对“探究性学习”和“感悟性学习”之再思
凌云志
近十年以来，建构主义的知识与学习理论、元认知论对课程改革占据主导地位.探究性学习设为重要课程环节；尤为数学新知教学，教师更注重知识的情境创新，优化探究性学习课程环境.在素材选择、情节设置和学习组织上，充分考虑到学生心理与思维对知识发现需求，力求情境创设达到新、奇、趣的统一，使得学生愉悦、有序、高效地实现知识再发现.但是，遇怎样教会学生运用数学知识去发现、分析与解决问题时，学生“知而不识，懂而不会”的现象，令教师感到“熟多不生巧”困境.怎样让数学知识活化，灵现它解决问题的意义与价值？怎样让数学思想方法形成解决问题的觉悟？无论是求知还是用知，数学思维的本质都是在探究.而学生在两种探究中的处境却不一样，我们有必要为“探究”而探究.〖STFZ〗1 求知型探究与识用型探究
按传统探究学习的分型方法，以探究对象的范围来分型：有新知探究、问题探究、专题探究、研究性学习课题探究；以探究活动的组织形式来分型：有引导性探究、自主性探究、合作性探究.其中引导性探究是在教师引导下学生对探究活动的一种深入形式，教师用引导与互动来调控学生的探究活动.显然，两种分型都有其合理性和科学性，尤其按组织形式的分型，探究与教学的组织形式相一致.能否找到更有意义分型方法？从学习与知识发生联系角度，探究活动不外是获得从探究中发现知识（求知型探究），或者是运用知识去发现分析、解决问题的方法与思路（识用型探）.
求知型探究.按新课程理念，对数学新知的学习往往设置探究性学习过程，目的是让学生获得知识再创造的历程.让学生融入一个与生活实际密切相关的数学情境中，对一类数学现象提出有意义的看法，教师主导学生经历有序的、自主或合作性学习，完成对新数学概念本质属性的提炼，或对数学基本事实发现、认定、理解或证明.
识用型探究.就是利用所学知识去发现、提出、分析和解决问题.这类探究大致归为以下情形：①通过观察、操作、演算，发现或归纳某种数学规律，一般为数式或图形规律；②通过不完全归纳或类比，合情地提出数学猜想；③对正确的猜想或结论加以证明；④对错误的猜想，通过举反例或用反证法推出矛盾，判定伪命题；⑤给定问题所要结论，通过增设或优化条件，使结论成立；⑥扩大讨论范围，探究结论是否成立；⑦按一定方式变化条件，发现或证明结论改变的规律性.显然，这类探究旨在发现问题与知识的联系，找到知识运用方式，并有效地解决问题.
求知型探究是对数学对象的共性特征或相同意义的发现与提炼，好比是用“放大镜”聚焦数学新知的共同点.识用型探究往往涉及问题与多种数学知识的联系，好比“多棱镜”折射问题与多个知识点有多样性的联系，因而分析、演绎、甄别的数学思维活动更为重要.数学后课改很多困惑都与识用型探究教学有关.能否教会学生发现与建立知识多样性联系，并从中判断、选择出有效解题思路，只能靠教师解题教学策略是否得法，现有的课程不可能明细到理论与技术层面上去指导，原因是每个学生看问题的“多棱镜”千差万别，即使接受长期同样的数学教育，也消除不了其差异性.但是，我们的理想是通过一定教育手段，逐步强化每个“多棱镜”功能：数学的观点灵活，经验灵用，方法灵通，思想灵明.〖STFZ〗2 形成数学“世界观”的重要学习途径——感悟性学习
除探究性学习外，数学学习还应考虑到感悟性学习.简单地说是教师创设一种教学环境：能诱导学生，从自我学习的经历中或受他人启发中，获得对数学经验和智慧的觉悟，这种学习能影响学生逐步建立对数学整体印象或根本看法.它至少包含以下几个方面：①对数学知识结构内在关联性的明晰与强化；②数学思想方法价值观的通化；③对数学学法经验迁移与印验；④养成数学观点多元化和解题多种数学方法选择与优化的思维品质.因此，感悟性学习是学生个体数学经验“哲学化”过程.感悟性学习水平不仅能体现学习者数学素养的发展水平，而且反映接受数学教育的差异性.即学生感悟性学习能达到的水平主要取决于长期数学解题教学的环境影响结果.这种环境要素除了我们现在共识到的数学观点、方法和学法经验以外，还有很多我们未知领域.比如说，为了让学生获得某种数学觉悟，教师必须展示有典型性和启发性教育素材.由于感悟性的学习素材大多是以分散隐性方式存在于学生学习的历史之中，教师怎样发现？如何组织与发挥？〖STFZ〗3 两种学习的地位与意义
探究性学习与感悟性学习共同决定学生数学能力发展水平，好比让数学学得有多快、走得有多远的两条“腿”.探究性学习一旦跨入求知或问题的“发现”门槛，应积累相应数学思想、方法与经验的灵慧，对学生而言，它隐约、难以言表，稍闪即逝，倘若被教师及时捕捉，使之显化，并归之于某个学习历史中的同感，成为后续数学学习的智慧蓄势.反之，感悟性学习又给探究性学习提供经验，找到解决问题的数学思想方法价值的认同感，为数学思考深入到问题的本质，或对解决问题方法的创新与优化，提供智慧与精神支持.因此，两者是辩证统一的.数学的理性精神：严谨、有序、求真、善化、包容、进取、崇优和创新，只能靠感悟性学习来获得这种“暗能量”，促进数学精神的人格化.
探究性学习具有外显性，学习行为和效果可以通过新知认识程度或解决问题的效度来看出，感悟性学习是数学思维能量敛聚过程，具有内隐性；探究性学习是一种“知”得或“识”到，感悟性学习却是一种“悟”得、“觉”到后的升华妙用.
由于探究性学习在教学中具有针对性、现实性和目标性，尤其求知型探究，能借助教材或生活的蓝本，教师易建立数学情境与数学活动情节构思，实现教法创新，相对“得宠”；感悟性学习教育素材具有隐含、分散、间接性，既是历史的，又是现实的，但难以被教师觉识、组织与发挥.从整个初中学段，大部分时间是按知识体系进程学习，获得求知探究型学习条件相对稳定、持续，感悟性学习可能依靠教师灵光闪现.但是，感悟性学习的觉悟一旦获得，对后续学习的影响却又是稳定、持续性的.探究性学习可以借助教师创设的情境强势和巧妙的师生互动，把课堂氛围打造的热热闹闹，但未必就是高效学习.不少优质课的获奖老师宁愿选择新课参赛，因达成知识与能力的目标相对单一，在“情境与互动”的强势下，掩盖了感悟性学习的教学功底不足，到了期末或毕业考试一“结账”，终显业绩寒碜.〖STFZ〗4 识用型探究性学习的教学发展概况与展望
2005年后，出现了识用型探究教学热潮.其主要成果：变式教学、开放性问题教学、专题教学、综合实践与研究性学习教学等.教师关注点从知识的建构层面转向知识运用层面，强化问题演化的规律性、层次性和开放性，教学研究关注从特殊到一般、从具体到抽象、从猜想到论证、因果互动等方面问题设计的合理性，通常采用问题的分层、变式设计方法，通过问题的“连续剧”，建立数学思考的合理情节，优化知识活化的思维环境，学生能自主发现解决一类问题或关联性问题数学化方法与线索，把握解决问题的规律性.
不难发现，求知型探究是一种具有按知识体系建设的横向延展，而识用型探究是一种既具有数学思考纵向深化，又具有思辨与选择可用知识横向活化特征.推动求知型向识用型探究研究发展，应归因于：①培养学生应试能力的需要，因为很多中考压轴题就是这种类型的考法；②为渗透数学思想方法和解题经验需要；③解题教学情理化，让学生学会解析问题特征，把握问题转化方法，增强理性解题.
从教学实践的规模来看，识用型探究远没有求知型探究那样广泛和深入，往往是大市名校名师的样板课例.究其因：①受制于课型.需素材积淀，蓄之不丰，用之不力.只能在复习课、专题课中偶尔呈现；②受制于教学目标，满足义务教育的基础性需求，大部分课时应为围绕基本教学目标展开；③受制于教师的专业素养.识用型探究的教学，要求教师很丰富解题教学经验，否则素材难以捡拾、组织，这方面好课例更是凤毛麟角.识用型探究学习的教研热，更多是反映在报刊杂志的理论形态下探索与构想，付之于实践研究少之又少.
识用型探究意义十分重大.①促进对知识观的再认识.皮亚杰认为，积极的环境因素能诱导学习者完成知识顺应过程，所谓顺应就是个体改变自己的动作以适应客观变化，来达到自身与客观环境平衡的.真正意义上的知识，必须经历功能性问题环境下的技术“冲压”，使知识形成一种应“试”性的结构，“功能性问题的环境”如同造工件的冲床.应“试”性的结构（形成中的认知结构），好比造出的汽车要经过各种路型试车后不断改良，达到优化车身结构目的，实现车与路的顺应.识用型探究往往采用问题串的方式，集中“冲压”出知识功能性结构.因此，我们以前认为知识基础，好像它是的“容量”型的东西，其实不然，“知”多并非“识”广.学生“知而不会”：问起单个知识，对答如流，遇解题，一筹莫展.说明没经历“功能性问题”的集中“冲压”，缺乏应“试”性结构，虽有“知”，但不会“识用”；②促进我们对教学观的再认识.建构主义强调环境是影响与决定学习动机、行为和效果.造就有效学习的环境，离不开教师科学的创设，并加之艺术的营造，方可实现从知识的“种子”变成为解题识用的“果实”.识用型探究学习是对知识意义、价值再识，对知识结构与功能深化与调试，要从知识活化过程中提炼数学的思想与方法，形成价值意识，并实现数学智慧的经验化.教师应合理地调控、操纵问题中变化因素，营造“识用型探究”的学习环境.促成数学思考从兴趣、注意的心理层面转向解决问题的思想与方法的觉悟形成.科学主导的“变”就是对数学信息量与质的调控，数学思考信息流精准冲击锁定的知识功用、数学思想方法和经验.变“问”的目的是为数学思考“情境”环境得以生态化.我们对建构主义倡导“环境”之内涵，有必要进一步深究，它是教学创新的反思出发点；③促进我们对教材改革的探索与创新.识用型探究学习题材仅仅零星分布于“综合运用”、“拓广探索”、“阅读与思考”中，因缺乏数学思考环境，达不到教材编写企图.
能否将识用型探究学习也融入教材的编写之中？鉴于数学学科的特殊性，识用型探究学习的价值与功用会受到更多人的思考与关注，也许若干年后回头看我们的教材，发现有重“知”轻“识”的感觉，两“腿”粗细不均，制约了数学“四基”的均衡发展.有必要入编教材，毕竟教材的基础性、普及性、指导性是最具影响力的.试想一下，如果十年前我们没有把求知型探究纳入教材，仅从理念来引导，则达不到今天课改的普及水平.〖STFZ〗5 对感悟性学习的思考与期望
“感悟”一词是《新课标》、数学教学期刊中出现频度较高的一词，而“感悟性学习”几乎无人提及.它是从数学的学习历史与现实中获得对数学经验性或根本性认识的学习过程.面对这种数学的“哲学”，能否从课程行为去架构、组织与实施？能否给出它明晰的目标、材料、过程与方法？关键要在课程中建立感悟性学习课题.不外有三种形式：第一种采用“课套课”的插入式设置，不改变现行课程的编排秩序，从已学历史中，对数学知识、方法、思想和经验的相似性或共性中，提炼感悟性学习课题.比如在一元一次不等式的单元后，设置“数式语言”一课，给学生介绍数式语言形成的原因、特征与意义，让学生回忆它在数学法则、演算、方程、不等式中相同的数学功用：能简约化表达数学意思和规则、描述数量关系与转化形式、数学信息储存、分析与加工等；第二种采用“课配课”的方式设置.根据建立初中生数学“世界观”不同阶段目标需求，先明确感悟性学习课题，再考虑为之服务的课程编排；第三种采用“课后课”的方式设置.适度地压缩现有课程容量，在九年级最后一学期集中编排感悟性学习课题.一是感悟性学习素材得以丰实，利于对数学知识、方法、思想和经验中共性提炼，二是借助这种数学整体观的加强，促进中考有效复习.
现行的教材比较重视数学认知规律，采用螺旋上升式编排，这无疑有它的合理性，但这仅体现数学认知发展需要的一个方面，数学认识也需要共性化，获得具有更广泛、普遍指导性的智慧与经验，现行的教材还没注重这一功能.笔者认为，宁可舍弃对一部分具体课程的刚性要求，也要增设感悟性课题学习弹性需求.在数学课程观中架构数学“世界观”，就必须对初中学段数学课程优化整合，若没有明晰的课程实施，则让教师自行落实，这是空话、大话.现实教学中，很多数学思想被标签化，达不到“用蛋孵鸡”的效果；很多体现数学知识体系建立的规律性方面：如从特殊性到一般性、从具体到抽象、先静后动（从研究“恒、定”问题的方程发展用函数研究“动、变”问题）、先成立后拓展（如am·an=amn等从整数到有理数的扩充）、数形相济、数式同性、建模、化归……都有大量的感悟性学习素材，若能捡拾与整合，从数学学习的历史的回忆、选择中，实现感悟性学习的情境再创，探索到感悟性学习环境构成要素和教学需要的技术手段，希望这些能成为后续课改深化方面.
数学学习是“知、识、悟、用”的统一，上述思考与看法是否有一些科学性或合理性，期待同仁交流斧正.
近十年以来，建构主义的知识与学习理论、元认知论对课程改革占据主导地位.探究性学习设为重要课程环节；尤为数学新知教学，教师更注重知识的情境创新，优化探究性学习课程环境.在素材选择、情节设置和学习组织上，充分考虑到学生心理与思维对知识发现需求，力求情境创设达到新、奇、趣的统一，使得学生愉悦、有序、高效地实现知识再发现.但是，遇怎样教会学生运用数学知识去发现、分析与解决问题时，学生“知而不识，懂而不会”的现象，令教师感到“熟多不生巧”困境.怎样让数学知识活化，灵现它解决问题的意义与价值？怎样让数学思想方法形成解决问题的觉悟？无论是求知还是用知，数学思维的本质都是在探究.而学生在两种探究中的处境却不一样，我们有必要为“探究”而探究.〖STFZ〗1 求知型探究与识用型探究
按传统探究学习的分型方法，以探究对象的范围来分型：有新知探究、问题探究、专题探究、研究性学习课题探究；以探究活动的组织形式来分型：有引导性探究、自主性探究、合作性探究.其中引导性探究是在教师引导下学生对探究活动的一种深入形式，教师用引导与互动来调控学生的探究活动.显然，两种分型都有其合理性和科学性，尤其按组织形式的分型，探究与教学的组织形式相一致.能否找到更有意义分型方法？从学习与知识发生联系角度，探究活动不外是获得从探究中发现知识（求知型探究），或者是运用知识去发现分析、解决问题的方法与思路（识用型探）.
求知型探究.按新课程理念，对数学新知的学习往往设置探究性学习过程，目的是让学生获得知识再创造的历程.让学生融入一个与生活实际密切相关的数学情境中，对一类数学现象提出有意义的看法，教师主导学生经历有序的、自主或合作性学习，完成对新数学概念本质属性的提炼，或对数学基本事实发现、认定、理解或证明.
识用型探究.就是利用所学知识去发现、提出、分析和解决问题.这类探究大致归为以下情形：①通过观察、操作、演算，发现或归纳某种数学规律，一般为数式或图形规律；②通过不完全归纳或类比，合情地提出数学猜想；③对正确的猜想或结论加以证明；④对错误的猜想，通过举反例或用反证法推出矛盾，判定伪命题；⑤给定问题所要结论，通过增设或优化条件，使结论成立；⑥扩大讨论范围，探究结论是否成立；⑦按一定方式变化条件，发现或证明结论改变的规律性.显然，这类探究旨在发现问题与知识的联系，找到知识运用方式，并有效地解决问题.
求知型探究是对数学对象的共性特征或相同意义的发现与提炼，好比是用“放大镜”聚焦数学新知的共同点.识用型探究往往涉及问题与多种数学知识的联系，好比“多棱镜”折射问题与多个知识点有多样性的联系，因而分析、演绎、甄别的数学思维活动更为重要.数学后课改很多困惑都与识用型探究教学有关.能否教会学生发现与建立知识多样性联系，并从中判断、选择出有效解题思路，只能靠教师解题教学策略是否得法，现有的课程不可能明细到理论与技术层面上去指导，原因是每个学生看问题的“多棱镜”千差万别，即使接受长期同样的数学教育，也消除不了其差异性.但是，我们的理想是通过一定教育手段，逐步强化每个“多棱镜”功能：数学的观点灵活，经验灵用，方法灵通，思想灵明.〖STFZ〗2 形成数学“世界观”的重要学习途径——感悟性学习
除探究性学习外，数学学习还应考虑到感悟性学习.简单地说是教师创设一种教学环境：能诱导学生，从自我学习的经历中或受他人启发中，获得对数学经验和智慧的觉悟，这种学习能影响学生逐步建立对数学整体印象或根本看法.它至少包含以下几个方面：①对数学知识结构内在关联性的明晰与强化；②数学思想方法价值观的通化；③对数学学法经验迁移与印验；④养成数学观点多元化和解题多种数学方法选择与优化的思维品质.因此，感悟性学习是学生个体数学经验“哲学化”过程.感悟性学习水平不仅能体现学习者数学素养的发展水平，而且反映接受数学教育的差异性.即学生感悟性学习能达到的水平主要取决于长期数学解题教学的环境影响结果.这种环境要素除了我们现在共识到的数学观点、方法和学法经验以外，还有很多我们未知领域.比如说，为了让学生获得某种数学觉悟，教师必须展示有典型性和启发性教育素材.由于感悟性的学习素材大多是以分散隐性方式存在于学生学习的历史之中，教师怎样发现？如何组织与发挥？〖STFZ〗3 两种学习的地位与意义
探究性学习与感悟性学习共同决定学生数学能力发展水平，好比让数学学得有多快、走得有多远的两条“腿”.探究性学习一旦跨入求知或问题的“发现”门槛，应积累相应数学思想、方法与经验的灵慧，对学生而言，它隐约、难以言表，稍闪即逝，倘若被教师及时捕捉，使之显化，并归之于某个学习历史中的同感，成为后续数学学习的智慧蓄势.反之，感悟性学习又给探究性学习提供经验，找到解决问题的数学思想方法价值的认同感，为数学思考深入到问题的本质，或对解决问题方法的创新与优化，提供智慧与精神支持.因此，两者是辩证统一的.数学的理性精神：严谨、有序、求真、善化、包容、进取、崇优和创新，只能靠感悟性学习来获得这种“暗能量”，促进数学精神的人格化.
探究性学习具有外显性，学习行为和效果可以通过新知认识程度或解决问题的效度来看出，感悟性学习是数学思维能量敛聚过程，具有内隐性；探究性学习是一种“知”得或“识”到，感悟性学习却是一种“悟”得、“觉”到后的升华妙用.
由于探究性学习在教学中具有针对性、现实性和目标性，尤其求知型探究，能借助教材或生活的蓝本，教师易建立数学情境与数学活动情节构思，实现教法创新，相对“得宠”；感悟性学习教育素材具有隐含、分散、间接性，既是历史的，又是现实的，但难以被教师觉识、组织与发挥.从整个初中学段，大部分时间是按知识体系进程学习，获得求知探究型学习条件相对稳定、持续，感悟性学习可能依靠教师灵光闪现.但是，感悟性学习的觉悟一旦获得，对后续学习的影响却又是稳定、持续性的.探究性学习可以借助教师创设的情境强势和巧妙的师生互动，把课堂氛围打造的热热闹闹，但未必就是高效学习.不少优质课的获奖老师宁愿选择新课参赛，因达成知识与能力的目标相对单一，在“情境与互动”的强势下，掩盖了感悟性学习的教学功底不足，到了期末或毕业考试一“结账”，终显业绩寒碜.〖STFZ〗4 识用型探究性学习的教学发展概况与展望
2005年后，出现了识用型探究教学热潮.其主要成果：变式教学、开放性问题教学、专题教学、综合实践与研究性学习教学等.教师关注点从知识的建构层面转向知识运用层面，强化问题演化的规律性、层次性和开放性，教学研究关注从特殊到一般、从具体到抽象、从猜想到论证、因果互动等方面问题设计的合理性，通常采用问题的分层、变式设计方法，通过问题的“连续剧”，建立数学思考的合理情节，优化知识活化的思维环境，学生能自主发现解决一类问题或关联性问题数学化方法与线索，把握解决问题的规律性.
不难发现，求知型探究是一种具有按知识体系建设的横向延展，而识用型探究是一种既具有数学思考纵向深化，又具有思辨与选择可用知识横向活化特征.推动求知型向识用型探究研究发展，应归因于：①培养学生应试能力的需要，因为很多中考压轴题就是这种类型的考法；②为渗透数学思想方法和解题经验需要；③解题教学情理化，让学生学会解析问题特征，把握问题转化方法，增强理性解题.
从教学实践的规模来看，识用型探究远没有求知型探究那样广泛和深入，往往是大市名校名师的样板课例.究其因：①受制于课型.需素材积淀，蓄之不丰，用之不力.只能在复习课、专题课中偶尔呈现；②受制于教学目标，满足义务教育的基础性需求，大部分课时应为围绕基本教学目标展开；③受制于教师的专业素养.识用型探究的教学，要求教师很丰富解题教学经验，否则素材难以捡拾、组织，这方面好课例更是凤毛麟角.识用型探究学习的教研热，更多是反映在报刊杂志的理论形态下探索与构想，付之于实践研究少之又少.
识用型探究意义十分重大.①促进对知识观的再认识.皮亚杰认为，积极的环境因素能诱导学习者完成知识顺应过程，所谓顺应就是个体改变自己的动作以适应客观变化，来达到自身与客观环境平衡的.真正意义上的知识，必须经历功能性问题环境下的技术“冲压”，使知识形成一种应“试”性的结构，“功能性问题的环境”如同造工件的冲床.应“试”性的结构（形成中的认知结构），好比造出的汽车要经过各种路型试车后不断改良，达到优化车身结构目的，实现车与路的顺应.识用型探究往往采用问题串的方式，集中“冲压”出知识功能性结构.因此，我们以前认为知识基础，好像它是的“容量”型的东西，其实不然，“知”多并非“识”广.学生“知而不会”：问起单个知识，对答如流，遇解题，一筹莫展.说明没经历“功能性问题”的集中“冲压”，缺乏应“试”性结构，虽有“知”，但不会“识用”；②促进我们对教学观的再认识.建构主义强调环境是影响与决定学习动机、行为和效果.造就有效学习的环境，离不开教师科学的创设，并加之艺术的营造，方可实现从知识的“种子”变成为解题识用的“果实”.识用型探究学习是对知识意义、价值再识，对知识结构与功能深化与调试，要从知识活化过程中提炼数学的思想与方法，形成价值意识，并实现数学智慧的经验化.教师应合理地调控、操纵问题中变化因素，营造“识用型探究”的学习环境.促成数学思考从兴趣、注意的心理层面转向解决问题的思想与方法的觉悟形成.科学主导的“变”就是对数学信息量与质的调控，数学思考信息流精准冲击锁定的知识功用、数学思想方法和经验.变“问”的目的是为数学思考“情境”环境得以生态化.我们对建构主义倡导“环境”之内涵，有必要进一步深究，它是教学创新的反思出发点；③促进我们对教材改革的探索与创新.识用型探究学习题材仅仅零星分布于“综合运用”、“拓广探索”、“阅读与思考”中，因缺乏数学思考环境，达不到教材编写企图.
能否将识用型探究学习也融入教材的编写之中？鉴于数学学科的特殊性，识用型探究学习的价值与功用会受到更多人的思考与关注，也许若干年后回头看我们的教材，发现有重“知”轻“识”的感觉，两“腿”粗细不均，制约了数学“四基”的均衡发展.有必要入编教材，毕竟教材的基础性、普及性、指导性是最具影响力的.试想一下，如果十年前我们没有把求知型探究纳入教材，仅从理念来引导，则达不到今天课改的普及水平.〖STFZ〗5 对感悟性学习的思考与期望
“感悟”一词是《新课标》、数学教学期刊中出现频度较高的一词，而“感悟性学习”几乎无人提及.它是从数学的学习历史与现实中获得对数学经验性或根本性认识的学习过程.面对这种数学的“哲学”，能否从课程行为去架构、组织与实施？能否给出它明晰的目标、材料、过程与方法？关键要在课程中建立感悟性学习课题.不外有三种形式：第一种采用“课套课”的插入式设置，不改变现行课程的编排秩序，从已学历史中，对数学知识、方法、思想和经验的相似性或共性中，提炼感悟性学习课题.比如在一元一次不等式的单元后，设置“数式语言”一课，给学生介绍数式语言形成的原因、特征与意义，让学生回忆它在数学法则、演算、方程、不等式中相同的数学功用：能简约化表达数学意思和规则、描述数量关系与转化形式、数学信息储存、分析与加工等；第二种采用“课配课”的方式设置.根据建立初中生数学“世界观”不同阶段目标需求，先明确感悟性学习课题，再考虑为之服务的课程编排；第三种采用“课后课”的方式设置.适度地压缩现有课程容量，在九年级最后一学期集中编排感悟性学习课题.一是感悟性学习素材得以丰实，利于对数学知识、方法、思想和经验中共性提炼，二是借助这种数学整体观的加强，促进中考有效复习.
现行的教材比较重视数学认知规律，采用螺旋上升式编排，这无疑有它的合理性，但这仅体现数学认知发展需要的一个方面，数学认识也需要共性化，获得具有更广泛、普遍指导性的智慧与经验，现行的教材还没注重这一功能.笔者认为，宁可舍弃对一部分具体课程的刚性要求，也要增设感悟性课题学习弹性需求.在数学课程观中架构数学“世界观”，就必须对初中学段数学课程优化整合，若没有明晰的课程实施，则让教师自行落实，这是空话、大话.现实教学中，很多数学思想被标签化，达不到“用蛋孵鸡”的效果；很多体现数学知识体系建立的规律性方面：如从特殊性到一般性、从具体到抽象、先静后动（从研究“恒、定”问题的方程发展用函数研究“动、变”问题）、先成立后拓展（如am·an=amn等从整数到有理数的扩充）、数形相济、数式同性、建模、化归……都有大量的感悟性学习素材，若能捡拾与整合，从数学学习的历史的回忆、选择中，实现感悟性学习的情境再创，探索到感悟性学习环境构成要素和教学需要的技术手段，希望这些能成为后续课改深化方面.
数学学习是“知、识、悟、用”的统一，上述思考与看法是否有一些科学性或合理性，期待同仁交流斧正.
