“精致练习”促进学生理解数学概念
1概念理解的过程和目前存在的问题
“促进学生的理解，为理解而教”成为现代教与学研究的核心.由于数学基本上都是概念组成的，因此在数学学习中“理解”主要是指“概念理解”.“概念理解”的具体说法不一，比如斯根普认为，“对某个事物的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中.”（Skemp，1976）具体说，理解是在感知的基础上，通过思维加工，把新学的内容同化到已有的认知结构中，或者改组扩大原有的认知结构，把新学习的内容概括进去逐步达到认识事物的本质和规律的一种思维活动[1].
我认为“概念理解”是学生对所学概念不断加深认识、逐步完善、永无止境的累积过程.学生从学习一个新概念起，就开始进入概念的理解，从观察某一类事物的各种属性，分化出他们的共同属性，再概括、抽象出本质属性，形成概念，用符号表示概念，这是理解的初级阶段，通常称概念的形成.然后应用概念分析、解决与概念有直接或间接关系的问题，进入概念的应用阶段，这是概念的理解的第二个阶段，这个阶段从课堂一直延伸到课后.学生在应用中逐步加深对于所学概念的理解.所以理解就是一个动态的、分水平的、反反复复的、永无止境的建构过程.概念理解的层级性，与概念发展的抽象性、概念表征的多元性、学生个体心理发展水平、学习的次序性都有关.基于新课程实施10年来课堂教学和课后练习的观察，结合与数学教师的访谈，我们发现大家对于概念的形成阶段比较重视，包括情境创设、概念建构和形成，但是对于提供适当的练习来促进学生对概念的理解做法随意性比较强，精致性不够，影响学生对概念的理解.为此我结合自身教学实践谈三点做法供大家参考.
2“精致练习”促进学生理解数学概念的三种做法
2.1精准制导：目标与评估材料相一致
由美国人工智能专家和心理学家安德森（John R.Anderson）等人创立的ACT—R＼[思维适应性控制（adaptive control of thought）＼]理论在国际心理学界独树一帜.他们的基本观点是：复杂认知是有相对简单的知识单元组成的，而这些知识单元则是通过相对简单的原理获得的[2].在ACT—R理论中，概念理解指拥有高度可用的陈述性信息块和产生式规则的庞大网络，用于灵活解决包含概念的不同背景的问题.ACT—R理论承认概念的理解有顿悟的部分，但更多的是长期积累的结果，正是理解的“累积过程”决定理解必须要有一个“熟能生巧”的过程.与中国的“学而时习之”，“温故而知新”是一致的
“熟能生巧”必须为学生提供必要的训练，但这并不等于说练习的次数越多越好，这有一个临界值，超过这个临界值可能会“孰能生笨”.因此只有“精致的练习”（deliberate practice）才能导致真正的学习和理解.精致练习就是指有良好的动机、接受有意义的反馈及仔细的、不断的指导与反馈[3].编写精致练习（课题和课后练习）一定是从一个单元的目标进行统筹规划、详细分解（依据学生个体学习情况、概念理解阶段）.目标分解越具体，评估材料就越有针对性.在计划安排每一个练习材料时，都要问自己“这个问题到底能促进学生对问题的哪方面的理解？”并随时关注学生的反馈情况，对学生的反馈给予及时评价.
案例1几何概型（人教版必修3第三章第二单元）.本节课的总目标是：理解几何概型的概念，会用几何概型的公式求解问题，从而学会估计与判断.对于每一项子目标我都设计相关的问题来评价学生理解的程度（参照布卢姆的认知目标分类表）.
判断例3：甲乙两人相约在7：00到8：00之间会面，约定先到者等候另一人一刻钟，这时可以离去，试求两人能会面的概率.该题不容易识别出是一个二维几何概型，要想从众多的数据中找到关键数据，判断是几何概型，然后才能应用公式求解.2.2用进废退：适当提高问题的难度
适当提高问题的难度有着生理基础和心理基础，首先人的大脑有着非常的加工能力，大脑不停地进行知觉登记（每小时超过36000个视觉刺激），监控我们的生命特征（心脏、激素水平、呼吸消化），不断更新现状（匹配新的学习和已有表征[4]）.从神经生物学的角度看对于某些任务，如果人们不断进行长期训练和反复练习，大脑便会为这些任务分配额外的神经元，这就像计算机会给复杂程序分配更多的记忆内存一样.这些额外分配的神经元或多或少被永久地保留下来.例如专业键盘手或弦乐师拥有更多的运动皮层来控制手指和手部的运动.如果训练完全停止，不再被使用的神经元最终会分配给其他任务，技巧的熟练程度就会随之降低.换言之，用进废退[5].
从心理角度说学生更愿意在挑战中获得兴奋和成功感觉，因此我们的训练材料适当提高难度，有利于学生对所学问题的掌握.提高难度并不是把高三复习题直接放在高一、高二用.而是用好以下两点：第一是注意问题的多元表征；第二是把高三学生应该达到的难度进行分解前移.
表征是用某一种形式将事物和想法重新表现出来，以达到交流的目的；当其所表现的意义能切实掌握后，表征可进一步地成为思维的材料，从而简化解题过程.根据信息加工理论，表征就是以一物代替另一物.
数学概念的层级性决定数学概念表征的多层性、多样性.同一个数学概念可以用符号、语言、图形、操作等方面认知它，这是学生理解概念遇到的一个困难，其次是学生不能够熟练地在不同表征之间相互转换，在新问题情境中识别概念的表征.莱什等人（Lesh，R.1987）认为学生必须具备下列条件才算了解一个概念：（1）他必须将此概念放入到不同的表征系统中；（2）在给定的表征系统内，他必须能很有弹性的处理这个概念；（3）他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统[6].为达到这个目的，我认为对于数学概念、公式、法则，要注意在数学表现形式上的变化（变式教学一部分），让学生在经历“化生为熟”的过程中学会识别数学对象的实质.只要教师有这个意识，就会在平时教学中时时用，坚持下来你的学生的概念表征就会丰富，转换就会灵活.
比如对等比数列{an}，学生习惯于an+1an=3形式，你就故意变形以下不同形式：数列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…
又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值问题，学生比较熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把条件8y+1x=1换成8x+y-xy=0，看学生能否识别.
把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高一、高二，要求教师对高中三年数学知识、教学进程、学生水平发展非常熟悉，做好难度分解实施计划.
案例2应用导数研究函数性质的三个难点和难点在高一、高二的分解：难点所在分解教学阶段题目样例1.求单调区间时，分类讨论不全必修1：二次函数、幂函数图象
必修5：解一元二次不等式，
选修2-1：函数与导数解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求参数范围时，不会把问题进行转化必修1：二次函数、幂函数图象，
必修4：三角函数图像和性质f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，
求k的取值范围3.不能够结合函数草图研究函数变化趋势必修1，必修4，必修5涉及函数图像问题研究函数f（x）=x+sinx的性质2.3集腋成裘：建构自己的微单元网
老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路（求解路线）.因此让学生构建知识网络图（概念地图）是促进学生深刻理解知识和灵活、熟练解决问题的有效方法，概念图（concept map）最早是在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流与表达.但是概念图不是简单的知识的罗列（学生常见情况：单元目录、公式的罗列），关键是在理解的基础上建立概念间的联系，联结越深，学生理解越好.概念图不能期望学生在学完一部分知识后马上就能建立起来，这需要教师在设计教学时，埋下种子，帮助学生建构一个个“微单元网”，积少成多，集腋成裘.
案例3在学完椭圆单元.我给学生一个开放性问题：你有哪种方式得到一个椭圆？第二天你看学生得到结论：
（1）圆锥（或圆柱）的截口曲线（见人教A版教材P41，证明用Dandelin球，回归定义），
（2）椭圆的第一定义（见教材P36），
（3）由圆压缩（或拉伸）而成（见教材P39例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=πab，过椭圆上一点的切线方程等），
（4）平面内到两个定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积是λ（λ<0，且λ≠-1）的点的轨迹（见教材P39例3），
（5）椭圆的第二定义（见教材P45例6），
（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7），
（7）内切于已知圆的动圆圆心说（比如：动圆P经过点B（0，3）且与圆A：x2+（y+3）2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程[7]）.
这个问题引导学生回归教材，训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）.微单元网建成了！前面所给椭圆单元设计的研究方法、也是一个“微单元网”.
案例4均值不等式的多种形式：
除了建构“微单元网”，另一个加深学生理解的方法就是让学生在学完一章后写单元总结（或小论文）.一开始学生不会写，老师要进行指导，但一定要坚持，时间长了学生就会找到感觉.参考文献
[1][2][3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.
[4]（美）E.詹森著，梁平译.基于脑的学习：教学与训练的新科学（修订版）＼[M＼].上海：华东师范大学出版社，2007.11：12.
[5][美]Davida.sousa.认知神经科学与学习国家重点实验室脑与教育应用研究中心译：《脑与学习》＼[M＼].北京：中国轻工业出版社，2005.78.
[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.
[7]夏繁军.给高三复习材料加点“创新”成分＼[J＼].中学数学杂志，2011（3）.
作者简介夏繁军，男，山东泰安人，1968年12月生，中学高级教师，省级教学能手、骨干教师，省中学数学优质课一等奖.主要研究教学设计、解题教学、学生学习.现已发表论文50多篇，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》.
比如对等比数列{an}，学生习惯于an+1an=3形式，你就故意变形以下不同形式：数列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…
又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值问题，学生比较熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把条件8y+1x=1换成8x+y-xy=0，看学生能否识别.
把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高一、高二，要求教师对高中三年数学知识、教学进程、学生水平发展非常熟悉，做好难度分解实施计划.
案例2应用导数研究函数性质的三个难点和难点在高一、高二的分解：难点所在分解教学阶段题目样例1.求单调区间时，分类讨论不全必修1：二次函数、幂函数图象
必修5：解一元二次不等式，
选修2-1：函数与导数解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求参数范围时，不会把问题进行转化必修1：二次函数、幂函数图象，
必修4：三角函数图像和性质f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，
求k的取值范围3.不能够结合函数草图研究函数变化趋势必修1，必修4，必修5涉及函数图像问题研究函数f（x）=x+sinx的性质2.3集腋成裘：建构自己的微单元网
老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路（求解路线）.因此让学生构建知识网络图（概念地图）是促进学生深刻理解知识和灵活、熟练解决问题的有效方法，概念图（concept map）最早是在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流与表达.但是概念图不是简单的知识的罗列（学生常见情况：单元目录、公式的罗列），关键是在理解的基础上建立概念间的联系，联结越深，学生理解越好.概念图不能期望学生在学完一部分知识后马上就能建立起来，这需要教师在设计教学时，埋下种子，帮助学生建构一个个“微单元网”，积少成多，集腋成裘.
案例3在学完椭圆单元.我给学生一个开放性问题：你有哪种方式得到一个椭圆？第二天你看学生得到结论：
（1）圆锥（或圆柱）的截口曲线（见人教A版教材P41，证明用Dandelin球，回归定义），
（2）椭圆的第一定义（见教材P36），
（3）由圆压缩（或拉伸）而成（见教材P39例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=πab，过椭圆上一点的切线方程等），
（4）平面内到两个定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积是λ（λ<0，且λ≠-1）的点的轨迹（见教材P39例3），
（5）椭圆的第二定义（见教材P45例6），
（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7），
（7）内切于已知圆的动圆圆心说（比如：动圆P经过点B（0，3）且与圆A：x2+（y+3）2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程[7]）.
这个问题引导学生回归教材，训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）.微单元网建成了！前面所给椭圆单元设计的研究方法、也是一个“微单元网”.
案例4均值不等式的多种形式：
除了建构“微单元网”，另一个加深学生理解的方法就是让学生在学完一章后写单元总结（或小论文）.一开始学生不会写，老师要进行指导，但一定要坚持，时间长了学生就会找到感觉.参考文献
[1][2][3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.
[4]（美）E.詹森著，梁平译.基于脑的学习：教学与训练的新科学（修订版）＼[M＼].上海：华东师范大学出版社，2007.11：12.
[5][美]Davida.sousa.认知神经科学与学习国家重点实验室脑与教育应用研究中心译：《脑与学习》＼[M＼].北京：中国轻工业出版社，2005.78.
[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.
[7]夏繁军.给高三复习材料加点“创新”成分＼[J＼].中学数学杂志，2011（3）.
作者简介夏繁军，男，山东泰安人，1968年12月生，中学高级教师，省级教学能手、骨干教师，省中学数学优质课一等奖.主要研究教学设计、解题教学、学生学习.现已发表论文50多篇，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》.
比如对等比数列{an}，学生习惯于an+1an=3形式，你就故意变形以下不同形式：数列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…
又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值问题，学生比较熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把条件8y+1x=1换成8x+y-xy=0，看学生能否识别.
把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高一、高二，要求教师对高中三年数学知识、教学进程、学生水平发展非常熟悉，做好难度分解实施计划.
案例2应用导数研究函数性质的三个难点和难点在高一、高二的分解：难点所在分解教学阶段题目样例1.求单调区间时，分类讨论不全必修1：二次函数、幂函数图象
必修5：解一元二次不等式，
选修2-1：函数与导数解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求参数范围时，不会把问题进行转化必修1：二次函数、幂函数图象，
必修4：三角函数图像和性质f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，
求k的取值范围3.不能够结合函数草图研究函数变化趋势必修1，必修4，必修5涉及函数图像问题研究函数f（x）=x+sinx的性质2.3集腋成裘：建构自己的微单元网
老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路（求解路线）.因此让学生构建知识网络图（概念地图）是促进学生深刻理解知识和灵活、熟练解决问题的有效方法，概念图（concept map）最早是在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流与表达.但是概念图不是简单的知识的罗列（学生常见情况：单元目录、公式的罗列），关键是在理解的基础上建立概念间的联系，联结越深，学生理解越好.概念图不能期望学生在学完一部分知识后马上就能建立起来，这需要教师在设计教学时，埋下种子，帮助学生建构一个个“微单元网”，积少成多，集腋成裘.
案例3在学完椭圆单元.我给学生一个开放性问题：你有哪种方式得到一个椭圆？第二天你看学生得到结论：
（1）圆锥（或圆柱）的截口曲线（见人教A版教材P41，证明用Dandelin球，回归定义），
（2）椭圆的第一定义（见教材P36），
（3）由圆压缩（或拉伸）而成（见教材P39例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=πab，过椭圆上一点的切线方程等），
（4）平面内到两个定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积是λ（λ<0，且λ≠-1）的点的轨迹（见教材P39例3），
（5）椭圆的第二定义（见教材P45例6），
（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7），
（7）内切于已知圆的动圆圆心说（比如：动圆P经过点B（0，3）且与圆A：x2+（y+3）2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程[7]）.
这个问题引导学生回归教材，训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）.微单元网建成了！前面所给椭圆单元设计的研究方法、也是一个“微单元网”.
案例4均值不等式的多种形式：
除了建构“微单元网”，另一个加深学生理解的方法就是让学生在学完一章后写单元总结（或小论文）.一开始学生不会写，老师要进行指导，但一定要坚持，时间长了学生就会找到感觉.参考文献
[1][2][3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.
[4]（美）E.詹森著，梁平译.基于脑的学习：教学与训练的新科学（修订版）＼[M＼].上海：华东师范大学出版社，2007.11：12.
[5][美]Davida.sousa.认知神经科学与学习国家重点实验室脑与教育应用研究中心译：《脑与学习》＼[M＼].北京：中国轻工业出版社，2005.78.
[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.
[7]夏繁军.给高三复习材料加点“创新”成分＼[J＼].中学数学杂志，2011（3）.
作者简介夏繁军，男，山东泰安人，1968年12月生，中学高级教师，省级教学能手、骨干教师，省中学数学优质课一等奖.主要研究教学设计、解题教学、学生学习.现已发表论文50多篇，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》.
“促进学生的理解，为理解而教”成为现代教与学研究的核心.由于数学基本上都是概念组成的，因此在数学学习中“理解”主要是指“概念理解”.“概念理解”的具体说法不一，比如斯根普认为，“对某个事物的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中.”（Skemp，1976）具体说，理解是在感知的基础上，通过思维加工，把新学的内容同化到已有的认知结构中，或者改组扩大原有的认知结构，把新学习的内容概括进去逐步达到认识事物的本质和规律的一种思维活动[1].
我认为“概念理解”是学生对所学概念不断加深认识、逐步完善、永无止境的累积过程.学生从学习一个新概念起，就开始进入概念的理解，从观察某一类事物的各种属性，分化出他们的共同属性，再概括、抽象出本质属性，形成概念，用符号表示概念，这是理解的初级阶段，通常称概念的形成.然后应用概念分析、解决与概念有直接或间接关系的问题，进入概念的应用阶段，这是概念的理解的第二个阶段，这个阶段从课堂一直延伸到课后.学生在应用中逐步加深对于所学概念的理解.所以理解就是一个动态的、分水平的、反反复复的、永无止境的建构过程.概念理解的层级性，与概念发展的抽象性、概念表征的多元性、学生个体心理发展水平、学习的次序性都有关.基于新课程实施10年来课堂教学和课后练习的观察，结合与数学教师的访谈，我们发现大家对于概念的形成阶段比较重视，包括情境创设、概念建构和形成，但是对于提供适当的练习来促进学生对概念的理解做法随意性比较强，精致性不够，影响学生对概念的理解.为此我结合自身教学实践谈三点做法供大家参考.
2“精致练习”促进学生理解数学概念的三种做法
2.1精准制导：目标与评估材料相一致
由美国人工智能专家和心理学家安德森（John R.Anderson）等人创立的ACT—R＼[思维适应性控制（adaptive control of thought）＼]理论在国际心理学界独树一帜.他们的基本观点是：复杂认知是有相对简单的知识单元组成的，而这些知识单元则是通过相对简单的原理获得的[2].在ACT—R理论中，概念理解指拥有高度可用的陈述性信息块和产生式规则的庞大网络，用于灵活解决包含概念的不同背景的问题.ACT—R理论承认概念的理解有顿悟的部分，但更多的是长期积累的结果，正是理解的“累积过程”决定理解必须要有一个“熟能生巧”的过程.与中国的“学而时习之”，“温故而知新”是一致的
“熟能生巧”必须为学生提供必要的训练，但这并不等于说练习的次数越多越好，这有一个临界值，超过这个临界值可能会“孰能生笨”.因此只有“精致的练习”（deliberate practice）才能导致真正的学习和理解.精致练习就是指有良好的动机、接受有意义的反馈及仔细的、不断的指导与反馈[3].编写精致练习（课题和课后练习）一定是从一个单元的目标进行统筹规划、详细分解（依据学生个体学习情况、概念理解阶段）.目标分解越具体，评估材料就越有针对性.在计划安排每一个练习材料时，都要问自己“这个问题到底能促进学生对问题的哪方面的理解？”并随时关注学生的反馈情况，对学生的反馈给予及时评价.
案例1几何概型（人教版必修3第三章第二单元）.本节课的总目标是：理解几何概型的概念，会用几何概型的公式求解问题，从而学会估计与判断.对于每一项子目标我都设计相关的问题来评价学生理解的程度（参照布卢姆的认知目标分类表）.
判断例3：甲乙两人相约在7：00到8：00之间会面，约定先到者等候另一人一刻钟，这时可以离去，试求两人能会面的概率.该题不容易识别出是一个二维几何概型，要想从众多的数据中找到关键数据，判断是几何概型，然后才能应用公式求解.2.2用进废退：适当提高问题的难度
适当提高问题的难度有着生理基础和心理基础，首先人的大脑有着非常的加工能力，大脑不停地进行知觉登记（每小时超过36000个视觉刺激），监控我们的生命特征（心脏、激素水平、呼吸消化），不断更新现状（匹配新的学习和已有表征[4]）.从神经生物学的角度看对于某些任务，如果人们不断进行长期训练和反复练习，大脑便会为这些任务分配额外的神经元，这就像计算机会给复杂程序分配更多的记忆内存一样.这些额外分配的神经元或多或少被永久地保留下来.例如专业键盘手或弦乐师拥有更多的运动皮层来控制手指和手部的运动.如果训练完全停止，不再被使用的神经元最终会分配给其他任务，技巧的熟练程度就会随之降低.换言之，用进废退[5].
从心理角度说学生更愿意在挑战中获得兴奋和成功感觉，因此我们的训练材料适当提高难度，有利于学生对所学问题的掌握.提高难度并不是把高三复习题直接放在高一、高二用.而是用好以下两点：第一是注意问题的多元表征；第二是把高三学生应该达到的难度进行分解前移.
表征是用某一种形式将事物和想法重新表现出来，以达到交流的目的；当其所表现的意义能切实掌握后，表征可进一步地成为思维的材料，从而简化解题过程.根据信息加工理论，表征就是以一物代替另一物.
数学概念的层级性决定数学概念表征的多层性、多样性.同一个数学概念可以用符号、语言、图形、操作等方面认知它，这是学生理解概念遇到的一个困难，其次是学生不能够熟练地在不同表征之间相互转换，在新问题情境中识别概念的表征.莱什等人（Lesh，R.1987）认为学生必须具备下列条件才算了解一个概念：（1）他必须将此概念放入到不同的表征系统中；（2）在给定的表征系统内，他必须能很有弹性的处理这个概念；（3）他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统[6].为达到这个目的，我认为对于数学概念、公式、法则，要注意在数学表现形式上的变化（变式教学一部分），让学生在经历“化生为熟”的过程中学会识别数学对象的实质.只要教师有这个意识，就会在平时教学中时时用，坚持下来你的学生的概念表征就会丰富，转换就会灵活.
比如对等比数列{an}，学生习惯于an+1an=3形式，你就故意变形以下不同形式：数列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…
又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值问题，学生比较熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把条件8y+1x=1换成8x+y-xy=0，看学生能否识别.
把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高一、高二，要求教师对高中三年数学知识、教学进程、学生水平发展非常熟悉，做好难度分解实施计划.
案例2应用导数研究函数性质的三个难点和难点在高一、高二的分解：难点所在分解教学阶段题目样例1.求单调区间时，分类讨论不全必修1：二次函数、幂函数图象
必修5：解一元二次不等式，
选修2-1：函数与导数解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求参数范围时，不会把问题进行转化必修1：二次函数、幂函数图象，
必修4：三角函数图像和性质f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，
求k的取值范围3.不能够结合函数草图研究函数变化趋势必修1，必修4，必修5涉及函数图像问题研究函数f（x）=x+sinx的性质2.3集腋成裘：建构自己的微单元网
老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路（求解路线）.因此让学生构建知识网络图（概念地图）是促进学生深刻理解知识和灵活、熟练解决问题的有效方法，概念图（concept map）最早是在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流与表达.但是概念图不是简单的知识的罗列（学生常见情况：单元目录、公式的罗列），关键是在理解的基础上建立概念间的联系，联结越深，学生理解越好.概念图不能期望学生在学完一部分知识后马上就能建立起来，这需要教师在设计教学时，埋下种子，帮助学生建构一个个“微单元网”，积少成多，集腋成裘.
案例3在学完椭圆单元.我给学生一个开放性问题：你有哪种方式得到一个椭圆？第二天你看学生得到结论：
（1）圆锥（或圆柱）的截口曲线（见人教A版教材P41，证明用Dandelin球，回归定义），
（2）椭圆的第一定义（见教材P36），
（3）由圆压缩（或拉伸）而成（见教材P39例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=πab，过椭圆上一点的切线方程等），
（4）平面内到两个定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积是λ（λ<0，且λ≠-1）的点的轨迹（见教材P39例3），
（5）椭圆的第二定义（见教材P45例6），
（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7），
（7）内切于已知圆的动圆圆心说（比如：动圆P经过点B（0，3）且与圆A：x2+（y+3）2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程[7]）.
这个问题引导学生回归教材，训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）.微单元网建成了！前面所给椭圆单元设计的研究方法、也是一个“微单元网”.
案例4均值不等式的多种形式：
除了建构“微单元网”，另一个加深学生理解的方法就是让学生在学完一章后写单元总结（或小论文）.一开始学生不会写，老师要进行指导，但一定要坚持，时间长了学生就会找到感觉.参考文献
[1][2][3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.
[4]（美）E.詹森著，梁平译.基于脑的学习：教学与训练的新科学（修订版）＼[M＼].上海：华东师范大学出版社，2007.11：12.
[5][美]Davida.sousa.认知神经科学与学习国家重点实验室脑与教育应用研究中心译：《脑与学习》＼[M＼].北京：中国轻工业出版社，2005.78.
[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.
[7]夏繁军.给高三复习材料加点“创新”成分＼[J＼].中学数学杂志，2011（3）.
作者简介夏繁军，男，山东泰安人，1968年12月生，中学高级教师，省级教学能手、骨干教师，省中学数学优质课一等奖.主要研究教学设计、解题教学、学生学习.现已发表论文50多篇，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》.
比如对等比数列{an}，学生习惯于an+1an=3形式，你就故意变形以下不同形式：数列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…
又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值问题，学生比较熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把条件8y+1x=1换成8x+y-xy=0，看学生能否识别.
把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高一、高二，要求教师对高中三年数学知识、教学进程、学生水平发展非常熟悉，做好难度分解实施计划.
案例2应用导数研究函数性质的三个难点和难点在高一、高二的分解：难点所在分解教学阶段题目样例1.求单调区间时，分类讨论不全必修1：二次函数、幂函数图象
必修5：解一元二次不等式，
选修2-1：函数与导数解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求参数范围时，不会把问题进行转化必修1：二次函数、幂函数图象，
必修4：三角函数图像和性质f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，
求k的取值范围3.不能够结合函数草图研究函数变化趋势必修1，必修4，必修5涉及函数图像问题研究函数f（x）=x+sinx的性质2.3集腋成裘：建构自己的微单元网
老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路（求解路线）.因此让学生构建知识网络图（概念地图）是促进学生深刻理解知识和灵活、熟练解决问题的有效方法，概念图（concept map）最早是在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流与表达.但是概念图不是简单的知识的罗列（学生常见情况：单元目录、公式的罗列），关键是在理解的基础上建立概念间的联系，联结越深，学生理解越好.概念图不能期望学生在学完一部分知识后马上就能建立起来，这需要教师在设计教学时，埋下种子，帮助学生建构一个个“微单元网”，积少成多，集腋成裘.
案例3在学完椭圆单元.我给学生一个开放性问题：你有哪种方式得到一个椭圆？第二天你看学生得到结论：
（1）圆锥（或圆柱）的截口曲线（见人教A版教材P41，证明用Dandelin球，回归定义），
（2）椭圆的第一定义（见教材P36），
（3）由圆压缩（或拉伸）而成（见教材P39例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=πab，过椭圆上一点的切线方程等），
（4）平面内到两个定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积是λ（λ<0，且λ≠-1）的点的轨迹（见教材P39例3），
（5）椭圆的第二定义（见教材P45例6），
（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7），
（7）内切于已知圆的动圆圆心说（比如：动圆P经过点B（0，3）且与圆A：x2+（y+3）2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程[7]）.
这个问题引导学生回归教材，训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）.微单元网建成了！前面所给椭圆单元设计的研究方法、也是一个“微单元网”.
案例4均值不等式的多种形式：
除了建构“微单元网”，另一个加深学生理解的方法就是让学生在学完一章后写单元总结（或小论文）.一开始学生不会写，老师要进行指导，但一定要坚持，时间长了学生就会找到感觉.参考文献
[1][2][3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.
[4]（美）E.詹森著，梁平译.基于脑的学习：教学与训练的新科学（修订版）＼[M＼].上海：华东师范大学出版社，2007.11：12.
[5][美]Davida.sousa.认知神经科学与学习国家重点实验室脑与教育应用研究中心译：《脑与学习》＼[M＼].北京：中国轻工业出版社，2005.78.
[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.
[7]夏繁军.给高三复习材料加点“创新”成分＼[J＼].中学数学杂志，2011（3）.
作者简介夏繁军，男，山东泰安人，1968年12月生，中学高级教师，省级教学能手、骨干教师，省中学数学优质课一等奖.主要研究教学设计、解题教学、学生学习.现已发表论文50多篇，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》.
比如对等比数列{an}，学生习惯于an+1an=3形式，你就故意变形以下不同形式：数列①3an=an-1（n≥2）；②3an+an-1=0（n≥2）；③a2n=an-1·an+1（n≥2）…
又例如已知x，y∈R+，8y+1x=1，求x+y的最小值问题，学生比较熟悉解法：x+y=（x+y）（8y+1x）=…），我把条件8y+1x=1换成8x+y-xy=0，看学生能否识别.
把学生在高三应达到的难度合理分解前移到高一、高二，要求教师对高中三年数学知识、教学进程、学生水平发展非常熟悉，做好难度分解实施计划.
案例2应用导数研究函数性质的三个难点和难点在高一、高二的分解：难点所在分解教学阶段题目样例1.求单调区间时，分类讨论不全必修1：二次函数、幂函数图象
必修5：解一元二次不等式，
选修2-1：函数与导数解不等式：x2-（2a+1）x+a（a+1）≥0.2.在求参数范围时，不会把问题进行转化必修1：二次函数、幂函数图象，
必修4：三角函数图像和性质f（x）=sinx+3cosx=k在[-π2，π2]上有解，
求k的取值范围3.不能够结合函数草图研究函数变化趋势必修1，必修4，必修5涉及函数图像问题研究函数f（x）=x+sinx的性质2.3集腋成裘：建构自己的微单元网
老师和学生在解决问题上比较大的差距是老师脑子里有明确的知识结构图和解决问题的思路（求解路线）.因此让学生构建知识网络图（概念地图）是促进学生深刻理解知识和灵活、熟练解决问题的有效方法，概念图（concept map）最早是在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D.Novak）教授等人提出的.是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流与表达.但是概念图不是简单的知识的罗列（学生常见情况：单元目录、公式的罗列），关键是在理解的基础上建立概念间的联系，联结越深，学生理解越好.概念图不能期望学生在学完一部分知识后马上就能建立起来，这需要教师在设计教学时，埋下种子，帮助学生建构一个个“微单元网”，积少成多，集腋成裘.
案例3在学完椭圆单元.我给学生一个开放性问题：你有哪种方式得到一个椭圆？第二天你看学生得到结论：
（1）圆锥（或圆柱）的截口曲线（见人教A版教材P41，证明用Dandelin球，回归定义），
（2）椭圆的第一定义（见教材P36），
（3）由圆压缩（或拉伸）而成（见教材P39例2，由此可推得很多结论，比如椭圆的面积S=πab，过椭圆上一点的切线方程等），
（4）平面内到两个定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积是λ（λ<0，且λ≠-1）的点的轨迹（见教材P39例3），
（5）椭圆的第二定义（见教材P45例6），
（6）圆内中垂线说（见教材P47A组练习7），
（7）内切于已知圆的动圆圆心说（比如：动圆P经过点B（0，3）且与圆A：x2+（y+3）2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程[7]）.
这个问题引导学生回归教材，训练了求轨迹方程的方法（直接法、定义法，待定系数法、相关点法）.微单元网建成了！前面所给椭圆单元设计的研究方法、也是一个“微单元网”.
案例4均值不等式的多种形式：
除了建构“微单元网”，另一个加深学生理解的方法就是让学生在学完一章后写单元总结（或小论文）.一开始学生不会写，老师要进行指导，但一定要坚持，时间长了学生就会找到感觉.参考文献
[1][2][3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程＼[M＼].上海：上海教育出版社，2009.10：80，90，129～131.
[4]（美）E.詹森著，梁平译.基于脑的学习：教学与训练的新科学（修订版）＼[M＼].上海：华东师范大学出版社，2007.11：12.
[5][美]Davida.sousa.认知神经科学与学习国家重点实验室脑与教育应用研究中心译：《脑与学习》＼[M＼].北京：中国轻工业出版社，2005.78.
[6]Lesh，R.&Post，T.&Behr，M.Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.InJanvier，C.（ed.）Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics＼[M＼].Lawrence Eelbaum Associates，1987.
[7]夏繁军.给高三复习材料加点“创新”成分＼[J＼].中学数学杂志，2011（3）.
作者简介夏繁军，男，山东泰安人，1968年12月生，中学高级教师，省级教学能手、骨干教师，省中学数学优质课一等奖.主要研究教学设计、解题教学、学生学习.现已发表论文50多篇，主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》.
