从世界杯足球赛说起
张宇清+田献增
2014年巴西世界杯足球赛点燃了大众对足球的热情，茶余饭后人们都在关注世界杯，关注每一个精彩的射门.用数学的观点审视，足球的射门十分讲究角度，虽然角度越大，射中率越高，但角度太正，射出的球却毫无威胁，会被门将轻松“没收”.要想攻破门将的“十指关”，射门的角度必须“刁钻”.2014年淄博市的中考数学，就为数万名考生奉献了一道和射门角度有关的“压轴”大餐.本题一是在通过热点问题考察学生综合运用数学的核心知识（平面直角坐标系、圆周角定理、圆的切线的性质、垂径定理、三角形外角定理、勾股定理、相似三角形、解直角三角形、三角函数、方程等）分析问题、解决问题的同时，还借助动态情境考察学生的分类思想、方程思想、模型思想以及重要的数学方法——构造法.二是从选拔学生的角度看，具有很高的区分度.从某种意义上讲，这道题还为初高中衔接教学提供了一个经典的范例.是近几年难得一见的好题之一.
1原题呈现
如图1，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.
（1）使∠APB=30°的点P有个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由.
2试题分析
题目本身并未提到足球，但看到原题，我首先想到的却是足球射门，如果我们约定在球场所在平面进行研究，把线段AB看成是足球门的话，点P则代表足球运动员，第（1）问就是问球场内使得入射角度∠APB=30°的点P有多少个？第（2）问就是运动员沿着y轴带球，求使得入射角度∠APB=30°的点P的坐标，第（3）问则看成运动员沿着y轴带球，何时入射角度最大？这样，我们就可以构造辅助圆来解题.要构造出30°的圆周角，我们可以利用定理“同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”，通过构造60°的圆心角来完成.有了辅助圆，问题就会迎刃而解.第一问利用定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”，不难发现有无数个点P使∠APB=30°；第二问就是求辅助圆与y轴的交点；第三问则要重新构造一个与y轴相切的辅助圆，切点就是所求点P.
3试题解答
解法1（1）无数个.
（2）如图2，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，则点C的坐标为（3，23），以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2，此时∠AP1B=∠AP2B=30°，⊙C的半径为4，过点C作y的垂线CD，垂足为D，因为CP2=4，CD=3，所以DP2=42-32=7.所以P2（0，23-7），P1（0，23+7）.
同理，当P点在y轴负半轴上时，可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）当过点A，B的⊙D与y轴相切于点P时，∠APB最大.如图3，⊙D的半径为3，
连接DA，作DE垂直于x轴，垂足为E，得DE=DA2-AE2=32-22=5，所以P（0，5）.
当点P在y轴负半轴上时，可得P（0，-5）.
理由：在y轴正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，MB交⊙D于点N，连接NA，则∠APB=∠ANB，因为∠ANB是△AMN的外角，所以∠ANB>∠AMB，所以∠APB>∠AMB.若点P在y轴的负半轴上，同理可证得∠APB>∠AMB.
对于（2）、（3）下面给出解法2（2）如图4，过点A作PB的垂线，垂足为C，设OP=b，在Rt△AOP和Rt△BOP中，由勾股定理可得：PA=OP2+OA2=b2+1，
PB=OP2+OB2=b2+25，
在Rt△APC中，∠APC=30°，所以AC=12b2+1，由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
即12b2+14=bb2+25，整理得b4-38b2+25=0.
解得b2=19±421，所以b=23±7，
所以P1（0，23+7），P2（0，23-7）.
由对称性可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）只需把第（2）问中的“∠APC=30°”换成“∠APC=α的值”0°<α<90°，
由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
所以AC=AB·POPB=4bb2+25.
因为sinα=ACAB=4bb2+25b2+1=4bb2+25b2+1
=4bb4+26b2+25=4b2+26+25b2=
4b-5b2+36≤46=23，当b-5b2=0，即当b=±5时，因为0°<α<90°，sinα取得最大值，此时，∠APC=α的值最大.所以P（0，5）或P（0，-5）.
4深入研究
4.1规律探究
其实，足球的入射角度问题，和物体的最大视角问题属于同一个数学模型.最大视角问题，也称米勒问题.1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB=3米，立在一个底座上，底座的高BC=22米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地17米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点.在米勒的家乡哥尼斯堡，该问题又被称作雷奇奥莫塔努斯极大值问题，最终都是由当时的另一位数学家罗斯（Ad·Lorsch）用几何方法（辅助圆）解决的.他根据直线和圆的位置关系，分析发现：图5如图5：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，此时视角最大.要求EM的长，可以转化为求弦的弦心距.根据图中的数据可以求得该圆的半径是2米，然后根据勾股定理即可求解.数学家罗斯（Ad·Lorsch）的解法，就是我们的解法1.
2014年巴西世界杯足球赛点燃了大众对足球的热情，茶余饭后人们都在关注世界杯，关注每一个精彩的射门.用数学的观点审视，足球的射门十分讲究角度，虽然角度越大，射中率越高，但角度太正，射出的球却毫无威胁，会被门将轻松“没收”.要想攻破门将的“十指关”，射门的角度必须“刁钻”.2014年淄博市的中考数学，就为数万名考生奉献了一道和射门角度有关的“压轴”大餐.本题一是在通过热点问题考察学生综合运用数学的核心知识（平面直角坐标系、圆周角定理、圆的切线的性质、垂径定理、三角形外角定理、勾股定理、相似三角形、解直角三角形、三角函数、方程等）分析问题、解决问题的同时，还借助动态情境考察学生的分类思想、方程思想、模型思想以及重要的数学方法——构造法.二是从选拔学生的角度看，具有很高的区分度.从某种意义上讲，这道题还为初高中衔接教学提供了一个经典的范例.是近几年难得一见的好题之一.
1原题呈现
如图1，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.
（1）使∠APB=30°的点P有个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由.
2试题分析
题目本身并未提到足球，但看到原题，我首先想到的却是足球射门，如果我们约定在球场所在平面进行研究，把线段AB看成是足球门的话，点P则代表足球运动员，第（1）问就是问球场内使得入射角度∠APB=30°的点P有多少个？第（2）问就是运动员沿着y轴带球，求使得入射角度∠APB=30°的点P的坐标，第（3）问则看成运动员沿着y轴带球，何时入射角度最大？这样，我们就可以构造辅助圆来解题.要构造出30°的圆周角，我们可以利用定理“同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”，通过构造60°的圆心角来完成.有了辅助圆，问题就会迎刃而解.第一问利用定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”，不难发现有无数个点P使∠APB=30°；第二问就是求辅助圆与y轴的交点；第三问则要重新构造一个与y轴相切的辅助圆，切点就是所求点P.
3试题解答
解法1（1）无数个.
（2）如图2，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，则点C的坐标为（3，23），以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2，此时∠AP1B=∠AP2B=30°，⊙C的半径为4，过点C作y的垂线CD，垂足为D，因为CP2=4，CD=3，所以DP2=42-32=7.所以P2（0，23-7），P1（0，23+7）.
同理，当P点在y轴负半轴上时，可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）当过点A，B的⊙D与y轴相切于点P时，∠APB最大.如图3，⊙D的半径为3，
连接DA，作DE垂直于x轴，垂足为E，得DE=DA2-AE2=32-22=5，所以P（0，5）.
当点P在y轴负半轴上时，可得P（0，-5）.
理由：在y轴正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，MB交⊙D于点N，连接NA，则∠APB=∠ANB，因为∠ANB是△AMN的外角，所以∠ANB>∠AMB，所以∠APB>∠AMB.若点P在y轴的负半轴上，同理可证得∠APB>∠AMB.
对于（2）、（3）下面给出解法2（2）如图4，过点A作PB的垂线，垂足为C，设OP=b，在Rt△AOP和Rt△BOP中，由勾股定理可得：PA=OP2+OA2=b2+1，
PB=OP2+OB2=b2+25，
在Rt△APC中，∠APC=30°，所以AC=12b2+1，由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
即12b2+14=bb2+25，整理得b4-38b2+25=0.
解得b2=19±421，所以b=23±7，
所以P1（0，23+7），P2（0，23-7）.
由对称性可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）只需把第（2）问中的“∠APC=30°”换成“∠APC=α的值”0°<α<90°，
由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
所以AC=AB·POPB=4bb2+25.
因为sinα=ACAB=4bb2+25b2+1=4bb2+25b2+1
=4bb4+26b2+25=4b2+26+25b2=
4b-5b2+36≤46=23，当b-5b2=0，即当b=±5时，因为0°<α<90°，sinα取得最大值，此时，∠APC=α的值最大.所以P（0，5）或P（0，-5）.
4深入研究
4.1规律探究
其实，足球的入射角度问题，和物体的最大视角问题属于同一个数学模型.最大视角问题，也称米勒问题.1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB=3米，立在一个底座上，底座的高BC=22米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地17米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点.在米勒的家乡哥尼斯堡，该问题又被称作雷奇奥莫塔努斯极大值问题，最终都是由当时的另一位数学家罗斯（Ad·Lorsch）用几何方法（辅助圆）解决的.他根据直线和圆的位置关系，分析发现：图5如图5：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，此时视角最大.要求EM的长，可以转化为求弦的弦心距.根据图中的数据可以求得该圆的半径是2米，然后根据勾股定理即可求解.数学家罗斯（Ad·Lorsch）的解法，就是我们的解法1.
