矩阵论教学过程中的逆矩阵解法探讨

2024.04.17

王俊伟杨俊玲刘丽秋

摘要：矩阵论课程以线性代数课程为基础，是控制科学与工程学科等研究生做基础应用研究的必修课程，课程内容比较抽象和难以理解，尤其是对于求解线性方程时，求逆矩阵时遇到很多问题且容易出错。文章以求解逆矩阵的初等变换法和三角分解法两种解法为背景，在本科生和研究生的教学中通过介绍两种求逆矩阵的不同解法，达到拓展学生的解题思路和提高课堂教学的效果。

关键词：研究生;线性方程;逆矩阵;初等变换法;三角分解;教学效果

Abstract：The course of matrix theory is based on linear algebra，which is a compulsory course for graduate students in control science and engineering to do basic application research.The course content is abstract and difficult to understand，especially for solving linear equations，there are many problems in solving inverse matrix and it is easy to make mistakes.Based on the background of the elementary transformation method and the trigonometric decomposition method to solve the inverse matrix，this paper introduces two different solutions of solving inverse matrix in the teaching of undergraduate and graduate students，so as to expand students' thinking of solving problems and improve the effect of classroom teaching.

Key words：Graduate student;linear equation;inverse matrix;elementary transformation method;trigonometric decomposition;teaching effect

1 绪论

矩阵论课程是控制学科、机器人、最优化计算、人工智能等领域的专业基础课，是研究生学习专业课程的基础[1]。矩阵论课程包括教学内容主要有线性空间、线性变换、范数理论、矩阵分析、矩阵分解、特征值估计和广义逆矩阵求解等内容[2]。其中广义逆矩阵求解和矩阵的分解内容可以用来解线性方程组。在工程技术、自然科学和社会科学中的很多问题都可归结为解线性方程组。因此对于相容（有解）的线性方程组问题，求解逆矩阵的方法至关重要。

求逆矩阵的方法1初等变换法是线性代数课程所讲授的方法，求逆矩阵应用比较广。另外一种求解逆矩阵的方法是三角分解法，该方法是矩阵论课程中的内容。文章主要介绍了求解逆矩阵的两种方法，重点介绍了求解逆矩阵的三角分解法。在研究生教学过程中，讲解矩阵分解章节的三角分解时，将用三角分解求解逆矩阵的方法介绍给学生，提高学生解决问题的多样性和思路的灵活性，以达到课堂教学更好的教学效果[3]。

2 课程教学内容介绍

2.1 文章定义和定理介绍

定义1 矩阵三种初等行变换介绍[4]：

通过两种方法的介绍，初等变换法计算3阶以下逆矩陣的方法比较简单，容易计算。三角分解法求逆矩阵过程烦琐，计算量比较大，但通过三角分解化解为下三角和上三角矩阵的原因是中间过程计算比较容易，不容易出错，尤其是3阶以上逆矩阵的求解问题，相比于初等变换法，三角分解法有更容易求解、计算量小和计算不容易出错的优点。

3 结语

在矩阵论课程的教学和应用的过程中所遇到的问题，对可逆矩阵的初等变换法和三角分解法两种解法进行了探讨，分别对比了两种解法的优缺点。在今后的课堂教学过程中，注意同一个题目不同解法给学生的讲授，达到开阔学生结题思路和灵活的数学应用能力，提高学生的分析和解决实际问题的能力，为学生今后在研究生期间做科学研究和相关专业课的学习打下坚固的理论基础。

参考文献：

[1]陈兆英.《工程矩阵论》课程教学方法探讨[J].信息、通信和社会科学，2018.

[2]王锐，白梅花，李玉.应用型高校矩阵论教学模式探讨[J].品牌研究，2018，（06）：225-226.

[3]邱启荣，陈秋华.基于创新能力培养的工科研究生矩阵论课程的教学研究与实践[J].中国科技纵横，2009，（12）.

[4]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].北京：科学出版社，2014.

[5]张明淳.工程矩阵理论[M].2版.南京：东南大学出版社，2011.

[6]程云鹏.矩阵论：第2版[M].西安：西北工业大学出版社，1988.