基于“七步法”的几何定理教学方法的实践与反思

    张炜

    

    

    

    摘 要：通过“七步法”落实定理教学的“过程”性，提升“学为中心”理念中学生的主体参与和教师的引导作用，将几何定理的产生、分析、理解、应用的“过程性”作为学生学习理解与运用定理的“切入点”，从而促进课堂教学中教与学的和谐发展，真正实现定理教学的课堂高效.

    关键词：七步实施;几何定理;过程教学;高效课堂

    1 背景介绍

    浙江省特级教师邬云德在“学为中心”的教师培训中指出，定理教学要经历“提出问题→操作观察→归纳猜想→分析证明→多样表达→解决问题→反思内化”（以下简称七步）的规范过程.这就是说，几何定理具有高度抽象性和科学性，只有学生在经历“七步”的过程中才能化抽象为直观，才能将数学的科学性变的通俗易懂，学生才能真正领悟定理教学中的内涵.才能积极参与数学活动，将数学“冰冷的美丽”化成“火热的思考”.但在以浙教版数学八年级上册第二章第7节“探索勾股定理”为载体的“多人同课异构”式的研修活动中发现，几何定理的课堂教学中普遍存在没有遵循七步原则，造成教学“过程”短暂，甚至缺失的现象.鉴于此，我们在重复式观摩和反复研讨反思的基础上，对于该课的教学过程进行了重建，改建后的教学实施与效果得到了研修听课同仁的认可.现将其整理出来，以期与读者共飨，共同进步.

    2 教学实录

    环节1 类比思考并经历提出问题的过程——确定研究问题

    师：我们在研究等腰三角形时，用画图与实验来证实（或用推理验证）的方法，获得等腰三角形从边的相等到角的相等以及角的平分、边的平分（三线合一）等一系列的相等现象的性质.本节课我们用类比探索的方式研究直角三角形中关于边存在的运算等式（揭示课题）.

    环节2 探索直角三角形三边等式的特征——操作观察思考

    生14：根据正方形面积的两种算法，结合完全平方公式.

    师：是的，从数与形结合两个层面寻找证明思路的“切入点”也是数形推理上的重要思维.概括地说，形的方面是由边长c的平方想到正方形的面积，再由直角三角形的面积与正方形的面积之间的联系寻找正方形的分割线，产生四个直角三角形与一个小正方形.数的方面是由ab与a2，b2之间的联系产生（b-a）2，将ab转化成a2+b2.

    师：你们还有其他的证法吗？学生沉默.

    其实，你们所提供的证明过程就已经很了不起.不过，在古代我们中国数学家就对这个直角三角形的三边关系进行了探索，下面请大家打开书翻到第76页进行阅读（课外活动材料）.

    环节5 经历经典定理的数学史——阅读欣赏创新

    阅读 师：同学们，祝贺大家，你们发现的证明思路也是我们中国人在关于直角三角形三边关系最早的证明，它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图（如图10）（详见课本76页探究活动）.

    欣赏 数学简史：在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又称之为商高定理;《蒋铭祖算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也;”“此数”指的是“勾三股四弦五”.这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的.在国外，相传毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形.又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（如图11）.直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方.两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积.法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”.他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家.

    应用价值 （1）著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言（如图10）.

    （2）在北京召开的第24届国际数学大会（ICM—2002）上确定它为大会的会标（如图12）.

    创新 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力.请同学们课下制作勾股定理手抄报纸质稿（或电子小报），可以2-3人一组，一个星期的时间以小组为单位在下星期五前上交，届时邀请美术、信息老师评选优秀作品，并颁发奖状及奖品.

    环节7 参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

    师：本节课研究了哪些内容？

    生15：勾股定理及其应用.

    师：好的，我们是怎样研究的？

    生16：通过类比等腰三角形，先探索勾股定理，再用勾股定理解决实际问题.

    师：不错，发现判定定理的策略与方法分别是什么？

    生17：策略是类比.方法是画图、推理.

    师：好的，这是发现数学结论常用的经验.

    师：大家在学习过程中还有哪些收获和体会？

    生18：计算线段长度构造直角三角形.

    师：不错，关于线段长度关系的发现，目前运用勾股定理是一个重要的思维特征.从数据的平方特征采用正方形面积相等的两种表达方式是证明图形等式的重要基本策略.

    生19：勾股定理的使用是数形结合的数学思想.

    师：好！这些收获与体会非常有價值，对于后续学习有指导意义.

    3 教学反思

    3.1 “七步法”强调定理教学是“过程”教学

    遵循“七步法”原则是定理教学的外在形式，旨在强调定理教学是过程教学.首先，勾股定理作为几何定理中的经典，其重点和难点是定理的发现和证明过程.在此过程中蕴含着丰富的数学思想，譬如：归纳思想、化归思想、演绎思想等是学生学习平面几何的核心思想;其次，在定理的应用过程中蕴含着重要的数学推理思想，如：数形结合思想、方程思想等及用数据描述图形的性质实现定性到定量的精准性刻画，这些对于发展学生的智力、能力和个性品质具有积极地影响;最后，定理应用的反思及定理证明后的反思也是过程教学中的关键部分，在此过程中实现数学思想方法的总结，数学经验的积累，思考问题能力上的“导富济贫”.但是目前在该课的教学中，多数教师没有对探索勾股定理中的边长等量关系运算的策略进行反思;有些教师在获得勾股定理和解决实际问题之后缺乏对问题解决策略的反思;多数教师缺乏对教学活动失败与成功活动经验上的反思.

    3.2 “七步法”强调定理教学的自然生成教学

    本课例在“精致化”分析的基础上，改变很多教师直接给出勾股定理的弦图，紧接着思考证明勾股定理的产生过程的做法，将其教学立意为弦图的形成与勾股定理等式运算的形成探索过程的“过程”教育.并从学生已有的知识和经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历完整的认知过程.在“回顾并提出问题”的教学中，既有回顾探索勾股定理证明思路形成的思想方法，以激活研究探索勾股定理的数学活动经验，又有提出问题的过程，以建立新旧知识之间的内在联系和激活学生学习的兴趣.在“探索并证明勾股定理”的教学中，既有借助已有经验进行“分类探索→画图猜想→分析证明→多样表达”的过程，以获得勾股定理及发展探索与证明的能力，又有获得勾股定理之后的反思，以内化用构造正方形来实现化归的思想方法.积累用边长的平方构造图形以及用面积证明勾股定理等式结构的新经验.在“定理应用”的教学中，既有引导学生解决给定问题的过程，以巩固所学的知识和发展智慧技能，又有解决问题之后的反思，以认识用勾股定理解决实际问题的思想方法，还有开放式的问题解决我国的问题，以发展学生的发散思维能力和想象能力，积累测量等方案的数学活动经验.在“回顾与思考”的教学中，既有回顾研究内容，又有回顾研究方法，还有学生谈学习后的收获与感受.

    3.3 “七步法”强调“学为中心”的教学理念

    新课程理论指出，学生的学习过程不仅要知其然，还要知其所以然，更要知何以知其所以然.勾股定理的教学关键点是使学生获得探索直角三角形三边等式关系的过程.这个探索的过程也是本节课的“亮点”，是需要学生在“做中学”中去体会，在不断地尝试和探索中，从偶然发现到必然认识的“寻宝过程”.因此，本节课的教学重心应放在学生如何发现三边的等式是平方关系？为什么不考虑四则运算？为什么上升到平方形式？为什么等式的证明是采用画出正方形？为什么要分割成四个直角三角形和一个小正方形？直角三角形的面积是ab2，正方形的面积是c2，通过正方形的等面积形式去得到a2+b2=c2，为什么想到分割正方形？这些都是学生的疑点和惑点.参与研修的教师普遍认为，本课例落实了定理教学的基本规范，遵循了“学为中心”的教育理念. “學为中心”的教学理念强调定理教学要开发学生的主动性，教师的引导性.本课例对于勾股定理的导入采用从特殊到一般的图形与数据相结合的两个视角的开发过程.从图形的视角，以复习等腰三角形的边的等式为出发点，类比直角三角形的边的相等关系式，排除了特殊的一次方的等式结构.再从等腰直角三角形三边特殊的等式到借助网格落实直角三角形在网格上精准性的边上数据的获得.通过先测量、实验、发现等一系列数学真实体验，获得直角三角形三边关系等式的猜想;再根据从特殊背景（网格）到一般性背景（非网格）的直角三角形三边长度等式在图形上的猜想、实验、推理、证明的思维认识发展过程.从数据的视角，遵循数学是定性刻画到定量刻画的本质认识过程.尊重学生从数据的运算规律的观察、归纳、发现、验证的一般认识规律，从运算的偶然性、特殊性再到运算的一般性和普遍性的认识发展规律.从运算的结构上看，学生是要经历一级运算（加法与减法运算）到二级运算（乘法与除法运算）再到三级运算（乘方与开方运算）认识规律.摒弃了直接采用华罗庚的预言或数学大会的会徽的欣赏，将勾股定理的认识过程衍变成培养学生发现等式运算结构的探索过程.把本节课的难点定位在何以产生平方的等式，何以出现正方形的图形上.学生对于勾股定理的产生“豁然开朗”，自然对于定理的运用便会“欣然接受”，从而营造教与学的和谐氛围就不在话下了.

    教学实践表明，在定理教学中，要落实新课标中要求的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（以下简称四基）的高效落实，需要教师为学生提供充分认识和理解定理的思维活动的时间和空间，为学生营造充分独立思考合作学习的过程.“七步法”实施的本质是强调定理教学应该遵循定理产生、认识、理解、运用的科学规律，需要教师贯彻启发式教学思想.以符合“最近发展区”理论的题材为载体，在贯彻“学为中心”的教学理念中实实在在，脚踏实地从学生已有的知识和经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，学生四基的能力才会得到发展，高效课堂才不会成为一句空话.

    参考文献：

    [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2]范良火.义务教育教科书数学（八年级上册）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.

    [3]邬云德.数学定理教学方法——以“相似三角形判定定理1”为例[J].中学数学，2017（02）：12-14.

    （收稿日期：2019-04-02）