精彩纷呈的“角”
孟 坤 高 新
运用解直角三角形的知识解决实际问题的应用题是近几年来中考的热点题型，在这些问题中，有许多都与“角”有着密不可分的关系. 举例说明如下.
1 仰角和俯角
在进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角（如图1）. 仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可记为“上仰下俯”.
ね1图2
例1 （2008襄樊市）如图2，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．
分析 过点C作CD⊥AB于点D，由仰角的定义知∠ACD=30°，由俯角的定义知∠BCD=45°. 线段CD把△ABC“分割”成Rt△ACD和Rt△BCD，利用公共直角边CD沟通Rt△ACD和Rt△BCD之间的联系，进而直接求解.
解 过点C作CD⊥AB于点D，则有CD=EB=9米.
在Rt△BCD中，因为∠BCD=45°，所以BD=CD=9米.
在Rt△ACD中，因为tan∠ACD=ADCD，即tan30°=AD9，所以AD=9×tan30°=9×33=33（米），所以AB=BD+AD=9+33（米），
因为旗杆台阶高1米，所以旗杆顶点A离地面的高度为(10+33)米. 故填(10+33).
2 方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. 例如，图3中“北偏东30°”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西45°”.
图3图4
例2 （2008年自贡市）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图4），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？
（参考数据：2≈1.41,3≈1.73）
分析 解决本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过点C作CD⊥AB于点D，就能得到两个直角三角形. 这样就把△ABC的问题转化为直角三角形的问题来解决.
解 过点C作CD⊥AB，垂足为点D.
在Rt△ACD中，因为∠CAD=90°-45°=45°，所以 AD=CD.
在Rt△BCD中，因为∠CBD=30°，所以BD=CDtan∠CBD=CDtan30°=3CD.
又因为BD+AD=AB=2，所以3CD+CD=2，解得CD=23+1≈0.73（千米）
因为0.73千米>0.6千米，所以修筑公路时，这个小区的居民不需要搬迁.
3 坡角
如图5所示，坡面与水平面的夹角（用α表示）叫做坡角；我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，即i=hl=tanα，坡度一般写成l∶m的形式（比的前项为1，后项可以是小数）.
ね5图6
注意 坡度不是一个角的度数，而是一个比值；坡度与坡角的关系是坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡.
例3 （2008年怀化市）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图6所示，BC∥AD，斜坡AB长52106m，坡度i=9∶5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
分析 （1）过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△AEB中，利用坡度和勾股定理即可求得BE的长；（2）欲求线段BF，需构造直角三角形，为此连结AF，过F作FG⊥AD于G，则有BF=EG，于是就把线段BF转移到Rt△AFG的边AG上.
解 （1）过点B作BE⊥AD，E为垂足.
由坡度i=BEAE=95，可设BE=9k，AE=5k（k为正数）.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，所以(5k)2+(9k)2=(52106)2,
解得k=52. 所以AE=5k=5×52=12.5（米），BE=9k=9×52=22.5（米）.
所以改造前坡顶B到地面的垂直距离BE的长为22.5米.
（2）过点F作FG⊥AD，G为垂足，连结FA. 则有BF=GE，FG=BE=22.5米.
在Rt△AFG中，tan∠FAG=FGAG=FGAE+EG.
由题意得，22.5BF+12.5≤tan45°. 解得BF≥10.
所以坡顶B沿BC至少削进10米才能确保安全.
从以上实际问题中可以看出，在图形中准确地识别各“角”是解题的关键. 如果题目中没有图形，要根据条件，准确地画出图形；当题目中没有直角三角形时，还要根据条件构造出直角三角形，以便找出关键的“角”与“边”之间的关系.プ髡呒蚪椋好侠ぃ中教一级，枣庄市骨干教师. 长期从事初中数学教学教研工作，曾在国家及省级刊物上发表文章百余篇. 曾主编或参编《中华学王》、《学案练案》等多部图书.
运用解直角三角形的知识解决实际问题的应用题是近几年来中考的热点题型，在这些问题中，有许多都与“角”有着密不可分的关系. 举例说明如下.
1 仰角和俯角
在进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角（如图1）. 仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可记为“上仰下俯”.
ね1图2
例1 （2008襄樊市）如图2，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．
分析 过点C作CD⊥AB于点D，由仰角的定义知∠ACD=30°，由俯角的定义知∠BCD=45°. 线段CD把△ABC“分割”成Rt△ACD和Rt△BCD，利用公共直角边CD沟通Rt△ACD和Rt△BCD之间的联系，进而直接求解.
解 过点C作CD⊥AB于点D，则有CD=EB=9米.
在Rt△BCD中，因为∠BCD=45°，所以BD=CD=9米.
在Rt△ACD中，因为tan∠ACD=ADCD，即tan30°=AD9，所以AD=9×tan30°=9×33=33（米），所以AB=BD+AD=9+33（米），
因为旗杆台阶高1米，所以旗杆顶点A离地面的高度为(10+33)米. 故填(10+33).
2 方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. 例如，图3中“北偏东30°”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西45°”.
图3图4
例2 （2008年自贡市）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图4），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？
（参考数据：2≈1.41,3≈1.73）
分析 解决本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过点C作CD⊥AB于点D，就能得到两个直角三角形. 这样就把△ABC的问题转化为直角三角形的问题来解决.
解 过点C作CD⊥AB，垂足为点D.
在Rt△ACD中，因为∠CAD=90°-45°=45°，所以 AD=CD.
在Rt△BCD中，因为∠CBD=30°，所以BD=CDtan∠CBD=CDtan30°=3CD.
又因为BD+AD=AB=2，所以3CD+CD=2，解得CD=23+1≈0.73（千米）
因为0.73千米>0.6千米，所以修筑公路时，这个小区的居民不需要搬迁.
3 坡角
如图5所示，坡面与水平面的夹角（用α表示）叫做坡角；我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，即i=hl=tanα，坡度一般写成l∶m的形式（比的前项为1，后项可以是小数）.
ね5图6
注意 坡度不是一个角的度数，而是一个比值；坡度与坡角的关系是坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡.
例3 （2008年怀化市）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图6所示，BC∥AD，斜坡AB长52106m，坡度i=9∶5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
分析 （1）过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△AEB中，利用坡度和勾股定理即可求得BE的长；（2）欲求线段BF，需构造直角三角形，为此连结AF，过F作FG⊥AD于G，则有BF=EG，于是就把线段BF转移到Rt△AFG的边AG上.
解 （1）过点B作BE⊥AD，E为垂足.
由坡度i=BEAE=95，可设BE=9k，AE=5k（k为正数）.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，所以(5k)2+(9k)2=(52106)2,
解得k=52. 所以AE=5k=5×52=12.5（米），BE=9k=9×52=22.5（米）.
所以改造前坡顶B到地面的垂直距离BE的长为22.5米.
（2）过点F作FG⊥AD，G为垂足，连结FA. 则有BF=GE，FG=BE=22.5米.
在Rt△AFG中，tan∠FAG=FGAG=FGAE+EG.
由题意得，22.5BF+12.5≤tan45°. 解得BF≥10.
所以坡顶B沿BC至少削进10米才能确保安全.
从以上实际问题中可以看出，在图形中准确地识别各“角”是解题的关键. 如果题目中没有图形，要根据条件，准确地画出图形；当题目中没有直角三角形时，还要根据条件构造出直角三角形，以便找出关键的“角”与“边”之间的关系.プ髡呒蚪椋好侠ぃ中教一级，枣庄市骨干教师. 长期从事初中数学教学教研工作，曾在国家及省级刊物上发表文章百余篇. 曾主编或参编《中华学王》、《学案练案》等多部图书.
