试题编制，一门遗憾的艺术
1问题提出
何谓试卷区分位置上的好题，这是命题者、教学与学生共同关注的问题，有时，命题者精心设计的试题，在实践中却难以达到预期效果.2014年泰州中考卷的第25题（共26题）就是这样的题.从考试过程看，不少考生用去了不少时间，影响其他问题的解答；从数据统计来看，满分12分的题平均分只有286，难度系数为0238.作为命题人，笔者与相关教师和教研人员进行了交流，他们认为：试题考查了主要知识与核心概念，并非偏难刁钻.肖维松老师在文《回到概念：解题教学的一种取向》[1]中谈及该题时认为：试题的条件“试图让学生回到核心概念思考求解思路”，“比如让学生回到圆、弧的概念，直线和圆相切的概念与性质；”、“回到圆周角概念”、“想起直角三角形和勾股定理这些核心概念”.那么，为什么考试数据与命题预设有如此大的反差？命题意图何在？思维障碍何在？试题应该如何优化？有何反思之处？对教学有何启示？本文拟对上述问题进行深入的探讨.
2真题呈现
如图1，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-34x+b（b为常数，b>0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若直线AB与CD有两个交点F、G.
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
3试题简解
（1）①（略）②如图1，过O点作OH⊥AB于H，连接OG，则FH=HG.由题意可知：OA=43b，OB=b，所以AB=（43b）2+b2=53b，所以SΔAOB=12·OA·OB=12·OH·AB得OH=45b，故在Rt△CHD中，HG2=42-（45b）2=16-1625b2，所以FG2=（2HG）2=64-6425b2，b的取值范围是4≤b<5.
（2）如图2，①当b=5时，OH=OC=4，则AB与⊙O相切，切点为H，此时存在点P，就是点H，计算得P点坐标为（125，165）；②当b>5时，OH=45b>4，所以AB与⊙O相离，所以P点一定在⊙O外，连接PE、PC，设PE交⊙O于Q，则∠EPC<∠EQC=45°，所以当b>5时，点P不存在.
故当b=5时，满足条件的P点坐标为（125，165）；当b>5时满足条件的点P不存在.
4命题意图
1.考查初中数学的核心知识.“‘源于教材又高于教材已成为全国及各地中考命题的一项准则”[2]，泰州中考命题也不例外.本题所有问题都能从教材中找到源头，如求圆周角的度数、用b表示等.问题（2）命制思路源于苏科实验版教材[3]，“利用线心距判断直线与圆的位置关系”源于九年级第5章第5节（第127—128页）“直线与圆的位置关系”，“圆外角小于同弧所对的圆周角”源于九年级第五章第3节（第119页）“圆周角”的例1.这些都是教材主干知识.现行课程标准降低了圆相关的证明要求，并作了适当删减，但圆周角定理、垂径定理、直线与圆位置关系的判断、性质则是核心内容.另外，本题所用到的一次函数图像与坐标轴的交点、面积公式、三角形相似等也是初中数学的重要知识.
2.考查重要数学思想方法.试题强化了对重要数学思想的考查，如模型思想：通过构建方程，利用方程模型解决问题；转化思想：把角的存在性问题转化为直线与圆的位置关系问题；特殊与一般思想和分类思想：把“b≥5”分为“b=5”的特殊情形与“b>5”的一般情形来加以讨论；数形结合思想：问题置于直角坐标系中，将“形”的问题用“数（式）”的方法解决，“数“的问题又可以用“形”来直观表示.从方法上说，从FG是圆的弦角度思考，尝试作弦心距构造直角坐标三角形解决；用面积法或相似法求原点到直线的距离等，都是极其常见的方法.命题者并没有别出心裁，而是围绕基本方法进行试题的设计，旨在引导教师在教学中以教材为本，关注核心知识与数学本质，着力渗透数学思想与方法.
3.考查学生良好的思维品质.思维的发散性与缜密性是学生数学能力的重要标志.本题的问题（2）属于存在性问题，存在性问题在中考中一直受到追捧.“常见的模式是在题干后提出问题：‘是否存在……，使……？如果存在，请求出（写出）……；如果不存在，请说明理由”[4].解题范式一般是：“猜想或假设问题的某种关系或结论存在，经过分析、归纳、演算、推理，若得出的关系或结论与已知条件或某个定理、公理等相符，则表明原来猜想或假设问题的某种关系或结论存在；否则不存在.”[4]本题有两方面创新：一是打破常规解题范式，无需“假设结论存在”，而是直接由条件“b≥5”分为“b=5”和“b>5”两种情形判断结论存在与否；二是结论不是“无条件存在”，如本题中当b=5时，在线段AB上存在使∠CPE=45°的P点；当b>5时，满足条件的点就不存在.这需要学生的思维具有一定的发散性与缜密性，对数学思维品质提出了较高要求.
4.考查学生后续发展能力.本题的“用参数表示一个量”，着眼初中与高中知识方法的衔接点，考查对“代数式”本质意义的理解、形与数（式）关系处理等能力，这是学生后续学习必备的能力.
5思维障碍
学生的思维障碍主要在问题（1）②的“用b的代数式表示FG2”的处理上，有3个障碍点：
1.策略选择障碍.学生紧紧盯住FG2想到列比例式或两点间距离公式解决，很少尝试分割FG.数学教育的目的之一在于引导学生如何思考，题目的条件和结论都是思路源.就条件而言，看到条件得到什么结论；从结论出发，要得到这个结论常用什么策略，二者相互作用，不可或缺.不妨就问题（1）②的条件换一个角度思考：FG是什么？——圆的弦，自然联想到垂径定理，思路就豁然了.
2.数学思想障碍.由“具体数”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，这是代数思想的精髓.学生平时解题中对具体数接触较多，本题中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”时，对参数b的处理就显得茫然.只要稍作自我追问：这里的b可不可以代表具体数值呢？就不会束手无策了.
3.数感缺乏障碍.《义务教育课程标准·数学》（2011版）提出了“数感”的概念，“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”[4].求出点A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原点到AB的距离时感到困难，这或许有二次根式运算不过关的原因，但一个很重要的原因是数感缺乏.点A、B的坐标中暗含了勾股数，如果把b、43b同时扩大3倍得到3b、4b就不难发现其中的玄机.又如数学问题中碰到2、3、5等特殊的数会有何联想与启发？
6试题反思
回头想来，试题也有值得反思之处.一是图形背景较复杂.本试题的“直角坐标系”背景让学生难以适应，加之图形字母多，形成了思维干扰.二是思路入口较窄.问题（1）②“过圆心O作FG的垂线构造直角三角形”成为“自古华山一条道”.三是试题关联不够.从问题（1）①到问题（1）②之间跨度太大，尽管问题（1）①的解决为问题（2）作了一定铺添，但这中间相隔了一小题，显得不很和谐.
如果将题目作如下改进，则更能贴近学生思维的最近发展区.
如图3，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若Q为CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.
①求∠CQE的度数；
②用含b的代数式表示QA·QB；
（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
改进后的试题有有以下特点：
1.问题层次更明.相对原题的一次函数“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代数式”表示相关线段，降低了问题起点，而问题（2）的难度与原题相当.
2.关联程度更强.改进后的问题（1）①中的结论∠CQE=45°为（1）②中必须证明的△BEQ∽△AQC提供了必要的条件；而问题（1）②中的“用含b的代数式表示QA·QB”又为问题（2）的解决提供了其中一种思路.
3.思路入口更宽.问题（1）②中的“②用含b的代数式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的结构，自然想到三角形相似的策略，从而设法找含有边QA、QB的两个三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的结论“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此问题获得解决.这里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度数”、“QA·QB”等都为后续的问题解决提供了充分的信息流和有效的方法源.问题（2）从不同的角度出发，可以有不同的思路，得到不同的有效解决策略.
思路一：构造一元二次方程，把“角的存在性问题”转化“判断所构造方程实数根的存在性问题”.假设点P存在，由问题（1）②中的QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，设BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判别方程根的情况从而决定点P的存在与否.
思路二：把“角的存在性问题”转化为“判断线段AB直与⊙O是否有公共点”，进而转化为“判断线段AB（等价于直线AB）与⊙O的位置关系”.如图4，作OH⊥BC于点H得OH=22b，当b=52时，OH=OC=5，AB切⊙O于点H，此时存在点P（即切点H）；当b>52时，OH=22b>5，AB与⊙O相离，故点P在⊙O外.
7结语
试题编制有如建筑设计，是一门遗憾的艺术.试题要“引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难”[6].常有这样一种现象：一道令学生费尽周折、绞尽脑汁的试题，对命题者而言或许只是“小菜一碟”，这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.客观上说，命题与解题的思维是互逆的（如图5图5所示），有如“藏东西”与“找东西”的“包围”与“突围”之间的关系.命题者预设好目标与结论，再反推得出条件（入口），其入口对命题者是已知的、明确的；而解题者则要从诸多入口中寻找适合的一个或几个入口，并在分析过程中不断地寻找与筛选，其入口是隐蔽的、相互干扰的.
命题者必须换位思考，从学生的角度出发，善于自我否定、“自以为非”，力求区分位置的试题有较宽的思维入口、较好的试题梯度，让学生能多角度思考、有多策略选择.“小题之间具有并列中的递进关系.所谓并列是指有所同有所不同.同就是相互之间具有关联的逻辑关系，相互和谐、协调、相融；不同就是考查内容、思想方法有所侧重；递进有两层意思：一是引导性，前一个问题结论是后一个问题的基础和铺添，前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导性；二是层次性，即思维是逐步深入的.”[7]学生“入手”容易“收手”难，不同的学生可以达到不同的层次、收获不同的体验.
参考文献
[1]肖维松.回到概念：解题教学的一种取向[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（7）：46-48.
[2]于清来.命制初中数学试题十种简易途径及注意点[J].中学数学杂志.2013（10）：29-33.
[3]杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学[M].江苏科技出版社，20136.
[4]钱德春.也谈初中数学的存在性问题[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（1/2）：72-74.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[6]潘建德.从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制[J].中学数学杂志.2013（8）：43-45.
[7]钱德春.中考试题我来编（题目5）点评[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（4）：50-52.
2.数学思想障碍.由“具体数”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，这是代数思想的精髓.学生平时解题中对具体数接触较多，本题中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”时，对参数b的处理就显得茫然.只要稍作自我追问：这里的b可不可以代表具体数值呢？就不会束手无策了.
3.数感缺乏障碍.《义务教育课程标准·数学》（2011版）提出了“数感”的概念，“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”[4].求出点A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原点到AB的距离时感到困难，这或许有二次根式运算不过关的原因，但一个很重要的原因是数感缺乏.点A、B的坐标中暗含了勾股数，如果把b、43b同时扩大3倍得到3b、4b就不难发现其中的玄机.又如数学问题中碰到2、3、5等特殊的数会有何联想与启发？
6试题反思
回头想来，试题也有值得反思之处.一是图形背景较复杂.本试题的“直角坐标系”背景让学生难以适应，加之图形字母多，形成了思维干扰.二是思路入口较窄.问题（1）②“过圆心O作FG的垂线构造直角三角形”成为“自古华山一条道”.三是试题关联不够.从问题（1）①到问题（1）②之间跨度太大，尽管问题（1）①的解决为问题（2）作了一定铺添，但这中间相隔了一小题，显得不很和谐.
如果将题目作如下改进，则更能贴近学生思维的最近发展区.
如图3，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若Q为CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.
①求∠CQE的度数；
②用含b的代数式表示QA·QB；
（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
改进后的试题有有以下特点：
1.问题层次更明.相对原题的一次函数“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代数式”表示相关线段，降低了问题起点，而问题（2）的难度与原题相当.
2.关联程度更强.改进后的问题（1）①中的结论∠CQE=45°为（1）②中必须证明的△BEQ∽△AQC提供了必要的条件；而问题（1）②中的“用含b的代数式表示QA·QB”又为问题（2）的解决提供了其中一种思路.
3.思路入口更宽.问题（1）②中的“②用含b的代数式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的结构，自然想到三角形相似的策略，从而设法找含有边QA、QB的两个三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的结论“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此问题获得解决.这里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度数”、“QA·QB”等都为后续的问题解决提供了充分的信息流和有效的方法源.问题（2）从不同的角度出发，可以有不同的思路，得到不同的有效解决策略.
思路一：构造一元二次方程，把“角的存在性问题”转化“判断所构造方程实数根的存在性问题”.假设点P存在，由问题（1）②中的QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，设BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判别方程根的情况从而决定点P的存在与否.
思路二：把“角的存在性问题”转化为“判断线段AB直与⊙O是否有公共点”，进而转化为“判断线段AB（等价于直线AB）与⊙O的位置关系”.如图4，作OH⊥BC于点H得OH=22b，当b=52时，OH=OC=5，AB切⊙O于点H，此时存在点P（即切点H）；当b>52时，OH=22b>5，AB与⊙O相离，故点P在⊙O外.
7结语
试题编制有如建筑设计，是一门遗憾的艺术.试题要“引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难”[6].常有这样一种现象：一道令学生费尽周折、绞尽脑汁的试题，对命题者而言或许只是“小菜一碟”，这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.客观上说，命题与解题的思维是互逆的（如图5图5所示），有如“藏东西”与“找东西”的“包围”与“突围”之间的关系.命题者预设好目标与结论，再反推得出条件（入口），其入口对命题者是已知的、明确的；而解题者则要从诸多入口中寻找适合的一个或几个入口，并在分析过程中不断地寻找与筛选，其入口是隐蔽的、相互干扰的.
命题者必须换位思考，从学生的角度出发，善于自我否定、“自以为非”，力求区分位置的试题有较宽的思维入口、较好的试题梯度，让学生能多角度思考、有多策略选择.“小题之间具有并列中的递进关系.所谓并列是指有所同有所不同.同就是相互之间具有关联的逻辑关系，相互和谐、协调、相融；不同就是考查内容、思想方法有所侧重；递进有两层意思：一是引导性，前一个问题结论是后一个问题的基础和铺添，前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导性；二是层次性，即思维是逐步深入的.”[7]学生“入手”容易“收手”难，不同的学生可以达到不同的层次、收获不同的体验.
参考文献
[1]肖维松.回到概念：解题教学的一种取向[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（7）：46-48.
[2]于清来.命制初中数学试题十种简易途径及注意点[J].中学数学杂志.2013（10）：29-33.
[3]杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学[M].江苏科技出版社，20136.
[4]钱德春.也谈初中数学的存在性问题[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（1/2）：72-74.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[6]潘建德.从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制[J].中学数学杂志.2013（8）：43-45.
[7]钱德春.中考试题我来编（题目5）点评[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（4）：50-52.
2.数学思想障碍.由“具体数”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，这是代数思想的精髓.学生平时解题中对具体数接触较多，本题中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”时，对参数b的处理就显得茫然.只要稍作自我追问：这里的b可不可以代表具体数值呢？就不会束手无策了.
3.数感缺乏障碍.《义务教育课程标准·数学》（2011版）提出了“数感”的概念，“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”[4].求出点A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原点到AB的距离时感到困难，这或许有二次根式运算不过关的原因，但一个很重要的原因是数感缺乏.点A、B的坐标中暗含了勾股数，如果把b、43b同时扩大3倍得到3b、4b就不难发现其中的玄机.又如数学问题中碰到2、3、5等特殊的数会有何联想与启发？
6试题反思
回头想来，试题也有值得反思之处.一是图形背景较复杂.本试题的“直角坐标系”背景让学生难以适应，加之图形字母多，形成了思维干扰.二是思路入口较窄.问题（1）②“过圆心O作FG的垂线构造直角三角形”成为“自古华山一条道”.三是试题关联不够.从问题（1）①到问题（1）②之间跨度太大，尽管问题（1）①的解决为问题（2）作了一定铺添，但这中间相隔了一小题，显得不很和谐.
如果将题目作如下改进，则更能贴近学生思维的最近发展区.
如图3，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若Q为CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.
①求∠CQE的度数；
②用含b的代数式表示QA·QB；
（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
改进后的试题有有以下特点：
1.问题层次更明.相对原题的一次函数“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代数式”表示相关线段，降低了问题起点，而问题（2）的难度与原题相当.
2.关联程度更强.改进后的问题（1）①中的结论∠CQE=45°为（1）②中必须证明的△BEQ∽△AQC提供了必要的条件；而问题（1）②中的“用含b的代数式表示QA·QB”又为问题（2）的解决提供了其中一种思路.
3.思路入口更宽.问题（1）②中的“②用含b的代数式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的结构，自然想到三角形相似的策略，从而设法找含有边QA、QB的两个三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的结论“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此问题获得解决.这里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度数”、“QA·QB”等都为后续的问题解决提供了充分的信息流和有效的方法源.问题（2）从不同的角度出发，可以有不同的思路，得到不同的有效解决策略.
思路一：构造一元二次方程，把“角的存在性问题”转化“判断所构造方程实数根的存在性问题”.假设点P存在，由问题（1）②中的QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，设BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判别方程根的情况从而决定点P的存在与否.
思路二：把“角的存在性问题”转化为“判断线段AB直与⊙O是否有公共点”，进而转化为“判断线段AB（等价于直线AB）与⊙O的位置关系”.如图4，作OH⊥BC于点H得OH=22b，当b=52时，OH=OC=5，AB切⊙O于点H，此时存在点P（即切点H）；当b>52时，OH=22b>5，AB与⊙O相离，故点P在⊙O外.
7结语
试题编制有如建筑设计，是一门遗憾的艺术.试题要“引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难”[6].常有这样一种现象：一道令学生费尽周折、绞尽脑汁的试题，对命题者而言或许只是“小菜一碟”，这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.客观上说，命题与解题的思维是互逆的（如图5图5所示），有如“藏东西”与“找东西”的“包围”与“突围”之间的关系.命题者预设好目标与结论，再反推得出条件（入口），其入口对命题者是已知的、明确的；而解题者则要从诸多入口中寻找适合的一个或几个入口，并在分析过程中不断地寻找与筛选，其入口是隐蔽的、相互干扰的.
命题者必须换位思考，从学生的角度出发，善于自我否定、“自以为非”，力求区分位置的试题有较宽的思维入口、较好的试题梯度，让学生能多角度思考、有多策略选择.“小题之间具有并列中的递进关系.所谓并列是指有所同有所不同.同就是相互之间具有关联的逻辑关系，相互和谐、协调、相融；不同就是考查内容、思想方法有所侧重；递进有两层意思：一是引导性，前一个问题结论是后一个问题的基础和铺添，前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导性；二是层次性，即思维是逐步深入的.”[7]学生“入手”容易“收手”难，不同的学生可以达到不同的层次、收获不同的体验.
参考文献
[1]肖维松.回到概念：解题教学的一种取向[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（7）：46-48.
[2]于清来.命制初中数学试题十种简易途径及注意点[J].中学数学杂志.2013（10）：29-33.
[3]杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学[M].江苏科技出版社，20136.
[4]钱德春.也谈初中数学的存在性问题[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（1/2）：72-74.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[6]潘建德.从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制[J].中学数学杂志.2013（8）：43-45.
[7]钱德春.中考试题我来编（题目5）点评[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（4）：50-52.
何谓试卷区分位置上的好题，这是命题者、教学与学生共同关注的问题，有时，命题者精心设计的试题，在实践中却难以达到预期效果.2014年泰州中考卷的第25题（共26题）就是这样的题.从考试过程看，不少考生用去了不少时间，影响其他问题的解答；从数据统计来看，满分12分的题平均分只有286，难度系数为0238.作为命题人，笔者与相关教师和教研人员进行了交流，他们认为：试题考查了主要知识与核心概念，并非偏难刁钻.肖维松老师在文《回到概念：解题教学的一种取向》[1]中谈及该题时认为：试题的条件“试图让学生回到核心概念思考求解思路”，“比如让学生回到圆、弧的概念，直线和圆相切的概念与性质；”、“回到圆周角概念”、“想起直角三角形和勾股定理这些核心概念”.那么，为什么考试数据与命题预设有如此大的反差？命题意图何在？思维障碍何在？试题应该如何优化？有何反思之处？对教学有何启示？本文拟对上述问题进行深入的探讨.
2真题呈现
如图1，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-34x+b（b为常数，b>0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若直线AB与CD有两个交点F、G.
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
3试题简解
（1）①（略）②如图1，过O点作OH⊥AB于H，连接OG，则FH=HG.由题意可知：OA=43b，OB=b，所以AB=（43b）2+b2=53b，所以SΔAOB=12·OA·OB=12·OH·AB得OH=45b，故在Rt△CHD中，HG2=42-（45b）2=16-1625b2，所以FG2=（2HG）2=64-6425b2，b的取值范围是4≤b<5.
（2）如图2，①当b=5时，OH=OC=4，则AB与⊙O相切，切点为H，此时存在点P，就是点H，计算得P点坐标为（125，165）；②当b>5时，OH=45b>4，所以AB与⊙O相离，所以P点一定在⊙O外，连接PE、PC，设PE交⊙O于Q，则∠EPC<∠EQC=45°，所以当b>5时，点P不存在.
故当b=5时，满足条件的P点坐标为（125，165）；当b>5时满足条件的点P不存在.
4命题意图
1.考查初中数学的核心知识.“‘源于教材又高于教材已成为全国及各地中考命题的一项准则”[2]，泰州中考命题也不例外.本题所有问题都能从教材中找到源头，如求圆周角的度数、用b表示等.问题（2）命制思路源于苏科实验版教材[3]，“利用线心距判断直线与圆的位置关系”源于九年级第5章第5节（第127—128页）“直线与圆的位置关系”，“圆外角小于同弧所对的圆周角”源于九年级第五章第3节（第119页）“圆周角”的例1.这些都是教材主干知识.现行课程标准降低了圆相关的证明要求，并作了适当删减，但圆周角定理、垂径定理、直线与圆位置关系的判断、性质则是核心内容.另外，本题所用到的一次函数图像与坐标轴的交点、面积公式、三角形相似等也是初中数学的重要知识.
2.考查重要数学思想方法.试题强化了对重要数学思想的考查，如模型思想：通过构建方程，利用方程模型解决问题；转化思想：把角的存在性问题转化为直线与圆的位置关系问题；特殊与一般思想和分类思想：把“b≥5”分为“b=5”的特殊情形与“b>5”的一般情形来加以讨论；数形结合思想：问题置于直角坐标系中，将“形”的问题用“数（式）”的方法解决，“数“的问题又可以用“形”来直观表示.从方法上说，从FG是圆的弦角度思考，尝试作弦心距构造直角坐标三角形解决；用面积法或相似法求原点到直线的距离等，都是极其常见的方法.命题者并没有别出心裁，而是围绕基本方法进行试题的设计，旨在引导教师在教学中以教材为本，关注核心知识与数学本质，着力渗透数学思想与方法.
3.考查学生良好的思维品质.思维的发散性与缜密性是学生数学能力的重要标志.本题的问题（2）属于存在性问题，存在性问题在中考中一直受到追捧.“常见的模式是在题干后提出问题：‘是否存在……，使……？如果存在，请求出（写出）……；如果不存在，请说明理由”[4].解题范式一般是：“猜想或假设问题的某种关系或结论存在，经过分析、归纳、演算、推理，若得出的关系或结论与已知条件或某个定理、公理等相符，则表明原来猜想或假设问题的某种关系或结论存在；否则不存在.”[4]本题有两方面创新：一是打破常规解题范式，无需“假设结论存在”，而是直接由条件“b≥5”分为“b=5”和“b>5”两种情形判断结论存在与否；二是结论不是“无条件存在”，如本题中当b=5时，在线段AB上存在使∠CPE=45°的P点；当b>5时，满足条件的点就不存在.这需要学生的思维具有一定的发散性与缜密性，对数学思维品质提出了较高要求.
4.考查学生后续发展能力.本题的“用参数表示一个量”，着眼初中与高中知识方法的衔接点，考查对“代数式”本质意义的理解、形与数（式）关系处理等能力，这是学生后续学习必备的能力.
5思维障碍
学生的思维障碍主要在问题（1）②的“用b的代数式表示FG2”的处理上，有3个障碍点：
1.策略选择障碍.学生紧紧盯住FG2想到列比例式或两点间距离公式解决，很少尝试分割FG.数学教育的目的之一在于引导学生如何思考，题目的条件和结论都是思路源.就条件而言，看到条件得到什么结论；从结论出发，要得到这个结论常用什么策略，二者相互作用，不可或缺.不妨就问题（1）②的条件换一个角度思考：FG是什么？——圆的弦，自然联想到垂径定理，思路就豁然了.
2.数学思想障碍.由“具体数”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，这是代数思想的精髓.学生平时解题中对具体数接触较多，本题中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”时，对参数b的处理就显得茫然.只要稍作自我追问：这里的b可不可以代表具体数值呢？就不会束手无策了.
3.数感缺乏障碍.《义务教育课程标准·数学》（2011版）提出了“数感”的概念，“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”[4].求出点A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原点到AB的距离时感到困难，这或许有二次根式运算不过关的原因，但一个很重要的原因是数感缺乏.点A、B的坐标中暗含了勾股数，如果把b、43b同时扩大3倍得到3b、4b就不难发现其中的玄机.又如数学问题中碰到2、3、5等特殊的数会有何联想与启发？
6试题反思
回头想来，试题也有值得反思之处.一是图形背景较复杂.本试题的“直角坐标系”背景让学生难以适应，加之图形字母多，形成了思维干扰.二是思路入口较窄.问题（1）②“过圆心O作FG的垂线构造直角三角形”成为“自古华山一条道”.三是试题关联不够.从问题（1）①到问题（1）②之间跨度太大，尽管问题（1）①的解决为问题（2）作了一定铺添，但这中间相隔了一小题，显得不很和谐.
如果将题目作如下改进，则更能贴近学生思维的最近发展区.
如图3，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若Q为CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.
①求∠CQE的度数；
②用含b的代数式表示QA·QB；
（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
改进后的试题有有以下特点：
1.问题层次更明.相对原题的一次函数“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代数式”表示相关线段，降低了问题起点，而问题（2）的难度与原题相当.
2.关联程度更强.改进后的问题（1）①中的结论∠CQE=45°为（1）②中必须证明的△BEQ∽△AQC提供了必要的条件；而问题（1）②中的“用含b的代数式表示QA·QB”又为问题（2）的解决提供了其中一种思路.
3.思路入口更宽.问题（1）②中的“②用含b的代数式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的结构，自然想到三角形相似的策略，从而设法找含有边QA、QB的两个三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的结论“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此问题获得解决.这里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度数”、“QA·QB”等都为后续的问题解决提供了充分的信息流和有效的方法源.问题（2）从不同的角度出发，可以有不同的思路，得到不同的有效解决策略.
思路一：构造一元二次方程，把“角的存在性问题”转化“判断所构造方程实数根的存在性问题”.假设点P存在，由问题（1）②中的QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，设BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判别方程根的情况从而决定点P的存在与否.
思路二：把“角的存在性问题”转化为“判断线段AB直与⊙O是否有公共点”，进而转化为“判断线段AB（等价于直线AB）与⊙O的位置关系”.如图4，作OH⊥BC于点H得OH=22b，当b=52时，OH=OC=5，AB切⊙O于点H，此时存在点P（即切点H）；当b>52时，OH=22b>5，AB与⊙O相离，故点P在⊙O外.
7结语
试题编制有如建筑设计，是一门遗憾的艺术.试题要“引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难”[6].常有这样一种现象：一道令学生费尽周折、绞尽脑汁的试题，对命题者而言或许只是“小菜一碟”，这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.客观上说，命题与解题的思维是互逆的（如图5图5所示），有如“藏东西”与“找东西”的“包围”与“突围”之间的关系.命题者预设好目标与结论，再反推得出条件（入口），其入口对命题者是已知的、明确的；而解题者则要从诸多入口中寻找适合的一个或几个入口，并在分析过程中不断地寻找与筛选，其入口是隐蔽的、相互干扰的.
命题者必须换位思考，从学生的角度出发，善于自我否定、“自以为非”，力求区分位置的试题有较宽的思维入口、较好的试题梯度，让学生能多角度思考、有多策略选择.“小题之间具有并列中的递进关系.所谓并列是指有所同有所不同.同就是相互之间具有关联的逻辑关系，相互和谐、协调、相融；不同就是考查内容、思想方法有所侧重；递进有两层意思：一是引导性，前一个问题结论是后一个问题的基础和铺添，前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导性；二是层次性，即思维是逐步深入的.”[7]学生“入手”容易“收手”难，不同的学生可以达到不同的层次、收获不同的体验.
参考文献
[1]肖维松.回到概念：解题教学的一种取向[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（7）：46-48.
[2]于清来.命制初中数学试题十种简易途径及注意点[J].中学数学杂志.2013（10）：29-33.
[3]杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学[M].江苏科技出版社，20136.
[4]钱德春.也谈初中数学的存在性问题[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（1/2）：72-74.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[6]潘建德.从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制[J].中学数学杂志.2013（8）：43-45.
[7]钱德春.中考试题我来编（题目5）点评[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（4）：50-52.
2.数学思想障碍.由“具体数”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，这是代数思想的精髓.学生平时解题中对具体数接触较多，本题中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”时，对参数b的处理就显得茫然.只要稍作自我追问：这里的b可不可以代表具体数值呢？就不会束手无策了.
3.数感缺乏障碍.《义务教育课程标准·数学》（2011版）提出了“数感”的概念，“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”[4].求出点A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原点到AB的距离时感到困难，这或许有二次根式运算不过关的原因，但一个很重要的原因是数感缺乏.点A、B的坐标中暗含了勾股数，如果把b、43b同时扩大3倍得到3b、4b就不难发现其中的玄机.又如数学问题中碰到2、3、5等特殊的数会有何联想与启发？
6试题反思
回头想来，试题也有值得反思之处.一是图形背景较复杂.本试题的“直角坐标系”背景让学生难以适应，加之图形字母多，形成了思维干扰.二是思路入口较窄.问题（1）②“过圆心O作FG的垂线构造直角三角形”成为“自古华山一条道”.三是试题关联不够.从问题（1）①到问题（1）②之间跨度太大，尽管问题（1）①的解决为问题（2）作了一定铺添，但这中间相隔了一小题，显得不很和谐.
如果将题目作如下改进，则更能贴近学生思维的最近发展区.
如图3，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若Q为CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.
①求∠CQE的度数；
②用含b的代数式表示QA·QB；
（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
改进后的试题有有以下特点：
1.问题层次更明.相对原题的一次函数“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代数式”表示相关线段，降低了问题起点，而问题（2）的难度与原题相当.
2.关联程度更强.改进后的问题（1）①中的结论∠CQE=45°为（1）②中必须证明的△BEQ∽△AQC提供了必要的条件；而问题（1）②中的“用含b的代数式表示QA·QB”又为问题（2）的解决提供了其中一种思路.
3.思路入口更宽.问题（1）②中的“②用含b的代数式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的结构，自然想到三角形相似的策略，从而设法找含有边QA、QB的两个三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的结论“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此问题获得解决.这里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度数”、“QA·QB”等都为后续的问题解决提供了充分的信息流和有效的方法源.问题（2）从不同的角度出发，可以有不同的思路，得到不同的有效解决策略.
思路一：构造一元二次方程，把“角的存在性问题”转化“判断所构造方程实数根的存在性问题”.假设点P存在，由问题（1）②中的QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，设BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判别方程根的情况从而决定点P的存在与否.
思路二：把“角的存在性问题”转化为“判断线段AB直与⊙O是否有公共点”，进而转化为“判断线段AB（等价于直线AB）与⊙O的位置关系”.如图4，作OH⊥BC于点H得OH=22b，当b=52时，OH=OC=5，AB切⊙O于点H，此时存在点P（即切点H）；当b>52时，OH=22b>5，AB与⊙O相离，故点P在⊙O外.
7结语
试题编制有如建筑设计，是一门遗憾的艺术.试题要“引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难”[6].常有这样一种现象：一道令学生费尽周折、绞尽脑汁的试题，对命题者而言或许只是“小菜一碟”，这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.客观上说，命题与解题的思维是互逆的（如图5图5所示），有如“藏东西”与“找东西”的“包围”与“突围”之间的关系.命题者预设好目标与结论，再反推得出条件（入口），其入口对命题者是已知的、明确的；而解题者则要从诸多入口中寻找适合的一个或几个入口，并在分析过程中不断地寻找与筛选，其入口是隐蔽的、相互干扰的.
命题者必须换位思考，从学生的角度出发，善于自我否定、“自以为非”，力求区分位置的试题有较宽的思维入口、较好的试题梯度，让学生能多角度思考、有多策略选择.“小题之间具有并列中的递进关系.所谓并列是指有所同有所不同.同就是相互之间具有关联的逻辑关系，相互和谐、协调、相融；不同就是考查内容、思想方法有所侧重；递进有两层意思：一是引导性，前一个问题结论是后一个问题的基础和铺添，前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导性；二是层次性，即思维是逐步深入的.”[7]学生“入手”容易“收手”难，不同的学生可以达到不同的层次、收获不同的体验.
参考文献
[1]肖维松.回到概念：解题教学的一种取向[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（7）：46-48.
[2]于清来.命制初中数学试题十种简易途径及注意点[J].中学数学杂志.2013（10）：29-33.
[3]杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学[M].江苏科技出版社，20136.
[4]钱德春.也谈初中数学的存在性问题[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（1/2）：72-74.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[6]潘建德.从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制[J].中学数学杂志.2013（8）：43-45.
[7]钱德春.中考试题我来编（题目5）点评[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（4）：50-52.
2.数学思想障碍.由“具体数”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，这是代数思想的精髓.学生平时解题中对具体数接触较多，本题中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”时，对参数b的处理就显得茫然.只要稍作自我追问：这里的b可不可以代表具体数值呢？就不会束手无策了.
3.数感缺乏障碍.《义务教育课程标准·数学》（2011版）提出了“数感”的概念，“主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”[4].求出点A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原点到AB的距离时感到困难，这或许有二次根式运算不过关的原因，但一个很重要的原因是数感缺乏.点A、B的坐标中暗含了勾股数，如果把b、43b同时扩大3倍得到3b、4b就不难发现其中的玄机.又如数学问题中碰到2、3、5等特殊的数会有何联想与启发？
6试题反思
回头想来，试题也有值得反思之处.一是图形背景较复杂.本试题的“直角坐标系”背景让学生难以适应，加之图形字母多，形成了思维干扰.二是思路入口较窄.问题（1）②“过圆心O作FG的垂线构造直角三角形”成为“自古华山一条道”.三是试题关联不够.从问题（1）①到问题（1）②之间跨度太大，尽管问题（1）①的解决为问题（2）作了一定铺添，但这中间相隔了一小题，显得不很和谐.
如果将题目作如下改进，则更能贴近学生思维的最近发展区.
如图3，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.
（1）若Q为CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.
①求∠CQE的度数；
②用含b的代数式表示QA·QB；
（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
改进后的试题有有以下特点：
1.问题层次更明.相对原题的一次函数“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代数式”表示相关线段，降低了问题起点，而问题（2）的难度与原题相当.
2.关联程度更强.改进后的问题（1）①中的结论∠CQE=45°为（1）②中必须证明的△BEQ∽△AQC提供了必要的条件；而问题（1）②中的“用含b的代数式表示QA·QB”又为问题（2）的解决提供了其中一种思路.
3.思路入口更宽.问题（1）②中的“②用含b的代数式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的结构，自然想到三角形相似的策略，从而设法找含有边QA、QB的两个三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的结论“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此问题获得解决.这里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度数”、“QA·QB”等都为后续的问题解决提供了充分的信息流和有效的方法源.问题（2）从不同的角度出发，可以有不同的思路，得到不同的有效解决策略.
思路一：构造一元二次方程，把“角的存在性问题”转化“判断所构造方程实数根的存在性问题”.假设点P存在，由问题（1）②中的QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，设BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判别方程根的情况从而决定点P的存在与否.
思路二：把“角的存在性问题”转化为“判断线段AB直与⊙O是否有公共点”，进而转化为“判断线段AB（等价于直线AB）与⊙O的位置关系”.如图4，作OH⊥BC于点H得OH=22b，当b=52时，OH=OC=5，AB切⊙O于点H，此时存在点P（即切点H）；当b>52时，OH=22b>5，AB与⊙O相离，故点P在⊙O外.
7结语
试题编制有如建筑设计，是一门遗憾的艺术.试题要“引导教师注重通式通法的讲解，多培养学生的思维和探究能力，而不是靠反复操练取胜.但要跳出圈子进行创新，又何其难”[6].常有这样一种现象：一道令学生费尽周折、绞尽脑汁的试题，对命题者而言或许只是“小菜一碟”，这正是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”.客观上说，命题与解题的思维是互逆的（如图5图5所示），有如“藏东西”与“找东西”的“包围”与“突围”之间的关系.命题者预设好目标与结论，再反推得出条件（入口），其入口对命题者是已知的、明确的；而解题者则要从诸多入口中寻找适合的一个或几个入口，并在分析过程中不断地寻找与筛选，其入口是隐蔽的、相互干扰的.
命题者必须换位思考，从学生的角度出发，善于自我否定、“自以为非”，力求区分位置的试题有较宽的思维入口、较好的试题梯度，让学生能多角度思考、有多策略选择.“小题之间具有并列中的递进关系.所谓并列是指有所同有所不同.同就是相互之间具有关联的逻辑关系，相互和谐、协调、相融；不同就是考查内容、思想方法有所侧重；递进有两层意思：一是引导性，前一个问题结论是后一个问题的基础和铺添，前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导性；二是层次性，即思维是逐步深入的.”[7]学生“入手”容易“收手”难，不同的学生可以达到不同的层次、收获不同的体验.
参考文献
[1]肖维松.回到概念：解题教学的一种取向[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（7）：46-48.
[2]于清来.命制初中数学试题十种简易途径及注意点[J].中学数学杂志.2013（10）：29-33.
[3]杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学[M].江苏科技出版社，20136.
[4]钱德春.也谈初中数学的存在性问题[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（1/2）：72-74.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[6]潘建德.从一道中考压轴题的磨制过程看初中数学考题的命制[J].中学数学杂志.2013（8）：43-45.
[7]钱德春.中考试题我来编（题目5）点评[J].中学数学教学参考（中旬）.2014（4）：50-52.
