基于分段网格模型的井筒与油藏耦合流动分析

    摘 要：以往求解井筒-油藏耦合的流动问题时，需要将井筒与油藏互相作为边界条件进行分段迭代求解，但由于井筒内的管流与油藏内的渗流流动形式不同，耦合计算存在困难。本文借鉴等效渗流法和多段井模型的思路和方法建立了分段网络模型，把油藏和井筒内的流体流动过程抽象简化为分段上的流量和其两端节点压力的关系式，对整个耦合系统建立流动方程并用牛顿迭代法数值求解。利用所建模型计算一个采油的实例，并将计算结果与CMG模拟结果进行比较，以验证模型的可靠性。

    关键词：热采水平井；井筒-油藏耦合；分段网络模型；分段流动；流动分析

    DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.075

    0 引言

    水平井开采过程中，井筒管流和油藏渗流之间互相影响，互为边界条件，需要将井筒和油藏耦合进行考虑才能更为详细和准确地描述其生产动态。而在求解井筒-油藏耦合问题的方法中，Stone等人[1]首先建立了一个用于模拟油藏多孔介质渗流和井筒管流的全隐式方法，并将其井筒模型与Coats等人[2]的热采油藏模拟器相结合。其后研究者在此基础上进一步考虑了管内流体的多相流动和传热过程[3-6]。但是，由于井筒管流与油藏渗流的流动方程形式不同，耦合区域的求解存在诸多困难。为此，Collins等人[7]提出将水平井筒处理为油藏第二“孔隙度”，吴淑红等人[8，9]基于此建立了“等效渗流模型”，他们将井筒内的管流等效视为多孔介质中的渗流，这样在数学模型上两种流动的流动形式获得了统一，且交界面连续条件容易满足。他们并推导出了不同流态下井筒的等效渗透率表达式。

    但是上述方法在计算的过程中，井筒模型都有一定程度的简化。为准确模拟结构更为复杂的井，Holmes等人[10]提出了多段井模型，该模型将井筒划分为若干多段，每段的节点和管作为独立的项处理，形成网络系统，每个井段上有压力、体积内能等变量，也允许有不同的流体。其后研究者在此基础上，将该模型应用于热模拟[11，12]和水力压裂[13，14]等情形。

    本文借鉴等效渗流法的思想和多段井模型的方法，建立了分段网络模型，并针对采油中的流体流动过程进行了研究。模型将井筒管流和油藏渗流过程都表示为分段流量和分段两端节点的节点压力的关系式，这样两种形式的流动都统一为分段流动，然后对整个系统列流动方程组，利用牛顿迭代进行法数值求解。

    1 分段网络模型

    在分段网络模型中，油藏与井筒均被抽象简化为若干分段与节点的组合，如图1所示。其中，分段代表流体的流动路径，分段之间通过节点相连。

    1.1 分段网络模型元素和其属性

    分段网络模型包括分段和节点两类基本元素，流动过程中的变量分别定义其上。其中，分段上定义有分段流量、分段流速、分段壓降、分段摩阻等变量，而分段流速、分段压降等是有方向性的，他们的方向根据事先设定的分段方向而定，并不一定与分段中流体的流向相同，当这些变量的值为负时，表明它们的方向与分段的设定方向相反。节点上定义的变量有节点压力、节点流量等，其中节点流量也具有方向性，其方向约定以流出节点为正，流入节点为负。

    分段网络模型中的分段和节点自身亦有一定的属性。其中，分段的属性包括分段长度、分段直径（非圆管时采用当量直径）、分段横截面积、分段粗糙系数（管流属性时表示管道粗糙程度，与管道材料有关），分段方向（并非流向）、起端节点、终端节点等；节点的属性包括节点位置、节点与分段之间的关联关系等。

    1.2 分段网络模型的数学描述

    我们取分段网络中的某一节点（i，j）及其周围的节点，以及这些节点之间的分段，分析井筒-油藏耦合中的流体流动，如图2所示，这里我们以节点压力和节点流量作为变量。求解思路为：首先以节点为研究对象，根据质量守恒方程，将节点处的流量表示为与之相联之分段的分段流量的关系式；然后以分段为研究对象，根据压力损失公式将分段流量表示为分段压降的函数，又由于分段压降是分段两端节点的节点压力的函数，于是可以得到由节点压力表示节点流量的方程组。

    模型的具体数学推导及描述如下：

    1.2.1 节点流量方程

    首先以某一节点为研究对象，参考图2，根据质量守恒定律，流入节点的所有流量之和应等于流出节点的所有流量之和。而在分段网络模型中，所有节点都与一条或多条分段相关联，流入或流出节点的流量即是分段上的流量。于是，对于分段网络模型中的任意一个节点n有：

    式中第一项为流入或流出节点的流量之和，其中，Sn为节点n的关联集，其元素包括所有与节点n相关联的分段；qm为Sn中某个分段的流量，m3/s；N为分段网络模型中的节点总数；式中±的取值，以流出节点为正，流入节点为负。第二项Qn为节点n处的源项，m3/s。

    上式即为节点的流量方程，可知节点流量是分段流量的函数。

    1.2.2 分段流量-压降关系式

    然后以分段为研究对象。根据分段内流体流动的沿程压力损失公式，压降为流量的函数，变换后将分段流量表示为分段压降的函数，即：

    （2）

    此即为分段的流量-压降关系式，其中，q即为分段流量，m3/s；Δp即为分段压降，Pa。

    对于不同类型的分段——管流、节流或渗流，由于流动形式不同，他们的流量与压降的关系式各不相同。管流段的流量-压降关系为，节流段的流量-压降关系，渗流段的流量-压降关系式为或。上述各式中，ρ为流体密度，kg/m3；D为管柱的（当量）直径，m；λ为管的摩阻系数，无量纲。sign为符号函数，用于判断压降Δp值的正负，若Δp为正，则sign函数返回值1，否则返回-1。Cd为流量系数，无因次；A为分段横截面积，m2。k为地层渗透系数，m2；μ为流体粘度，Pa·s。

    1.2.3 分段的压降方程

    在分段网络模型中，分段两端为节点，分段的压降等于分段两端之节点的压力之差，于是，对某一分段i，其压降可以表示为：

    1.3 模型数值求解方法

    从上述模型推导过程中我们可以看到，由于管流、节流的流量-压降关系是非线性的，于是所得到的节点流量-压力方程组也是非线性的，需要利用牛顿-拉夫逊算法来数值求解上述非线性方程。

    其中，下标n、s、w、e分别表示节点（i ， j）的上方、下方、左侧和右侧，方位参考图3。同样，式对于不同的节点，形式也有不同，可相应变换得到。

    于是，对分段网络模型的每一个节点，根据与该节点相连的不同分段和节点，可按照式列出雅克比矩阵中对应位置上的偏导数，进而求解方程，得到井筒和油藏中各个节点处的压力和各个分段的流量，亦即获得了井筒-油藏耦合体系中的压力、流量分布。

    1.4 边界条件

    根据数学理论，方程组可解的充分条件是方程的数量与未知量的数量相等。在上述的分段网络模型中，分段上的未知变量仅有分段流量，节点上的未知变量有节点压力和节点流量。这里，我们设x方向和y方向的节点数分别为Nx和Ny。于是，（Nx-1）*（Ny-1）个分段上的未知流量可由相同数量的分段方程求得；而Nx*Ny个节点未知压力和Nx*Ny个节点未知流量共2Nx*Ny个变量却不能同时由Nx*Ny个节点方程求出。不过，若已知节点压力则可求得节点流量，反之亦然。同时，作为方程组可解的必要条件，分段网络中需要至少有一个定压节点。

    2 模型验证

    为验证本文所建的数值模型，将模型计算结果与CMG数值模拟结果进行对比。考虑一面积为390m×200m的储层的采油过程，计算模型的尺寸如图3所示，有效厚度为15m，孔隙度0.3，渗透率1000mD，地层原始压力9.88MPa，油藏条件下油的密度和粘度分别为800kg/m3和5cP，水的密度和粘度分別为1000kg/m3和1cP。其中，水平井长度为150m，位于储层中部，距地面1007.6m，套管管柱内径157mm；完井方式为射孔完井，为简化问题，每隔10m设置一个直径为12.5mm的孔眼。采油量为200m3/d，开采时间10天。

    模型离散示意图如图3所示，其中，平行于井轴向定义为I向，垂直于井轴向定义为J向。于是，整个模型在两个方向上分别离散为39和20个分段，位于储层中部的井离散为15个分段，井分段之间的节点与射孔孔眼相对应，储层四周假设为定压边界条件。采油过程中，流体从各个孔眼沿程流入管柱，最后由跟端采出。计算结果对比如下各图所示：

    图4所示为本文模型和CMG数值模拟所得到的压力沿井及其延长线的分布曲线对比，由图可知，采油过程中井附近区域的压力比储层内的压力低，这一压差可将油驱入采油井中，且由图可看出，两种计算结果的误差很小，具有良好的一致性。

    图5所示为近井储层内压力沿I向的分布曲线，其趋势与图4中的类似，储层压力也由于井内低压而降低。且由图可知，两种方法所得到的储层内压力分布虽有差别，但其误差在可允许范围内。图6为与井筒处于相同I坐标部分的对比，由图可知该部分压力的分布趋势是一致的。

    图7所示为本文模型和CMG数值模拟所得到的近井储层内J向流量沿I向的分布对比。图8为与井筒处于相同I坐标部分的对比，由图可知，该部分流量分布趋势是类似的，在井的跟端和趾端，采油量明显比井中部分高，呈U型分布。这是因为跟端和趾端附近的油层范围比中间部分要大。

    图9所示为本文模型和CMG数值模拟所得到的近井储层内I向流量沿I向的分布对比。图10为与井筒处于相同I坐标部分的对比。由图可知，两种方法所得的流量结果分布趋势是类似的，且在与井筒处于相同I坐标的部分，两种方法计算的结果误差在允许范围内。

    3 结论

    （1）建立了计算井筒油藏耦合流动问题的分段网络模型，该模型将井筒和油藏内的流动都等效为分段上的流动，推导出分段上的流量和分段两端节点上的压力之间的关系，从而得到整个系统的分段流量-节点压力关系式，利用牛顿发迭代法求解。

    （2）与成熟的油藏数模软件CMG的实例计算结果对比表明，本文所建立的分段网络模型在计算井筒-油藏耦合问题时，具有一定的可靠性。

    参考文献：

    [1]Stone T W，Edmunds N R，Kristoff B J.A Comprehensive Wellbore/Reservoir Simulator[J].1989.

    [2]Coats K H.A Highly Implicit steamflood Model[J].Society of Petroleum Engineers Journal，1978，18（05）：369-383.

    [3]Livescu S，Durlofsky L J，Aziz K，et al.Application of a new fully-coupled thermal multiphase wellbore flow model[C].SPE Symposium on Improved Oil Recovery.Society of Petroleum Engineers，2008.

    [4]Livescu S，Durlofsky L J，Aziz K，et al.A fully-coupled thermal multiphase wellbore flow model for use in reservoir simulation[J].Journal of petroleum Science and Engineering， 2010，71（3-4）：138-146.

    [5]Mozaffari S，Nikookar M，Ehsani M R，et al.Numerical modeling of steam injection in heavy oil reservoirs[J].Fuel，2013： 185-192.

    [6]Li M，Chen H，Zhang Y，et al.A Coupled Reservoir/Wellbore Model to Simulate the Steam Injection Performance of Horizontal Wells[J].Energy technology，2015，3（05）：535-542.

    [7]Collins D，Nghiem L，Sharma R，et al.Field-Scale Simulation Of Horizontal Wells[J].Journal of Canadian Petroleum Technology，1992，31（01）：14-21.

    （下转第97页）

    （上接第87页）

    [8]吴淑红，刘翔鹗.水平段井筒管流的简化模型[J].石油勘探与开发，1999（04）：64-65.

    [9]吴淑红，沈德煌，李春涛等.热采井简变质量流与渗流耦合的数值模型[J].中国科学技术大学学报，2004，34（z1）：32-38.

    [10]Holmes J A，Barkve T，Lund O.Application of a Multisegment Well Model to Simulate Flow in Advanced Wells[C].European Petroleum Conference. Society of Petroleum Engineers，1998.

    [11]Stone T W，Bennett J，Law D H S，et al.Thermal simulation with multisegment wells[C].SPE Reservoir Simulation Symposium.Society of Petroleum Engineers，2001.

    [12]Semenova A P，Livescu S，Durlofsky L J，et al.Modeling of multisegmented thermal wells in reservoir simulation[C].SPE EUROPEC/EAGE Annual Conference and Exhibition.Society of Petroleum Engineers，2010.

    [13]Edwards D A，Cheng N，Dombrowsky T P，et al.Representing hydraulic fractures using a multilateral，multisegment well in simulation models[C].SPE Reservoir Simulation Symposium. Society of Petroleum Engineers，2013.

    [14]Wilson A.Technique Uses Multilateral，Multisegment Wells To Represent Hydraulic Fractures[J].Journal of Petroleum Technology，2014，66（07）：102-105.

    [15]王海靜.水平井井筒—油藏耦合问题的理论与试验研究[D].南京航空航天大学，2012.

    [16]陈会娟，李明忠，狄勤丰等.多点注汽水平井井筒出流规律数值模拟[J].石油学报，2017，38（06）：696-704.

    [17]王海静，薛世峰，仝兴华等.井筒压降对底水油藏水平井生产动态的影响[J].断块油气田，2016，23（01）：73-76.

    作者简介：任星宇（1993-），男，山西文水人，硕士研究生，从事地下油气田开发与稠油热采等方面工作。