函数应用题的复习设计与教后反思
随着课程改革的不断深入，培养学生的应用意识和创新能力，越来越受到人们的关注，尤其是高考“指挥棒”的正确导向，促使广大教师对数学应用题教学的研究趋于常态.以江苏高考为例，坚持每年出应用的解答题，已成为其传统和特色，但要命制出一道优质的应用题绝非易事，其中保证应用背景的公平、公正、合理且富有时代气息，同时建模要求适当、难度适中是命题者考虑的主要因素.
2013年江苏高考的第18题是以登山中乘索道与步行的关系为背景，第（1）问是利用正弦定理解三角形的常见题型，教材上配置了很多这样的例习题，第（2）问是苏教版高中教材必修5习题13中的第8题变形而得，主要是把余弦定理与二次函数的最值结合起来考查，第（3）问是初中行程问题的变式，主要考查学生的建模能力，该问对学生灵活应用所学知识分析和解决问题提出了一定的能力要求.题目取自于教材又略高于教材，三个设问清新自然，新颖程度逐渐增强，能力要求逐级提高，得到广大师生的认同.
可见，应用题的复习必须加强课程规划和设计，首先要找到良好的应用题素材，该题的命制方法值得借鉴，即挖掘教材的内隐性素材，并加以嫁接、改造和拓展；其次在策略上既要强调平时教学的渗透，又要通过专题复习得以强化，同时教学要求要循序渐进，逐步提高学生阅读理解和分析问题的能力，增强解题的自信心.
基于上述思考，笔者设计了这节函数应用题的复习课，供同行研讨.
1教材函数应用题的梳理分析
函数是高中数学的重点内容，函数应用题自然在教材上扮演着重要的角色，因此，函数应用题成为近几年高考的常客就不难理解了.以苏教版为例，必修1第3章第4节专门设计了“函数的应用”，主要介绍了一些经济学中的常见概念，如成本、收入和利润等，也涉及到一些物理模型的应用；必修4第1章第3节设计了三角函数的应用，主要涉及摩天轮旋转、港口水深的变化、物理中的简谐运动等问题；必修5的第1章第3节有解三角形的应用，主要涉及测量、追击和物理中矢量的分解与合成等问题；必修5的第3章第4节主要涉及利用基本不等式解决函数应用题；选修2-2第1章第4节是“导数在实际生活中的应用”.可见，随着教材的不断延伸，函数应用题始终围绕“设自变量、列解析式、写定义域、求最值”的思路不变，只是求最值的要求不同.因此，函数应用题的起始复习课，应设计难易程度不同的问题让学生探索，从而给不同层次的学生提供学习机会，以提高教学的针对性和有效性.
2教学设计的过程和意图分析
2.1创设问题情境，引动学生参与
问题1如右图，某人驾驶摩托车在某一高处作飞越训练，人车行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是：y=-112x2+43x+203.则摩托车飞越的最远距离为m.
学生求解：令y=0，即-112x2+43x+203=0，
化简得x2-16x-80=0，
x1=20，x2=-4（舍去），
故摩托车飞越的最远距离为20m.
设计意图上课伊始，为了能让学生的注意力较快地集中到课的内容上来，设计一个与学生兴趣相符的问题作为引入，能拉近师生的心理距离.该问题的背景是弹道曲线，数学含义是函数零点，学生只需用好题中所给的模型即可获解，属于数学应用最基本的要求.本题与2012年江苏高考题第17题类似，由于难度适中，因而能很好地调动学生参与的热情.
问题2同学们站在什么位置看黑板上方的国旗最清楚？
设计意图能让学生身临其境，亲自体验数学建模的过程.这里，看得最清楚的数学含义就是视角最大，但由于这是个“原生态”的实际问题，因此要把它转化为一个数学问题，需要学生从定性到定量、猜测到验证、设计到测量、计算到解释，几乎经历数学探究的全过程，从而提高学生的综合素养和探索能力.
从课上的效果来看，学生反应积极热烈.大家的观点一致从站在正对国旗，到进一步认为站在大概第三张座位的位置，作出了大胆的猜测和判断.如何从数学的眼光考查这个问题呢？学生从画图设计开始，把国旗上沿、下沿及观察者抽象到一个截面中，并分别记作A、B、C，测量它们离地的高度，这样就归结为△ABC中，过C作CD⊥AB，D为垂足，CD为多少时，∠ACB最大？为了简化书写，分别把AD、BD的长记为a、b，设CD=x，这样便把这个实际问题转换为一个数学问题了.
在解决的过程中，有的学生用余弦定理或向量的夹角公式得出cos∠ACB=x2+aba2+x2b2+x2，但在求最值时遇到了极大的麻烦；有的同学从正切两角差的公式得出tan∠ACB=（a-b）xx2+ab，利用基本不等式或求导的方法，很快求得当x=ab时，∠ACB最大.
提问1：能否从几何的观点对求出的答案作出合理的解释？
学生根据CD2=DA·DB得出CD与△ABC的外接圆相切时视角最大，由于是从数和形两个不同的维度得出相同的结论，因而学生反应热烈，掀起了第一次教学高潮.
提问2：大家在教材上见过这一几何图形吗？
或许是遗忘的原因，开始学生没有反应，于是引导学生打开教材，在必修5基本不等式应用的习题34第11题：有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m.若从离地高15m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？只是教材上已把数据测量好了.此时，由于学生有一种“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”之感，因而欣喜之余，再次把教学推向了高潮.
评注源于教材又高于教材是高考命题的基本策略，也是复习教学选题的重要原则.通过这样的经历，可以让学生真实地体验数学应用的价值，此外，通过不同解题方法的选择、比较和评价，可以优化学生的思维品质，提升学生的综合素养.
2.2归纳总结提炼，体悟建模本质
设计：通过上述两个问题的研究，你能否归纳总结求解应用问题的主要流程吗？
设计意图让学生从具体问题出发加以归纳总结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发展.从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质.一类学生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学问题、进行数学解决、回归实际问题.教师的作用主要体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题转化为数学问题去解决.
2.3独立解决问题，感悟方法运用
问题3某公司生产一种产品每年投入成本05万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得的收入约为5t-12t2（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应生产多少？
设计意图成本、收入和利润的概念，在必修1教材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽视了x>5时，利润y=5×5-125-05-025x，从而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的能力较为欠缺.应该说本题植根于教材，又有所发展，体现了良好的教学导向.
问题4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利息为48%，若存款利率小于贷款利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率为多少时，银行可获得最大效益？
设计意图利率的概念学生较为熟悉，但对银行的基本盈利模式——利息差，许多学生却不太清楚.设存款利率为x，则存款量为kx2，故银行获得的利润y为贷款的总利息减去存款的总利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求导法即可获解.
2.4彼此交流收获，共享经验成长
设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获？
设计意图利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题，扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为照应，构成了相对完整的总结.
设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原题，注明出处，以考查改编的程度.
设计意图让学生尝试每人自编一道应用题，主要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程，从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者与命题者“心理换位”的作用.
评注美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教学艺术就是让学生自己提出问题”.从这次自编应用题的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水.
3应用题教学后的反思和感悟
建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不是被动接受的.如果没有主体的主动建构，知识是不可能由别人传递给主体并被主体所内化的.因此，知识的意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先前知识经验主动建构.传统的应用题教学都是先讲解应用题的要求和步骤，再列举若干常见的题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习.这样训练似乎也挺扎实，但由于学生的思维框在限定的区域内，因而一旦遇上难以对上套路的新问题，便显得束手无策.本堂课的设计，把数学建模和应用解释、提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学有序和谐地展开.在教学过程中，学生的问题意识被唤醒，探索意念被唤起，建模思路被激活，讨论兴趣被激发，仿佛经历了一场心智的历练.
笔者期望通过应用题的教学，逐步让学生领会数学建模的思想.阅读是求解应用题的基础，要从粗读阶段通过图表、设元等途径，分析、检索、加工、储存和浓缩信息，逐步过渡到精读阶段，建立起合适的数学模型.当然应用问题常涉及字母运算或较大数字的计算，因此运算的合理性、层次性和逻辑性要求较高，教师要适时点拨和引导，通过反思和总结积累经验.教学和测试中要适度控制数学建模的要求，提高学生的积极性和自信心.
让学生课后尝试自编题目，的确对学生的综合素养提出了很高的要求，但每学期坚持让学生亲身体验一次，可以激发学生研究和创作的意识，培养学生的实践和创新能力，这对学生是终身受益的，当然教师必须有计划、有目的、有选择的加以组织，力求做到引导在先，要求适度，激励为主，成果共享.
作者简介华志远，1964年10月生，曾获第九届苏步青数学教育奖，江苏省人民教育家培养对象，中学正高级教师，特级教师.主要研究中学数学课程、教材、教法和评价.发表论文100余篇.
设计意图让学生从具体问题出发加以归纳总结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发展.从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质.一类学生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学问题、进行数学解决、回归实际问题.教师的作用主要体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题转化为数学问题去解决.
2.3独立解决问题，感悟方法运用
问题3某公司生产一种产品每年投入成本05万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得的收入约为5t-12t2（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应生产多少？
设计意图成本、收入和利润的概念，在必修1教材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽视了x>5时，利润y=5×5-125-05-025x，从而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的能力较为欠缺.应该说本题植根于教材，又有所发展，体现了良好的教学导向.
问题4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利息为48%，若存款利率小于贷款利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率为多少时，银行可获得最大效益？
设计意图利率的概念学生较为熟悉，但对银行的基本盈利模式——利息差，许多学生却不太清楚.设存款利率为x，则存款量为kx2，故银行获得的利润y为贷款的总利息减去存款的总利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求导法即可获解.
2.4彼此交流收获，共享经验成长
设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获？
设计意图利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题，扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为照应，构成了相对完整的总结.
设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原题，注明出处，以考查改编的程度.
设计意图让学生尝试每人自编一道应用题，主要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程，从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者与命题者“心理换位”的作用.
评注美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教学艺术就是让学生自己提出问题”.从这次自编应用题的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水.
3应用题教学后的反思和感悟
建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不是被动接受的.如果没有主体的主动建构，知识是不可能由别人传递给主体并被主体所内化的.因此，知识的意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先前知识经验主动建构.传统的应用题教学都是先讲解应用题的要求和步骤，再列举若干常见的题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习.这样训练似乎也挺扎实，但由于学生的思维框在限定的区域内，因而一旦遇上难以对上套路的新问题，便显得束手无策.本堂课的设计，把数学建模和应用解释、提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学有序和谐地展开.在教学过程中，学生的问题意识被唤醒，探索意念被唤起，建模思路被激活，讨论兴趣被激发，仿佛经历了一场心智的历练.
笔者期望通过应用题的教学，逐步让学生领会数学建模的思想.阅读是求解应用题的基础，要从粗读阶段通过图表、设元等途径，分析、检索、加工、储存和浓缩信息，逐步过渡到精读阶段，建立起合适的数学模型.当然应用问题常涉及字母运算或较大数字的计算，因此运算的合理性、层次性和逻辑性要求较高，教师要适时点拨和引导，通过反思和总结积累经验.教学和测试中要适度控制数学建模的要求，提高学生的积极性和自信心.
让学生课后尝试自编题目，的确对学生的综合素养提出了很高的要求，但每学期坚持让学生亲身体验一次，可以激发学生研究和创作的意识，培养学生的实践和创新能力，这对学生是终身受益的，当然教师必须有计划、有目的、有选择的加以组织，力求做到引导在先，要求适度，激励为主，成果共享.
作者简介华志远，1964年10月生，曾获第九届苏步青数学教育奖，江苏省人民教育家培养对象，中学正高级教师，特级教师.主要研究中学数学课程、教材、教法和评价.发表论文100余篇.
设计意图让学生从具体问题出发加以归纳总结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发展.从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质.一类学生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学问题、进行数学解决、回归实际问题.教师的作用主要体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题转化为数学问题去解决.
2.3独立解决问题，感悟方法运用
问题3某公司生产一种产品每年投入成本05万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得的收入约为5t-12t2（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应生产多少？
设计意图成本、收入和利润的概念，在必修1教材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽视了x>5时，利润y=5×5-125-05-025x，从而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的能力较为欠缺.应该说本题植根于教材，又有所发展，体现了良好的教学导向.
问题4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利息为48%，若存款利率小于贷款利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率为多少时，银行可获得最大效益？
设计意图利率的概念学生较为熟悉，但对银行的基本盈利模式——利息差，许多学生却不太清楚.设存款利率为x，则存款量为kx2，故银行获得的利润y为贷款的总利息减去存款的总利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求导法即可获解.
2.4彼此交流收获，共享经验成长
设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获？
设计意图利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题，扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为照应，构成了相对完整的总结.
设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原题，注明出处，以考查改编的程度.
设计意图让学生尝试每人自编一道应用题，主要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程，从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者与命题者“心理换位”的作用.
评注美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教学艺术就是让学生自己提出问题”.从这次自编应用题的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水.
3应用题教学后的反思和感悟
建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不是被动接受的.如果没有主体的主动建构，知识是不可能由别人传递给主体并被主体所内化的.因此，知识的意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先前知识经验主动建构.传统的应用题教学都是先讲解应用题的要求和步骤，再列举若干常见的题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习.这样训练似乎也挺扎实，但由于学生的思维框在限定的区域内，因而一旦遇上难以对上套路的新问题，便显得束手无策.本堂课的设计，把数学建模和应用解释、提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学有序和谐地展开.在教学过程中，学生的问题意识被唤醒，探索意念被唤起，建模思路被激活，讨论兴趣被激发，仿佛经历了一场心智的历练.
笔者期望通过应用题的教学，逐步让学生领会数学建模的思想.阅读是求解应用题的基础，要从粗读阶段通过图表、设元等途径，分析、检索、加工、储存和浓缩信息，逐步过渡到精读阶段，建立起合适的数学模型.当然应用问题常涉及字母运算或较大数字的计算，因此运算的合理性、层次性和逻辑性要求较高，教师要适时点拨和引导，通过反思和总结积累经验.教学和测试中要适度控制数学建模的要求，提高学生的积极性和自信心.
让学生课后尝试自编题目，的确对学生的综合素养提出了很高的要求，但每学期坚持让学生亲身体验一次，可以激发学生研究和创作的意识，培养学生的实践和创新能力，这对学生是终身受益的，当然教师必须有计划、有目的、有选择的加以组织，力求做到引导在先，要求适度，激励为主，成果共享.
作者简介华志远，1964年10月生，曾获第九届苏步青数学教育奖，江苏省人民教育家培养对象，中学正高级教师，特级教师.主要研究中学数学课程、教材、教法和评价.发表论文100余篇.
2013年江苏高考的第18题是以登山中乘索道与步行的关系为背景，第（1）问是利用正弦定理解三角形的常见题型，教材上配置了很多这样的例习题，第（2）问是苏教版高中教材必修5习题13中的第8题变形而得，主要是把余弦定理与二次函数的最值结合起来考查，第（3）问是初中行程问题的变式，主要考查学生的建模能力，该问对学生灵活应用所学知识分析和解决问题提出了一定的能力要求.题目取自于教材又略高于教材，三个设问清新自然，新颖程度逐渐增强，能力要求逐级提高，得到广大师生的认同.
可见，应用题的复习必须加强课程规划和设计，首先要找到良好的应用题素材，该题的命制方法值得借鉴，即挖掘教材的内隐性素材，并加以嫁接、改造和拓展；其次在策略上既要强调平时教学的渗透，又要通过专题复习得以强化，同时教学要求要循序渐进，逐步提高学生阅读理解和分析问题的能力，增强解题的自信心.
基于上述思考，笔者设计了这节函数应用题的复习课，供同行研讨.
1教材函数应用题的梳理分析
函数是高中数学的重点内容，函数应用题自然在教材上扮演着重要的角色，因此，函数应用题成为近几年高考的常客就不难理解了.以苏教版为例，必修1第3章第4节专门设计了“函数的应用”，主要介绍了一些经济学中的常见概念，如成本、收入和利润等，也涉及到一些物理模型的应用；必修4第1章第3节设计了三角函数的应用，主要涉及摩天轮旋转、港口水深的变化、物理中的简谐运动等问题；必修5的第1章第3节有解三角形的应用，主要涉及测量、追击和物理中矢量的分解与合成等问题；必修5的第3章第4节主要涉及利用基本不等式解决函数应用题；选修2-2第1章第4节是“导数在实际生活中的应用”.可见，随着教材的不断延伸，函数应用题始终围绕“设自变量、列解析式、写定义域、求最值”的思路不变，只是求最值的要求不同.因此，函数应用题的起始复习课，应设计难易程度不同的问题让学生探索，从而给不同层次的学生提供学习机会，以提高教学的针对性和有效性.
2教学设计的过程和意图分析
2.1创设问题情境，引动学生参与
问题1如右图，某人驾驶摩托车在某一高处作飞越训练，人车行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是：y=-112x2+43x+203.则摩托车飞越的最远距离为m.
学生求解：令y=0，即-112x2+43x+203=0，
化简得x2-16x-80=0，
x1=20，x2=-4（舍去），
故摩托车飞越的最远距离为20m.
设计意图上课伊始，为了能让学生的注意力较快地集中到课的内容上来，设计一个与学生兴趣相符的问题作为引入，能拉近师生的心理距离.该问题的背景是弹道曲线，数学含义是函数零点，学生只需用好题中所给的模型即可获解，属于数学应用最基本的要求.本题与2012年江苏高考题第17题类似，由于难度适中，因而能很好地调动学生参与的热情.
问题2同学们站在什么位置看黑板上方的国旗最清楚？
设计意图能让学生身临其境，亲自体验数学建模的过程.这里，看得最清楚的数学含义就是视角最大，但由于这是个“原生态”的实际问题，因此要把它转化为一个数学问题，需要学生从定性到定量、猜测到验证、设计到测量、计算到解释，几乎经历数学探究的全过程，从而提高学生的综合素养和探索能力.
从课上的效果来看，学生反应积极热烈.大家的观点一致从站在正对国旗，到进一步认为站在大概第三张座位的位置，作出了大胆的猜测和判断.如何从数学的眼光考查这个问题呢？学生从画图设计开始，把国旗上沿、下沿及观察者抽象到一个截面中，并分别记作A、B、C，测量它们离地的高度，这样就归结为△ABC中，过C作CD⊥AB，D为垂足，CD为多少时，∠ACB最大？为了简化书写，分别把AD、BD的长记为a、b，设CD=x，这样便把这个实际问题转换为一个数学问题了.
在解决的过程中，有的学生用余弦定理或向量的夹角公式得出cos∠ACB=x2+aba2+x2b2+x2，但在求最值时遇到了极大的麻烦；有的同学从正切两角差的公式得出tan∠ACB=（a-b）xx2+ab，利用基本不等式或求导的方法，很快求得当x=ab时，∠ACB最大.
提问1：能否从几何的观点对求出的答案作出合理的解释？
学生根据CD2=DA·DB得出CD与△ABC的外接圆相切时视角最大，由于是从数和形两个不同的维度得出相同的结论，因而学生反应热烈，掀起了第一次教学高潮.
提问2：大家在教材上见过这一几何图形吗？
或许是遗忘的原因，开始学生没有反应，于是引导学生打开教材，在必修5基本不等式应用的习题34第11题：有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m.若从离地高15m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？只是教材上已把数据测量好了.此时，由于学生有一种“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”之感，因而欣喜之余，再次把教学推向了高潮.
评注源于教材又高于教材是高考命题的基本策略，也是复习教学选题的重要原则.通过这样的经历，可以让学生真实地体验数学应用的价值，此外，通过不同解题方法的选择、比较和评价，可以优化学生的思维品质，提升学生的综合素养.
2.2归纳总结提炼，体悟建模本质
设计：通过上述两个问题的研究，你能否归纳总结求解应用问题的主要流程吗？
设计意图让学生从具体问题出发加以归纳总结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发展.从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质.一类学生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学问题、进行数学解决、回归实际问题.教师的作用主要体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题转化为数学问题去解决.
2.3独立解决问题，感悟方法运用
问题3某公司生产一种产品每年投入成本05万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得的收入约为5t-12t2（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应生产多少？
设计意图成本、收入和利润的概念，在必修1教材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽视了x>5时，利润y=5×5-125-05-025x，从而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的能力较为欠缺.应该说本题植根于教材，又有所发展，体现了良好的教学导向.
问题4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利息为48%，若存款利率小于贷款利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率为多少时，银行可获得最大效益？
设计意图利率的概念学生较为熟悉，但对银行的基本盈利模式——利息差，许多学生却不太清楚.设存款利率为x，则存款量为kx2，故银行获得的利润y为贷款的总利息减去存款的总利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求导法即可获解.
2.4彼此交流收获，共享经验成长
设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获？
设计意图利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题，扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为照应，构成了相对完整的总结.
设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原题，注明出处，以考查改编的程度.
设计意图让学生尝试每人自编一道应用题，主要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程，从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者与命题者“心理换位”的作用.
评注美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教学艺术就是让学生自己提出问题”.从这次自编应用题的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水.
3应用题教学后的反思和感悟
建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不是被动接受的.如果没有主体的主动建构，知识是不可能由别人传递给主体并被主体所内化的.因此，知识的意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先前知识经验主动建构.传统的应用题教学都是先讲解应用题的要求和步骤，再列举若干常见的题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习.这样训练似乎也挺扎实，但由于学生的思维框在限定的区域内，因而一旦遇上难以对上套路的新问题，便显得束手无策.本堂课的设计，把数学建模和应用解释、提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学有序和谐地展开.在教学过程中，学生的问题意识被唤醒，探索意念被唤起，建模思路被激活，讨论兴趣被激发，仿佛经历了一场心智的历练.
笔者期望通过应用题的教学，逐步让学生领会数学建模的思想.阅读是求解应用题的基础，要从粗读阶段通过图表、设元等途径，分析、检索、加工、储存和浓缩信息，逐步过渡到精读阶段，建立起合适的数学模型.当然应用问题常涉及字母运算或较大数字的计算，因此运算的合理性、层次性和逻辑性要求较高，教师要适时点拨和引导，通过反思和总结积累经验.教学和测试中要适度控制数学建模的要求，提高学生的积极性和自信心.
让学生课后尝试自编题目，的确对学生的综合素养提出了很高的要求，但每学期坚持让学生亲身体验一次，可以激发学生研究和创作的意识，培养学生的实践和创新能力，这对学生是终身受益的，当然教师必须有计划、有目的、有选择的加以组织，力求做到引导在先，要求适度，激励为主，成果共享.
作者简介华志远，1964年10月生，曾获第九届苏步青数学教育奖，江苏省人民教育家培养对象，中学正高级教师，特级教师.主要研究中学数学课程、教材、教法和评价.发表论文100余篇.
设计意图让学生从具体问题出发加以归纳总结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发展.从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质.一类学生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学问题、进行数学解决、回归实际问题.教师的作用主要体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题转化为数学问题去解决.
2.3独立解决问题，感悟方法运用
问题3某公司生产一种产品每年投入成本05万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得的收入约为5t-12t2（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应生产多少？
设计意图成本、收入和利润的概念，在必修1教材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽视了x>5时，利润y=5×5-125-05-025x，从而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的能力较为欠缺.应该说本题植根于教材，又有所发展，体现了良好的教学导向.
问题4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利息为48%，若存款利率小于贷款利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率为多少时，银行可获得最大效益？
设计意图利率的概念学生较为熟悉，但对银行的基本盈利模式——利息差，许多学生却不太清楚.设存款利率为x，则存款量为kx2，故银行获得的利润y为贷款的总利息减去存款的总利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求导法即可获解.
2.4彼此交流收获，共享经验成长
设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获？
设计意图利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题，扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为照应，构成了相对完整的总结.
设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原题，注明出处，以考查改编的程度.
设计意图让学生尝试每人自编一道应用题，主要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程，从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者与命题者“心理换位”的作用.
评注美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教学艺术就是让学生自己提出问题”.从这次自编应用题的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水.
3应用题教学后的反思和感悟
建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不是被动接受的.如果没有主体的主动建构，知识是不可能由别人传递给主体并被主体所内化的.因此，知识的意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先前知识经验主动建构.传统的应用题教学都是先讲解应用题的要求和步骤，再列举若干常见的题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习.这样训练似乎也挺扎实，但由于学生的思维框在限定的区域内，因而一旦遇上难以对上套路的新问题，便显得束手无策.本堂课的设计，把数学建模和应用解释、提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学有序和谐地展开.在教学过程中，学生的问题意识被唤醒，探索意念被唤起，建模思路被激活，讨论兴趣被激发，仿佛经历了一场心智的历练.
笔者期望通过应用题的教学，逐步让学生领会数学建模的思想.阅读是求解应用题的基础，要从粗读阶段通过图表、设元等途径，分析、检索、加工、储存和浓缩信息，逐步过渡到精读阶段，建立起合适的数学模型.当然应用问题常涉及字母运算或较大数字的计算，因此运算的合理性、层次性和逻辑性要求较高，教师要适时点拨和引导，通过反思和总结积累经验.教学和测试中要适度控制数学建模的要求，提高学生的积极性和自信心.
让学生课后尝试自编题目，的确对学生的综合素养提出了很高的要求，但每学期坚持让学生亲身体验一次，可以激发学生研究和创作的意识，培养学生的实践和创新能力，这对学生是终身受益的，当然教师必须有计划、有目的、有选择的加以组织，力求做到引导在先，要求适度，激励为主，成果共享.
作者简介华志远，1964年10月生，曾获第九届苏步青数学教育奖，江苏省人民教育家培养对象，中学正高级教师，特级教师.主要研究中学数学课程、教材、教法和评价.发表论文100余篇.
设计意图让学生从具体问题出发加以归纳总结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发展.从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质.一类学生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学问题、进行数学解决、回归实际问题.教师的作用主要体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题转化为数学问题去解决.
2.3独立解决问题，感悟方法运用
问题3某公司生产一种产品每年投入成本05万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得的收入约为5t-12t2（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x>0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应生产多少？
设计意图成本、收入和利润的概念，在必修1教材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽视了x>5时，利润y=5×5-125-05-025x，从而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的能力较为欠缺.应该说本题植根于教材，又有所发展，体现了良好的教学导向.
问题4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利息为48%，若存款利率小于贷款利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率为多少时，银行可获得最大效益？
设计意图利率的概念学生较为熟悉，但对银行的基本盈利模式——利息差，许多学生却不太清楚.设存款利率为x，则存款量为kx2，故银行获得的利润y为贷款的总利息减去存款的总利息，即y=0.048kx2-x·kx2，利用求导法即可获解.
2.4彼此交流收获，共享经验成长
设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获？
设计意图利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题，扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为照应，构成了相对完整的总结.
设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原题，注明出处，以考查改编的程度.
设计意图让学生尝试每人自编一道应用题，主要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程，从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者与命题者“心理换位”的作用.
评注美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教学艺术就是让学生自己提出问题”.从这次自编应用题的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水.
3应用题教学后的反思和感悟
建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不是被动接受的.如果没有主体的主动建构，知识是不可能由别人传递给主体并被主体所内化的.因此，知识的意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先前知识经验主动建构.传统的应用题教学都是先讲解应用题的要求和步骤，再列举若干常见的题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习.这样训练似乎也挺扎实，但由于学生的思维框在限定的区域内，因而一旦遇上难以对上套路的新问题，便显得束手无策.本堂课的设计，把数学建模和应用解释、提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学有序和谐地展开.在教学过程中，学生的问题意识被唤醒，探索意念被唤起，建模思路被激活，讨论兴趣被激发，仿佛经历了一场心智的历练.
笔者期望通过应用题的教学，逐步让学生领会数学建模的思想.阅读是求解应用题的基础，要从粗读阶段通过图表、设元等途径，分析、检索、加工、储存和浓缩信息，逐步过渡到精读阶段，建立起合适的数学模型.当然应用问题常涉及字母运算或较大数字的计算，因此运算的合理性、层次性和逻辑性要求较高，教师要适时点拨和引导，通过反思和总结积累经验.教学和测试中要适度控制数学建模的要求，提高学生的积极性和自信心.
让学生课后尝试自编题目，的确对学生的综合素养提出了很高的要求，但每学期坚持让学生亲身体验一次，可以激发学生研究和创作的意识，培养学生的实践和创新能力，这对学生是终身受益的，当然教师必须有计划、有目的、有选择的加以组织，力求做到引导在先，要求适度，激励为主，成果共享.
作者简介华志远，1964年10月生，曾获第九届苏步青数学教育奖，江苏省人民教育家培养对象，中学正高级教师，特级教师.主要研究中学数学课程、教材、教法和评价.发表论文100余篇.
