利用转化思想巧解一道课本习题
题目 一只蚂蚁在如图1所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，它获得食物的概率是多少?
这是人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第155页第4题.
错解 用树形图，如图2所示，解答：蚂蚁共有7种不同的走法，其中两种走法获得食物，概率为27.
剖析 树形图法是用来求古典概型概率的一种方法，古典概型试验具有两个共同特点：
1. 一次试验中，可能出现的结果有有限多个；
2. 一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
胡老师在文[1]中指出，此题是一道初中阶段不易解决的概率题，教材安排这道习题是不恰当的.实际上，借助转化思想这道题完全可以用初中阶段 的知识解决，下面给出两种正确的解法：
解法1 由于蚂蚁爬向b1、b2、b3的可能性是一样的，而与b1相连的数叉上没有食物，因此与b1相连的小树叉的数量不影响蚂蚁爬到b2或b3后再获得食物的概率，因此，可以去掉与b1相连的一个数叉，不影响问题的最后结果，这样就满足古典概型的两个特点了.
列出如图3所示树形图：
于是，蚂蚁共有6种不同的走法，其中两种走法获得食物，概率为13.
解法2 将与b1、b2、b3相连的小树叉的个数都改为6，相应的与b2、b3的有食物的小树叉的个数都改为3，于是问题等价转化为古典概型问题，易求蚂蚁获得食物的概率是13.
不难看出解法2更具一般性，同样的思路可以解答下面的变式问题：
变式题1 把原题中与b3相连的树叉上的食物移到与b1相连的树叉上，其它条件不变，求蚂蚁获得食物的概率?
分析 把与b1、b2、b3相连的树叉的个数变为6，相应的与b1相连的有食物的树叉的个数变为2，与b2相连的有食物的树叉的个数变为3，问题等价转化为古典概型问题了.列数形图(图略)可得，蚂蚁共有18种不同的走法，其中5种走法获得食物，获得食物的概率为518.
由此不难得到解决这个问题的一般思路： 先找出第二层树叉上有食物的第一层树叉，将第二层树叉的个数都变为与这些数叉相连的小树叉个数的最小公倍数，有食物的树叉同时做相应变化；对于第二层树叉上没有食物的第一层树叉，与其相连的小树叉的个数与最后结果无关，也变为前面小树叉个数的最小公倍数，从而把问题变为古典概型问题求解.
利用这个规律可以简洁地解答稍复杂的下面的问题：
变式题2 在原题背景下，把与b1相连的树叉个数改为4个，其中2个树叉上有食物；与b2相连的树叉的个数改为6个，其中4个树叉上有食物；与b3相连的树叉共有7个，没有树叉上有食物，求蚂蚁获得食物的概率.
分析 第二层树叉上有食物的第一层树叉是b1、b2，与它们相连的小树叉的个数分别是4和6，它们的最小公倍数是12，因此，将第二层树叉的个数变为12，同时与b1相连的有食物树叉个数变为6，与b2相连的有食物树叉个数变为8；与b3相连的小树叉上没有食物，与之相连的树叉的个数直接变为12.问题变为古典概型问题，列数形图容易求出蚂蚁获得食物的概率为718.
由此看来，这是一道提高学生分析问题能力、渗透转化与化归思想的一道好题.胡老师文中作出的这是“一道初中阶段不易解决的概率题，教材安排这道习题是不恰当的”的论断显然有考虑不全面之嫌.
参考文献
[1] 胡其忠.一道初中阶段不易解决的概率题 [J].中学数学杂志(初中)，2007，(6).
作者简介：盖仕广，1992年毕业于南京师范大学数学系，中学高级教师，致力于解题及解题教学研究，曾在贵刊及其它省级以上刊物发表论文多篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
这是人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第155页第4题.
错解 用树形图，如图2所示，解答：蚂蚁共有7种不同的走法，其中两种走法获得食物，概率为27.
剖析 树形图法是用来求古典概型概率的一种方法，古典概型试验具有两个共同特点：
1. 一次试验中，可能出现的结果有有限多个；
2. 一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
胡老师在文[1]中指出，此题是一道初中阶段不易解决的概率题，教材安排这道习题是不恰当的.实际上，借助转化思想这道题完全可以用初中阶段 的知识解决，下面给出两种正确的解法：
解法1 由于蚂蚁爬向b1、b2、b3的可能性是一样的，而与b1相连的数叉上没有食物，因此与b1相连的小树叉的数量不影响蚂蚁爬到b2或b3后再获得食物的概率，因此，可以去掉与b1相连的一个数叉，不影响问题的最后结果，这样就满足古典概型的两个特点了.
列出如图3所示树形图：
于是，蚂蚁共有6种不同的走法，其中两种走法获得食物，概率为13.
解法2 将与b1、b2、b3相连的小树叉的个数都改为6，相应的与b2、b3的有食物的小树叉的个数都改为3，于是问题等价转化为古典概型问题，易求蚂蚁获得食物的概率是13.
不难看出解法2更具一般性，同样的思路可以解答下面的变式问题：
变式题1 把原题中与b3相连的树叉上的食物移到与b1相连的树叉上，其它条件不变，求蚂蚁获得食物的概率?
分析 把与b1、b2、b3相连的树叉的个数变为6，相应的与b1相连的有食物的树叉的个数变为2，与b2相连的有食物的树叉的个数变为3，问题等价转化为古典概型问题了.列数形图(图略)可得，蚂蚁共有18种不同的走法，其中5种走法获得食物，获得食物的概率为518.
由此不难得到解决这个问题的一般思路： 先找出第二层树叉上有食物的第一层树叉，将第二层树叉的个数都变为与这些数叉相连的小树叉个数的最小公倍数，有食物的树叉同时做相应变化；对于第二层树叉上没有食物的第一层树叉，与其相连的小树叉的个数与最后结果无关，也变为前面小树叉个数的最小公倍数，从而把问题变为古典概型问题求解.
利用这个规律可以简洁地解答稍复杂的下面的问题：
变式题2 在原题背景下，把与b1相连的树叉个数改为4个，其中2个树叉上有食物；与b2相连的树叉的个数改为6个，其中4个树叉上有食物；与b3相连的树叉共有7个，没有树叉上有食物，求蚂蚁获得食物的概率.
分析 第二层树叉上有食物的第一层树叉是b1、b2，与它们相连的小树叉的个数分别是4和6，它们的最小公倍数是12，因此，将第二层树叉的个数变为12，同时与b1相连的有食物树叉个数变为6，与b2相连的有食物树叉个数变为8；与b3相连的小树叉上没有食物，与之相连的树叉的个数直接变为12.问题变为古典概型问题，列数形图容易求出蚂蚁获得食物的概率为718.
由此看来，这是一道提高学生分析问题能力、渗透转化与化归思想的一道好题.胡老师文中作出的这是“一道初中阶段不易解决的概率题，教材安排这道习题是不恰当的”的论断显然有考虑不全面之嫌.
参考文献
[1] 胡其忠.一道初中阶段不易解决的概率题 [J].中学数学杂志(初中)，2007，(6).
作者简介：盖仕广，1992年毕业于南京师范大学数学系，中学高级教师，致力于解题及解题教学研究，曾在贵刊及其它省级以上刊物发表论文多篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
