“辅助圆”——学生不大熟悉的重要辅助线
方世超
解几何题时，经常需要添加辅助线，而教科书上的例题仅出现过添加线段（直线）为辅助线的情形，没有出现添加辅助圆的例子，但是，“辅助圆”也是一种重要辅助线，用于解答有关题目常常能起到事半功倍的效果.现特举几例，与各位同仁共同探讨.
1 若几个点（3个以上）到同一个点的距离相等，则可依圆的定义作辅助圆
ダ1 如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，求证：∠BAC=2∠BDC.
ニ悸1由AB=AC=AD想到，以AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，由圆周角定理可得∠BAC=2∠BDC.
ニ悸2 由“等边对等角”可得，2∠ADC=2∠ACD=180°-∠DAC，2∠ADB=2∠ABD=180°-∠DAB，所以2∠BDC=2∠ADC-2∠ADB=∠DAB-∠DAC=∠BAC.
[TP13a.TIF,BP][TS(][JZ]图1图2[TS)]
例2 如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.
ニ悸 由AB=AC=AD想到，以AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，作⊙A的直径BE，连结DE，则∠BDE=90°，因为AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC，所以〥E猍TX(]=〣C猍TX(]，所以DE=BC=6，所以BD=[KF(]BE2-DE2[KF)]=[KF(]102-62[KF)]=8.
ヌ砑痈ㄖ圆的方法，对例1真可谓事半功倍，对例2则可谓“舍我其谁”了！
2 若几个直角三角形的斜边公共，则可以公共斜边为直径作圆
ト」共斜边的中点，由“斜边上的中线等于斜边的一半”可知，这几个直角三角形的所有顶点都在以公共斜边的中点为圆心、公共斜边的一半为半径的同一个圆上.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
解几何题时，经常需要添加辅助线，而教科书上的例题仅出现过添加线段（直线）为辅助线的情形，没有出现添加辅助圆的例子，但是，“辅助圆”也是一种重要辅助线，用于解答有关题目常常能起到事半功倍的效果.现特举几例，与各位同仁共同探讨.
1 若几个点（3个以上）到同一个点的距离相等，则可依圆的定义作辅助圆
ダ1 如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，求证：∠BAC=2∠BDC.
ニ悸1由AB=AC=AD想到，以AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，由圆周角定理可得∠BAC=2∠BDC.
ニ悸2 由“等边对等角”可得，2∠ADC=2∠ACD=180°-∠DAC，2∠ADB=2∠ABD=180°-∠DAB，所以2∠BDC=2∠ADC-2∠ADB=∠DAB-∠DAC=∠BAC.
[TP13a.TIF,BP][TS(][JZ]图1图2[TS)]
例2 如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.
ニ悸 由AB=AC=AD想到，以AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，作⊙A的直径BE，连结DE，则∠BDE=90°，因为AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC，所以〥E猍TX(]=〣C猍TX(]，所以DE=BC=6，所以BD=[KF(]BE2-DE2[KF)]=[KF(]102-62[KF)]=8.
ヌ砑痈ㄖ圆的方法，对例1真可谓事半功倍，对例2则可谓“舍我其谁”了！
2 若几个直角三角形的斜边公共，则可以公共斜边为直径作圆
ト」共斜边的中点，由“斜边上的中线等于斜边的一半”可知，这几个直角三角形的所有顶点都在以公共斜边的中点为圆心、公共斜边的一半为半径的同一个圆上.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
