正方形的示意图；（3）说说如何把一个正方形分割成n（n≥9）个正方形的方法；（4）如何将一个正方形分割成15个和99个小正方形呢？说说你是怎样知道的？在开放的平台上，在“学伴圈”思维通式的关联与融合下，孩子们终归于答案的完美.问题（1）给出基本分割法（如图2，A型和B型）和2个、3个、5个不能分割的正确结论；问题（2）探出通过两次A型操作分割成7个、5等分边的类B型操作分割成8个（如图3）、两次A型操作或A型、B型各操作一次都可以分割成9个小正方形的结论；问题（3）通过A型、B型或其组合操作分割成9个、10个、11个基础上，每使用一次A型操作，可增加3个，以此类推，可以获得具体的分割方法；问题（4）是“经世致用”思想，借助二元一次方程正整数解的方法给出简捷的答案.
经历了“直观操作—联系比较—归纳概括—深度理解”的研究过程，学生获得不仅仅是数学结论，更重要的是意志努力下豁然开朗一刻“无限美”的体验.
“自然界不能是无理性的，而理性不是反自然的.”（恩格斯语）思维的关联是理性的、情与意的融合也是理性的，无限美的审美感受则是理性的叠加，而这些理性的要素依托于活动的载体，是自然的自然，因此，活动的施加过程与其血脉相连.如果说，学生求探分割方法的过程是一种无限中的有限，那么借助方程模型探得结论则是有限中的无限，而思维勾连交错的过程则是无限中的无限.如果把活动看作是“积累经验”的积件，则是对数学活动的误解，其要义是人文审美性能的增值，这才是活动展开的本质初衷.歌德的“理论是灰色的，而生活之树长青”的论断，再度显化“水木清华”数学人应有的课程文化观.
参考文献
[1]傅佩荣.西方哲学与人生（第2卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[2]杨九俊.向往真善美走向高境界[J].江苏教育研究，2014（2B）：4-8.
[3]朱桂凤.高效课堂：行走在自由与规则的中间地带[J].中学数学（下半月），2014（4）：68-70.
“从一粒沙子中窥探世界，在一朵野花里寻觅天堂.掌中握无限，霎那成永恒.”（威廉·布莱克语）每个孩子都有天生的爱美能力，一旦拥有自由展现的时空，就会产生惊人的学习吞吐量，由教育受体转化为教育矛体.“受体”向“矛体”逆转的过程就是自由美奔放的过程.而案例本身的开放性就洋溢一种人性所向的自由美，“和+合”视野下的人文价值观就是自由美的皈依.
2.3 活动载体理趣与理序，让学习者在积极的“求”“创”中体验“抽象美”
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.就M·克莱因先生的审美愿望而言，情怀是抽象美滋润的结果，赏心悦目、动人心弦是理趣与理序复合作用的审美心理状态，而获得智慧与改善生活离不开审美求创的努力.因此，我们有理由相信M·克莱因先生的审美状态可期待.因为期待，皮革马利翁让雕塑变成美女，这已不是神话，已被罗森塔尔的心理实验所证实.因此，蕴含“趣”与“序”的活动载体，能让孩子们在求创的躬耕中体验“抽象美”.
比如，在“折等腰三角形”活动中，设所有矩形纸片的长为a，宽为b，根据折叠方法画出示意图，并说明折法的合理性.折纸有“趣”，说理有“序”，折在关键，叠在本质.折纸是一种创造行为，也是一种审美逻辑顺序，每一步操作，每一次说理都是抽象审美支配的结果.孩子们在自由时空内，自性的言说和自信的图式，在创造审美的内驱下获得客观和可观的论断（如图1呈现4种主要的折法）.求探等腰三角形的过程就是抽象审美发挥作用的过程，终归于精彩纷呈、位格不同而立意多元的结论，这就是抽象美通达的结果.哲学家曾将“审美”作为学习的最高境界，“学有所乐”是一种淡定而飘逸的审美人生.折纸活动本身就是抽象美的外显，“折”的技艺就是抽象美的思维凝练，方法的合理性则是抽象美的内在逻辑.而抽象美的体验产生于求创的过程中，孩子们创造的过程就是理与序、意与形融通的过程，也是“灰色区域”幡然敞亮的幸福一刻，其间的快乐由内而外.这与罗素的审美体验“数学不但拥有真理，而且也具有至高的美”一脉相通.
2.4 活动思维融合与关联，让学习者在自性的“情”“意”中体认“无限美”
“绚烂之极归于平淡，浮华之极归于朴素”这是美学家宗白华先生的课程观.短短的十六个字就将教育审美体验表达到极致.其间，“绚烂”是思维的关联与融合，“浮华”是情与意的辩证统一，“平淡”是一种归真自性的作学心理状态，“朴素”则是无限美的最高境界.美渗透在精湛设计的字里行间，美流淌在思维积极探问的状态里，美浸润在论断发现的惊奇里.“风波即大道，尘土有至情”，美让“操心”活动变得价值连城.[3]学科教育不能没有审美，孩子们情意的变化是审美的内在表现，润物无声，拒绝标签，也拒绝说教.
比如，在“分割正方形”操作活动中，设置操作不变性问题串：（1）不能分割成n（n≤6）个正方形的情况有哪些？（2）画出把一个正方形分割成7个、8个、9个小正方形的示意图；（3）说说如何把一个正方形分割成n（n≥9）个正方形的方法；（4）如何将一个正方形分割成15个和99个小正方形呢？说说你是怎样知道的？在开放的平台上，在“学伴圈”思维通式的关联与融合下，孩子们终归于答案的完美.问题（1）给出基本分割法（如图2，A型和B型）和2个、3个、5个不能分割的正确结论；问题（2）探出通过两次A型操作分割成7个、5等分边的类B型操作分割成8个（如图3）、两次A型操作或A型、B型各操作一次都可以分割成9个小正方形的结论；问题（3）通过A型、B型或其组合操作分割成9个、10个、11个基础上，每使用一次A型操作，可增加3个，以此类推，可以获得具体的分割方法；问题（4）是“经世致用”思想，借助二元一次方程正整数解的方法给出简捷的答案.
经历了“直观操作—联系比较—归纳概括—深度理解”的研究过程，学生获得不仅仅是数学结论，更重要的是意志努力下豁然开朗一刻“无限美”的体验.
“自然界不能是无理性的，而理性不是反自然的.”（恩格斯语）思维的关联是理性的、情与意的融合也是理性的，无限美的审美感受则是理性的叠加，而这些理性的要素依托于活动的载体，是自然的自然，因此，活动的施加过程与其血脉相连.如果说，学生求探分割方法的过程是一种无限中的有限，那么借助方程模型探得结论则是有限中的无限，而思维勾连交错的过程则是无限中的无限.如果把活动看作是“积累经验”的积件，则是对数学活动的误解，其要义是人文审美性能的增值，这才是活动展开的本质初衷.歌德的“理论是灰色的，而生活之树长青”的论断，再度显化“水木清华”数学人应有的课程文化观.
参考文献
[1]傅佩荣.西方哲学与人生（第2卷）[M].北京：东方出版社，2013.
[2]杨九俊.向往真善美走向高境界[J].江苏教育研究，2014（2B）：4-8.
[3]朱桂凤.高效课堂：行走在自由与规则的中间地带[J].中学数学（下半月），2014（4）：68-70.
