数学课堂需关注“五学”
“教师教得很辛苦，学生却不爱学；教师教学很投入，教学效果却不佳。”这是当下很多教师尤其是数学教师深感痛苦不安的问题。高效课堂，路在何方？笔者在认真研读《数学课程标准实验稿（2011版）》的基础上，结合自身的教学实践和感悟，提出数学课堂需关注学生“五学”的教学建议，供同行研讨.
1让学生“乐学”——激发学习的兴趣
古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师。”可见，教师在数学课堂上要更多地激发学生的学习兴趣，要通过自身的教学智慧和教学艺术，拨动学生的好奇心，激发学生的求知欲，使学生增强学习情绪，从而主动投入，变“要我学”为“我要学”。引入是一节课的起始环节，俗话说“好的开端是成功的一半”。因此，教师首先要在引入上下功夫.
案例1：“平方差公式”教学引入.
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少10米，相邻的另一边增加10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧”。回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊，你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决.
评注这样的引入一下子激起了学生的兴趣，巧妙之处是构造了一个有趣味性的故事情境，并把所要学习的知识内容融进这个故事，学生一方面对此很好奇，非常想解决这个问题；另一方面，由于认知水平不足，又无法立即解决，从而引发认知冲突，产生强烈的求知欲，同时还为说明平方差公式的几何意义做好铺垫.
激发学习兴趣不只是在引入这个环节，也不只是故事这种方式，在整个教学过程中，教师要注意把知识内容与生活实践结合起来；要注意提供一些数学史或其它有趣的知识，引导学生领略数学文化的魅力；要注意利用有效的学习机制和教学手段营造良好的教学环境和氛围，改变学生的学习状态，让学生真正成为学习的主体，快乐主动地学习.
2让学生“易学”——把握教学的起点
《数学课程标准实验稿（2011版）》指出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就意味着数学课堂必须把握好教学的起点，要立足于班级后进生已有的知识水平、生活经验和思维水平，目的是让后进生能产生兴趣，克服厌学和自卑心理，与别人一同前行，有所收获。而现实情况是很多教师往往没有从学生的实际出发，教学起点太高，题目越教越难，还常常抱怨学生太笨，他们错误的认为，“学生只要把难题学会了，简单题自然也就会了。”但事与愿违，学生难题没学会，基础也没夯实，能力更没形成，结果对数学越学越怕，越怕越差，越差越不喜欢，形成恶性循环.
案例2：“去括号”教学片段.
某教师讲完去括号法则后，开始讲解例题1。例题1讲完后，随即给出两道习题让学生练习，结果是有一大半学生做错。题目如下：
例1：先去括号，再合并同类项：2x2+3（2x-x2）.
练习：①5x2-4（x-2x2）；②-2（4a2b-7ab2）+（-3ab2-5a2b）
评注学生初学去括号法则，在法则尚不熟练的前提下，该教师给出的例1和练习，既要去括号，又要用乘法分配律，还要合并同类项，起点明显太高，学生学起来就很困难，手忙脚乱，出错也就正常了。特别是对基础薄弱的学生，第一道例题的难度就超出了他们的承受能力，这堂课对他们来说将是无效教学，长此以往，后进生的数量越积越多.
一位教育家说过，“要把学生引向一个地方，首先得知道他们现在在哪里。”在教学的起始阶段，要找准和降低知识的起点，确保人人都能参与，特别是让后进生也能启动思维。在本案例中，例1和练习应设计一些和法则相匹配的基础性题目，这些题目没有后面两项任务，只需学生完成去括号，让学生有一个抓手，可以对比法则进行训练，从而达到应用和掌握法则的效果。当直接应用法则掌握以后，例2再设计高一层次的例习题学习，这样学生才能比较容易地学会知识，夯实基础，形成能力，让基础最弱的学生也有收获，有效地实现课内补差，体现教师以生为本的理念。另外，例习题设计还要讲究问题坡度小、题型变化小，目的是让学生以题领题，拾级而上，最后达到一定的高度，“顺着坡度上高度”就是这个道理.
3让学生“思学”——灵活教学的方法
学习兴趣是在思考中培养的，解题能力是在思考中提高的。数学思考是数学教学中最有价值的行为，有思考才会有问题，才会有反思，才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到发展。这就要求教师在教学中采用灵活的方法，引导学生善思好问，培养创新意识，形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养.
案例3：“全等三角形”教学片段.
例题：如右图，已知△ABC≌△DEF，点F、C在AD上，AC=5，∠B=130°.
评注这是笔者2012年赴新疆公开教学“全等三角形”中设计的一道例题，本题是一道只有条件没有问题的题目，学生看到后感觉很好奇，这可是他们第一次遇到的情况，正当他们不知所措时，笔者指出由他们自已根据条件提出问题进行证明，教室内一下炸开了锅，学生议论纷纷，课堂氛围空前高涨，学生的思维和兴趣最大限度地激发出来，他们最后提出了八个问题，并且一一得到了证明。笔者把原来的一道题目通过去掉问题变成了一个完全开放性的题目，灵活性大大增强，不仅可以培养学生的发散性思维，还能有效地培养学生思考问题、提出问题的问题意识和创新精神，真正实现了以少胜多的高效教学。课后，与会教师评价说这是他们以前不敢想象的，没料到学生如此敢提问题，会提问题，还提出了这么多好问题.
学会思考、培养习惯远比学会知识本身更重要。教学中还可以采用去掉题目中的某些条件，让学生先给出条件再解决问题；还可以采用变式教学，指导学生进行一题多解、多解优化、一题多变、多题一解。总之，教师要精心设计教案，灵活教学方法，尽力提供学生思维的平台，引导学生在学会知识的过程中学会思考、敢于提问，养成良好的思维品质和学习习惯.
4让学生“悟学”——渗透数学的思想
《数学课程标准实验稿（2011版）》指出，“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等，好的数学教学，是把数学知识、数学方法、数学思维、数学思想融为一体的教学。”因此，教学中注重双基的同时，要结合具体的内容，适时适度地渗透数学思想方法，让学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想，提升数学素养.
案例4：“乘法公式”、“幂的乘方公式”蕴含的思想方法.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。
评注在目前，初中数学课堂教学普遍立意不高，缺乏数学思想的引领与渗透，是谁把课堂的神韵——数学思想丢了？问过很多教师，在乘法公式教学中是否可以渗透有关数学思想，不少教师表示不太清楚。其实，乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，字母a、b、c、d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）a=c，b=-d时有平方差公差；（2）a=c，b=d时有完全平方和公式。从一般到特殊、归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”，这些思想方法在乘法公式教学时教师应该渗透给学生.
“幂的乘方公式”的推导过程中同样渗透了有关数学思想。（am）n=am·am·…·amn个（用乘方定义进行化归）=am+m+…+mn个（用同底数幂乘法法则进行化归）=amn.
数学思想是数学教学的精髓。布鲁纳说：“掌握基本数学思想和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”日本数学家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段耐人寻味的话：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”因此，教师要挖掘教学内容蕴涵的数学思想，在具体的教学过程中进行反复渗透，指导学生探究知识的本质，让学生逐步“领悟”，实现数学教育的发展性.
5让学生“说学”——倾听学生的声音
叶澜教授说：“教师要学会倾听学生的每一个问题，每一句话，善于捕捉学生身上的思维火花。”一个善于倾听学生“说学”的教师，才能向学生传递尊重与鼓励，创造和谐、民主的课堂氛围；才能了解学生的需求，学生也才能暴露需要解决的问题，从而对症下药，真正地达到预期的课堂教学效果。
案例5：“生活中的不等式”教学片段.
某校男子跳高纪录是1。65m，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是h（m），打破了该校男子跳高纪录。
师：请用不等式表示该问题中数量之间的关系.
生：h>1。65.
师：本题中表示不等关系的词语是哪个，对应的不等号是什么？
生：表示不等关系的词语是“打破”，对应的不等号是“>”.
对话到此，正准备进入下一题的讲解时，有一位坐着的学生小声嘀咕了一句：“打破还可以是小于。”这个声音虽然很小且有些模糊，但教师还是听到了，马上请该学生起立讲解.
生：打破还可以是小于。如“某校男子100米跑的纪录是12秒，小明在今年的运动会上100米跑的成绩是t秒，打破了该校男子100米跑纪录。”在这个问题中，列出的不等式应该是t<12，对应的不等号是“<”。（教室内的气氛一下活跃起来，同学们纷纷点头同意）
师：这位同学举的例子非常好，说明“打破”这个词语在不同的情况下选用的不等号是不同的.
评注这是笔者2009年赴太仓开设苏州大市公开课“生活中的不等式”中的一个教学片段。说实话，笔者当时备课时没有考虑这个问题。试想，如果笔者没有营造宽松和谐的氛围，没有给学生说的机会，也没有注意倾听学生的发言（严格意义上是窃窃私语），那么不经意间将犯下后果严重的科学性错误.
“教重要的在于听，学重要的在于说”。教育应该从倾听开始，教师要多听、善听，听时要有耐心并适当鼓励学生，特别是在学生出现与众不同的思路或者错误的时候更要仔细地听，让每个学生都敢说，充分暴露学生的思维过程。“说”不仅能锤炼学生的表达能力，激活学生的思维，还能检测学生的学习情况，能让学生发现自已的知识漏洞，让学生寻求更好的求解方法。“会说”才“会学”，如果学生能用自已的话说出自已对于所学内容的理解，自已对哪些内容还没有学会，说明他是真的学习了.
心里有阳光，才有教育；心里有学生，才有教学。善待学生，乐于倾听，不仅要听站立学生的发言，也要听坐着学生的窃窃私语；不仅要鼓励学生敢说，也要指导学生如何说.
作者简介张林，男，1973年7月出生，江苏张家港人，中学高级教师，副校长。苏州大市学科带头人，苏派青年名师，近年发表50多篇论文，赴新疆、兰州等地开设公开课和讲学.
1让学生“乐学”——激发学习的兴趣
古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师。”可见，教师在数学课堂上要更多地激发学生的学习兴趣，要通过自身的教学智慧和教学艺术，拨动学生的好奇心，激发学生的求知欲，使学生增强学习情绪，从而主动投入，变“要我学”为“我要学”。引入是一节课的起始环节，俗话说“好的开端是成功的一半”。因此，教师首先要在引入上下功夫.
案例1：“平方差公式”教学引入.
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少10米，相邻的另一边增加10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧”。回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊，你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决.
评注这样的引入一下子激起了学生的兴趣，巧妙之处是构造了一个有趣味性的故事情境，并把所要学习的知识内容融进这个故事，学生一方面对此很好奇，非常想解决这个问题；另一方面，由于认知水平不足，又无法立即解决，从而引发认知冲突，产生强烈的求知欲，同时还为说明平方差公式的几何意义做好铺垫.
激发学习兴趣不只是在引入这个环节，也不只是故事这种方式，在整个教学过程中，教师要注意把知识内容与生活实践结合起来；要注意提供一些数学史或其它有趣的知识，引导学生领略数学文化的魅力；要注意利用有效的学习机制和教学手段营造良好的教学环境和氛围，改变学生的学习状态，让学生真正成为学习的主体，快乐主动地学习.
2让学生“易学”——把握教学的起点
《数学课程标准实验稿（2011版）》指出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就意味着数学课堂必须把握好教学的起点，要立足于班级后进生已有的知识水平、生活经验和思维水平，目的是让后进生能产生兴趣，克服厌学和自卑心理，与别人一同前行，有所收获。而现实情况是很多教师往往没有从学生的实际出发，教学起点太高，题目越教越难，还常常抱怨学生太笨，他们错误的认为，“学生只要把难题学会了，简单题自然也就会了。”但事与愿违，学生难题没学会，基础也没夯实，能力更没形成，结果对数学越学越怕，越怕越差，越差越不喜欢，形成恶性循环.
案例2：“去括号”教学片段.
某教师讲完去括号法则后，开始讲解例题1。例题1讲完后，随即给出两道习题让学生练习，结果是有一大半学生做错。题目如下：
例1：先去括号，再合并同类项：2x2+3（2x-x2）.
练习：①5x2-4（x-2x2）；②-2（4a2b-7ab2）+（-3ab2-5a2b）
评注学生初学去括号法则，在法则尚不熟练的前提下，该教师给出的例1和练习，既要去括号，又要用乘法分配律，还要合并同类项，起点明显太高，学生学起来就很困难，手忙脚乱，出错也就正常了。特别是对基础薄弱的学生，第一道例题的难度就超出了他们的承受能力，这堂课对他们来说将是无效教学，长此以往，后进生的数量越积越多.
一位教育家说过，“要把学生引向一个地方，首先得知道他们现在在哪里。”在教学的起始阶段，要找准和降低知识的起点，确保人人都能参与，特别是让后进生也能启动思维。在本案例中，例1和练习应设计一些和法则相匹配的基础性题目，这些题目没有后面两项任务，只需学生完成去括号，让学生有一个抓手，可以对比法则进行训练，从而达到应用和掌握法则的效果。当直接应用法则掌握以后，例2再设计高一层次的例习题学习，这样学生才能比较容易地学会知识，夯实基础，形成能力，让基础最弱的学生也有收获，有效地实现课内补差，体现教师以生为本的理念。另外，例习题设计还要讲究问题坡度小、题型变化小，目的是让学生以题领题，拾级而上，最后达到一定的高度，“顺着坡度上高度”就是这个道理.
3让学生“思学”——灵活教学的方法
学习兴趣是在思考中培养的，解题能力是在思考中提高的。数学思考是数学教学中最有价值的行为，有思考才会有问题，才会有反思，才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到发展。这就要求教师在教学中采用灵活的方法，引导学生善思好问，培养创新意识，形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养.
案例3：“全等三角形”教学片段.
例题：如右图，已知△ABC≌△DEF，点F、C在AD上，AC=5，∠B=130°.
评注这是笔者2012年赴新疆公开教学“全等三角形”中设计的一道例题，本题是一道只有条件没有问题的题目，学生看到后感觉很好奇，这可是他们第一次遇到的情况，正当他们不知所措时，笔者指出由他们自已根据条件提出问题进行证明，教室内一下炸开了锅，学生议论纷纷，课堂氛围空前高涨，学生的思维和兴趣最大限度地激发出来，他们最后提出了八个问题，并且一一得到了证明。笔者把原来的一道题目通过去掉问题变成了一个完全开放性的题目，灵活性大大增强，不仅可以培养学生的发散性思维，还能有效地培养学生思考问题、提出问题的问题意识和创新精神，真正实现了以少胜多的高效教学。课后，与会教师评价说这是他们以前不敢想象的，没料到学生如此敢提问题，会提问题，还提出了这么多好问题.
学会思考、培养习惯远比学会知识本身更重要。教学中还可以采用去掉题目中的某些条件，让学生先给出条件再解决问题；还可以采用变式教学，指导学生进行一题多解、多解优化、一题多变、多题一解。总之，教师要精心设计教案，灵活教学方法，尽力提供学生思维的平台，引导学生在学会知识的过程中学会思考、敢于提问，养成良好的思维品质和学习习惯.
4让学生“悟学”——渗透数学的思想
《数学课程标准实验稿（2011版）》指出，“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等，好的数学教学，是把数学知识、数学方法、数学思维、数学思想融为一体的教学。”因此，教学中注重双基的同时，要结合具体的内容，适时适度地渗透数学思想方法，让学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想，提升数学素养.
案例4：“乘法公式”、“幂的乘方公式”蕴含的思想方法.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。
评注在目前，初中数学课堂教学普遍立意不高，缺乏数学思想的引领与渗透，是谁把课堂的神韵——数学思想丢了？问过很多教师，在乘法公式教学中是否可以渗透有关数学思想，不少教师表示不太清楚。其实，乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，字母a、b、c、d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）a=c，b=-d时有平方差公差；（2）a=c，b=d时有完全平方和公式。从一般到特殊、归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”，这些思想方法在乘法公式教学时教师应该渗透给学生.
“幂的乘方公式”的推导过程中同样渗透了有关数学思想。（am）n=am·am·…·amn个（用乘方定义进行化归）=am+m+…+mn个（用同底数幂乘法法则进行化归）=amn.
数学思想是数学教学的精髓。布鲁纳说：“掌握基本数学思想和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”日本数学家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段耐人寻味的话：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”因此，教师要挖掘教学内容蕴涵的数学思想，在具体的教学过程中进行反复渗透，指导学生探究知识的本质，让学生逐步“领悟”，实现数学教育的发展性.
5让学生“说学”——倾听学生的声音
叶澜教授说：“教师要学会倾听学生的每一个问题，每一句话，善于捕捉学生身上的思维火花。”一个善于倾听学生“说学”的教师，才能向学生传递尊重与鼓励，创造和谐、民主的课堂氛围；才能了解学生的需求，学生也才能暴露需要解决的问题，从而对症下药，真正地达到预期的课堂教学效果。
案例5：“生活中的不等式”教学片段.
某校男子跳高纪录是1。65m，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是h（m），打破了该校男子跳高纪录。
师：请用不等式表示该问题中数量之间的关系.
生：h>1。65.
师：本题中表示不等关系的词语是哪个，对应的不等号是什么？
生：表示不等关系的词语是“打破”，对应的不等号是“>”.
对话到此，正准备进入下一题的讲解时，有一位坐着的学生小声嘀咕了一句：“打破还可以是小于。”这个声音虽然很小且有些模糊，但教师还是听到了，马上请该学生起立讲解.
生：打破还可以是小于。如“某校男子100米跑的纪录是12秒，小明在今年的运动会上100米跑的成绩是t秒，打破了该校男子100米跑纪录。”在这个问题中，列出的不等式应该是t<12，对应的不等号是“<”。（教室内的气氛一下活跃起来，同学们纷纷点头同意）
师：这位同学举的例子非常好，说明“打破”这个词语在不同的情况下选用的不等号是不同的.
评注这是笔者2009年赴太仓开设苏州大市公开课“生活中的不等式”中的一个教学片段。说实话，笔者当时备课时没有考虑这个问题。试想，如果笔者没有营造宽松和谐的氛围，没有给学生说的机会，也没有注意倾听学生的发言（严格意义上是窃窃私语），那么不经意间将犯下后果严重的科学性错误.
“教重要的在于听，学重要的在于说”。教育应该从倾听开始，教师要多听、善听，听时要有耐心并适当鼓励学生，特别是在学生出现与众不同的思路或者错误的时候更要仔细地听，让每个学生都敢说，充分暴露学生的思维过程。“说”不仅能锤炼学生的表达能力，激活学生的思维，还能检测学生的学习情况，能让学生发现自已的知识漏洞，让学生寻求更好的求解方法。“会说”才“会学”，如果学生能用自已的话说出自已对于所学内容的理解，自已对哪些内容还没有学会，说明他是真的学习了.
心里有阳光，才有教育；心里有学生，才有教学。善待学生，乐于倾听，不仅要听站立学生的发言，也要听坐着学生的窃窃私语；不仅要鼓励学生敢说，也要指导学生如何说.
作者简介张林，男，1973年7月出生，江苏张家港人，中学高级教师，副校长。苏州大市学科带头人，苏派青年名师，近年发表50多篇论文，赴新疆、兰州等地开设公开课和讲学.
