不等式（组）的考点扫描
郝 惠 荀杰丽
不等式（组）的内容在各地的中考题中都有所涉及，下面结合实例（均为2008年各地的中考数学试题）说明有关不等式（组）的考点：
1 已知不等式的解集，确定某个字母的值
不等式的解是一个集合，为了清楚地表示出不等式的解集，我们常借助于数轴的形象性，把不等式的解集在数轴上表示出来. 在用数轴表示不等式的解集时，“实虚点”是同学们学习中常出现错误的地方，所以各地的中考题命题者也把这一点作为考查的一个重点.
例1 （烟台市）关于x的不等式-2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（ ）
分析 根据解不等式的方法，直接求出已知不等式的解集. 而根据数轴又可以直接得出不等式的解集，通过比较得到关于a的方程，再解这个方程即可得到a的值.
解 解不等式-2x+a≥2，得到其解集为x≤a-22.
根据数轴可知，不等式的解集为x≤-1.
所以a-22=-1，故a=0.
2 考查不等式（组）的解法
不等式（组）的解法是重要的内容，各地的中考题中常有考查解不等式（组）的题目，考查的题型也比较灵活，有填空题、选择题和解答题三种形式.
例2 （山西省）不等式组3-x≥04x+1
解 由3-x≥0，得x≤3，由4x+1
例3 （陕西省）把不等式组x-3<-15-x<6的解集表示在数轴上，正确的是（ ）.
分析 直接解不等式组，然后在数轴上表示出来.
解 解不等式组x-3<-15-x<6，得-1
例4 （北京市）解不等式5x-12≤2（4x-3），并把它的解集在数轴上表示出来.
分析 根据解不等式的方法直接求解. 在用数轴表示不等式的解集时，要注意实心圆与空心圆的区别.
解 去括号，得5x-12≤8x-6.
移项，得5x-8x≤-6+12.
合并，得-3x≤6.
化系数为1，得x≥-2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
3 列不等式（组）解应用题
利用不等式（组）解决实际问题属于应用性的问题.
例5 （潍坊市）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化. 绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的32. 已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.
（1）种植草皮的最小面积是多少？
（2） 种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？
分析 正确理解题意，明确不少于即大于或等于，可利用不等式组解决问题.
解 （1）设种植草皮的面积为x亩，则种植树木面积为（30-x）亩，则：x≥1030-x≥10x≥32(30-x). 解得18≤x≤20.
答：种植草皮的最小面积是18亩.
（2）由题意得：y=8000x+12000（30-x）=360000-4000x，
当x=20时，y有最小值280000元.
利用不等式（组）的知识解决方案的确定问题也是各地中考题中常有的题目.
例6 （青岛市）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行. 观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张. 某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半. 若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：
（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；
（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？
分析 （1）分析题意，得到不等式组，通过解不等式组确定出购票方案. （2）分别计算出各种方案所需的费用，通过比较进行判断.
解 （1）设A种票x张，则B种票（15-x）张，根据题意得：x≥15-x2600x+120(15-x)≤5000.
ソ獾茫5≤x≤203.
所以满足条件的x为5或6.
所以共有两种购买方案：
方案1:A种票5张，B种票10张；
方案2:A种票6张，B种票9张.
（2）方案1购票费用：600×5＋120×10=4200（元），
方案2购票费用：600×6＋120×9=4680（元），
因为4200<4680，所以方案1更省钱.
4 与方程、函数等知识综合在一起解答实际问题
例7 （河南省）某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品. 经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买两种笔记本共30本.
（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本?
（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的23，但又不少于B种笔记本数量的13，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元.
①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
②请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？
分析 本题的第一问考查学生用方程的知识解决实际问题. 第二问考查不等式、函数等知识. 对于第二问可根据题意写出函数关系式，然后根据要求确定出自变量的取值范围.
解 （1）省略.
（2）①根据题意，得w=12n+8（30-n）=4n+240. 对于n应同时满足：n<23(30-n)n≥13(30-n).
ソ獾152≤n＜12.
所以w（元）关于n（本）的函数关系式为：w=4n+240,自变量n的取值范围是152≤n＜12.
②对于一次函数w=4n+240，因为w随n的增大而增大，且152≤n＜12，n为整数,故当n=8时，w的值最小. ゴ耸保30-n=22，w=4×8+240=272（元）.
因此，当买A种笔记本8本，B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元.
不等式（组）的内容在各地的中考题中都有所涉及，下面结合实例（均为2008年各地的中考数学试题）说明有关不等式（组）的考点：
1 已知不等式的解集，确定某个字母的值
不等式的解是一个集合，为了清楚地表示出不等式的解集，我们常借助于数轴的形象性，把不等式的解集在数轴上表示出来. 在用数轴表示不等式的解集时，“实虚点”是同学们学习中常出现错误的地方，所以各地的中考题命题者也把这一点作为考查的一个重点.
例1 （烟台市）关于x的不等式-2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（ ）
分析 根据解不等式的方法，直接求出已知不等式的解集. 而根据数轴又可以直接得出不等式的解集，通过比较得到关于a的方程，再解这个方程即可得到a的值.
解 解不等式-2x+a≥2，得到其解集为x≤a-22.
根据数轴可知，不等式的解集为x≤-1.
所以a-22=-1，故a=0.
2 考查不等式（组）的解法
不等式（组）的解法是重要的内容，各地的中考题中常有考查解不等式（组）的题目，考查的题型也比较灵活，有填空题、选择题和解答题三种形式.
例2 （山西省）不等式组3-x≥04x+1
解 由3-x≥0，得x≤3，由4x+1
例3 （陕西省）把不等式组x-3<-15-x<6的解集表示在数轴上，正确的是（ ）.
分析 直接解不等式组，然后在数轴上表示出来.
解 解不等式组x-3<-15-x<6，得-1
例4 （北京市）解不等式5x-12≤2（4x-3），并把它的解集在数轴上表示出来.
分析 根据解不等式的方法直接求解. 在用数轴表示不等式的解集时，要注意实心圆与空心圆的区别.
解 去括号，得5x-12≤8x-6.
移项，得5x-8x≤-6+12.
合并，得-3x≤6.
化系数为1，得x≥-2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
3 列不等式（组）解应用题
利用不等式（组）解决实际问题属于应用性的问题.
例5 （潍坊市）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化. 绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的32. 已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.
（1）种植草皮的最小面积是多少？
（2） 种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？
分析 正确理解题意，明确不少于即大于或等于，可利用不等式组解决问题.
解 （1）设种植草皮的面积为x亩，则种植树木面积为（30-x）亩，则：x≥1030-x≥10x≥32(30-x). 解得18≤x≤20.
答：种植草皮的最小面积是18亩.
（2）由题意得：y=8000x+12000（30-x）=360000-4000x，
当x=20时，y有最小值280000元.
利用不等式（组）的知识解决方案的确定问题也是各地中考题中常有的题目.
例6 （青岛市）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行. 观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张. 某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半. 若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：
（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；
（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？
分析 （1）分析题意，得到不等式组，通过解不等式组确定出购票方案. （2）分别计算出各种方案所需的费用，通过比较进行判断.
解 （1）设A种票x张，则B种票（15-x）张，根据题意得：x≥15-x2600x+120(15-x)≤5000.
ソ獾茫5≤x≤203.
所以满足条件的x为5或6.
所以共有两种购买方案：
方案1:A种票5张，B种票10张；
方案2:A种票6张，B种票9张.
（2）方案1购票费用：600×5＋120×10=4200（元），
方案2购票费用：600×6＋120×9=4680（元），
因为4200<4680，所以方案1更省钱.
4 与方程、函数等知识综合在一起解答实际问题
例7 （河南省）某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品. 经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买两种笔记本共30本.
（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本?
（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的23，但又不少于B种笔记本数量的13，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元.
①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
②请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？
分析 本题的第一问考查学生用方程的知识解决实际问题. 第二问考查不等式、函数等知识. 对于第二问可根据题意写出函数关系式，然后根据要求确定出自变量的取值范围.
解 （1）省略.
（2）①根据题意，得w=12n+8（30-n）=4n+240. 对于n应同时满足：n<23(30-n)n≥13(30-n).
ソ獾152≤n＜12.
所以w（元）关于n（本）的函数关系式为：w=4n+240,自变量n的取值范围是152≤n＜12.
②对于一次函数w=4n+240，因为w随n的增大而增大，且152≤n＜12，n为整数,故当n=8时，w的值最小. ゴ耸保30-n=22，w=4×8+240=272（元）.
因此，当买A种笔记本8本，B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元.
