《摸到红球的概率》教学设计
本课题选自北师大版数学七年级下《概率》第二节.概率是定量刻画随机事件发生的可能性大小的特征量数，通常定义为：在相同条件下的大量重复试验中，某事件出现的次数和总试验次数之比，它是大量重复试验时，每一个结果呈现的频率的一个渐趋稳定的常数值.从随机现象中寻找规律，学生通过七年级上“可能性”和“游戏的公平性”的学习体验，已有了一些经验与积累，教材根据学生的心理特点和认知水平，设计了掷硬币、摸红球等富有趣味的游戏，指导学生动手操作，反复试验，收集分析数据，总结规律，进一步丰富对随机现象的体验和对随机性中表现出的规律性的感知，从而对概率的认识发生从感性到理性的升华.这既是前面学习“可能性”的延伸，又为认识“大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值”以及用列举法计算概率打下基础.
教学目标
1.会计算古典概型概率，体会概率的意义.
2.操作摸球、掷币、抽牌等试验，经历观察、比较、猜测、推理、交流、讨论等活动过程，学会计算概率的方法.
3.感受数学活动的探索性和创造性，体验概率知识的应用价值，发展学数学、用数学的意识与乐趣.
教学重点
体会概率的意义.
教学难点
1.位置：概率的计算.
2.成因诊断：
(1)在学生的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的；现在遇到用具体的数刻画事件发生的可能性，要计算概率，要用数字“说话”，方法他们难适应，计算也感到没有头绪.
(2)弄清某事件发生的可能结果数和所有事件发生的结果数是计算概率的前提，对于较复杂的情形，学生思维的不缜密会出现统计遗漏或重复，失误影响着他们的学习信心.
3.破解对策：
(1)针对学生的认知基础和思维特点，设计问题由简单到复杂，先易后难，让学生逐渐积累活动经验和求解规律.
(2)对于复杂情形的事件，重视统计前的点拨和解题中的排查，减少失误的机会，促进学生的成功体验.
教学过程
一、游戏开场，激情引入
你与同桌玩“石头、剪子、布”游戏，如果第一次你决定出“剪子”手势，同桌随意出，那么，你赢得可能性有多大?
我的思考：这是一个生活中常见、随时随地能做且老少皆宜的游戏.无论学生凭经验分析还是实际演练，都不难知道在总共发生的三种情形中，赢的可能只有一种，占13.此时，教师可以直接告诉学生，“13”准确表达了你赢的可能性的大小，称为赢得该游戏的概率，通常用一个字母P表示.即：
P(赢得游戏)=13.
妙趣横生的生活游戏顺应学生的天性，在看似不经意的比划中，概率的出现自然而鲜明.
还可以进一步设问，你与同桌出相同手势的可能性是多大?一气呵成还是稍后在第二环节学习概率后再解答，对学生来说都不困难.
二、摸球试验搭台，概率“登场”
1.在一个不透明的盒子里装有一个红球和一个白球，他们除颜色外完全相同.你随便摸出一球，可能是什么颜色?摸到红球的可能性多大?
思考：教科书为了介绍“概率”编写的游戏，大多是“摸红球”试验，但一般不仅有红、白两个球，有的装红、白两色球各若干个，有的装红、白、黑等多色，是从较复杂情形和普遍意义上定义概率，目的是约简过程，节省笔墨，突出一般性.如果考虑到学生知识储备不足以及思维的跨越过大，可以用这个最简单的试验铺垫，设一步“台阶”再操作下面这个教材编排的游戏.
2.在一个不透明的盒子里装有三个红球和一个白球，他们除颜色外完全相同.你从盒中任意摸出一球.
(1)猜测可能是什么颜色?问问同伴的看法.
(2)现将每球都编上号码，分别记为1号球(红)、2号球(红)、3号球(红)、4号球(白)，那么，摸到每个球的可能性一样吗?
(3)若任意摸出一球，说出所有可能的结果.
思考：这是游戏1的变式，亲手操作也不困难，可用黄、白乒乓球，有色玻璃球甚至彩色巧克力豆替代.游戏可四人一组进行，组长主持，先独立想象、猜测，写出结论.然后逐人试验多次，在汇总试验结果后与刚才的猜测验证，讨论交流对自己猜测与试验结果偏差的解释.这样学生能在具体情境中体会概率的意义，认识“大量重复试验”的必要，也会消除生活中某些错误经验，享受合作学习的成果.
学生能答出：所有可能出现的结果有4种，摸到红球的可能的结果有3种(1号球、2号球、3号球)，可能性是34.同理，摸到白球的可能性是14.
3.学生阅读教材上概率的定义与表示.
在游戏中，34表示摸到红球的可能性，命名为摸到红球的概率.概率用英文Probability的首写字母P来表示，即：
P(摸到红球)=34.
一般地，事件A发生的概率
P(A)=A发生的可能结果数所有可能发生的结果数.
于是，必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0；如果A为不确定事件，那么0≤P(A)≤1.
思考：试验为概率搭台，情境为学习激趣，而严格的数学概念还不能一味让学生探究、概括，只要学生通过认真读教材，能够理解概念表达的意义，与已有的认知结构顺畅的同化、接纳，再留出一定时间让他们记忆，有不懂的地方请教优生和老师，也就能达到要求.随后将出现利用公式计算概率的练习，也不要让学生套用公式，死记硬背.
三、变换场景，变式训练
1.任意掷一枚均分的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，“数字3”朝上的概率是多少?偶数朝上的概率是多少?
我的思考：在可能性的学习中，学生借助大量重复试验，已获得本类问题的正确结果.这里不必试验和猜测，需引导学生判断出，所有可能出现的结果有6种：1朝上，2朝上，3朝上，4朝上，5朝上，6朝上，每种结果出现的概率都相等，其中，3朝上的结果只有1种，偶数2、4、6朝上的结果共有3种，因此：
P(3朝上)=16；P(偶数朝上)=12.
2.“田忌赛马”是一个喜闻乐见的历史典故，田忌在上、中、下三匹马都不敌齐王同级别的三匹马的不利条件下，巧用计谋以2∶1赢得了比赛.如果重新比赛，齐王将马按上、中、下的顺序出阵，田忌的马随机出阵，请你来推算，田忌获胜的概率是多大?
思考：战国趣闻用数学演绎，学生始料未及却兴致勃勃，大大激活了他们的心理状态，思维马上活跃起来.
但气氛一会便沉寂下来，排兵布阵我们是头一次，裁决还不是那么简单，学生对复杂的情形往往梳理不清.这时需教师点拨，引导他们列表直观写出齐王与田忌赛马对阵的所有情形.
齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上 在所有6场对阵中，只有田忌“下上中”对齐王“上中下”一场能2∶1获胜，因此田忌获胜的概率是：
P(田忌获胜)=16.
3.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，在事先准备的20个商标牌中，有5个商标牌背面注明一定的奖金额，其余不设奖.观众小明获得翻牌机会，他第一次翻牌获奖的概率是多少?如果允许小明连翻三次(不重复)，前两次都中奖，那么他第三次翻牌中奖的概率是多少?
思考：本题呈现了一个大家喜欢的电视情境，其真实性学生历历在目，揭开谜底的愿望主动、强烈. 要让学生猜测、验算、归纳、交流，教师参与讨论，随堂点拨讲解，特别提醒学生，第三次翻牌时，所有的情形只有18种.
四、执果索因，培养创新能力
1.请你用6个除颜色外完全相同的球，设计一个摸球游戏.
(1)使摸到白球的概率为13；
(2)使摸到红球和黑球的概率为56.
思考：因所有事件发生的可能结果数为6，(1)要使摸到白球的概率为13，需摸到白球可能结果为2，因此需放2个白球和4个其他颜色的球；同样地，(2)需放红球、黑球共5个，其他颜色的球1个，答案不惟一.
2.我们班有52名同学，从中抽4人为周末家长会服务，请你设计一方案，使得每人被抽中的可能性均等.
思考：依据概率设计问题情境，开放的形式利于学生发散思维，也是理解数学模型的素材，培养其创新能力的契机.他们首选的是用一副扑克牌(去掉大小王)，与52名同学一一对应.任抽一张(如9)，对应该数字4个花色的同学即被选中；也可连抽4张，一一对应.还可以用其他游戏选定，只要满足在所有发生的52个结果中，该事件发生的结果数是4即可.
五、随堂训练，总结回顾
完成教材122页随堂练习和123页“知识技能”，“问题解决”布置为作业.
师生共同回顾、反思，重点理解概率的意义.
设计特色
1.游戏情境富有乐趣与挑战，在活跃的课堂气氛中，引导学生动手操作，分析推断，探索规律，提升理论，总结出古典概型的概率模型，正确理解“用0～1之间的一个数刻画事件发生可能性”的意义，很好地体现重点，突破难点.
2.刚刚处于形式运算阶段的初中学生虽能进行初步的设定和检验，但很大程度上仍属于经验型，他们的抽象思维需要感性经验的支持.因此，本节课游戏搭台，情境引入，概念形成用情境经历过程，概念应用设情境开放创新，遵循了学生的学习心理规律，加深了学生对概率的体会理解.
作者简介：吕学江，男，1964年4月生，中学高级教师，全国优秀教师，山东省特级教师，入选齐鲁名师建设工程.出版教育专著2部，发表教学论文30余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
教学目标
1.会计算古典概型概率，体会概率的意义.
2.操作摸球、掷币、抽牌等试验，经历观察、比较、猜测、推理、交流、讨论等活动过程，学会计算概率的方法.
3.感受数学活动的探索性和创造性，体验概率知识的应用价值，发展学数学、用数学的意识与乐趣.
教学重点
体会概率的意义.
教学难点
1.位置：概率的计算.
2.成因诊断：
(1)在学生的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的；现在遇到用具体的数刻画事件发生的可能性，要计算概率，要用数字“说话”，方法他们难适应，计算也感到没有头绪.
(2)弄清某事件发生的可能结果数和所有事件发生的结果数是计算概率的前提，对于较复杂的情形，学生思维的不缜密会出现统计遗漏或重复，失误影响着他们的学习信心.
3.破解对策：
(1)针对学生的认知基础和思维特点，设计问题由简单到复杂，先易后难，让学生逐渐积累活动经验和求解规律.
(2)对于复杂情形的事件，重视统计前的点拨和解题中的排查，减少失误的机会，促进学生的成功体验.
教学过程
一、游戏开场，激情引入
你与同桌玩“石头、剪子、布”游戏，如果第一次你决定出“剪子”手势，同桌随意出，那么，你赢得可能性有多大?
我的思考：这是一个生活中常见、随时随地能做且老少皆宜的游戏.无论学生凭经验分析还是实际演练，都不难知道在总共发生的三种情形中，赢的可能只有一种，占13.此时，教师可以直接告诉学生，“13”准确表达了你赢的可能性的大小，称为赢得该游戏的概率，通常用一个字母P表示.即：
P(赢得游戏)=13.
妙趣横生的生活游戏顺应学生的天性，在看似不经意的比划中，概率的出现自然而鲜明.
还可以进一步设问，你与同桌出相同手势的可能性是多大?一气呵成还是稍后在第二环节学习概率后再解答，对学生来说都不困难.
二、摸球试验搭台，概率“登场”
1.在一个不透明的盒子里装有一个红球和一个白球，他们除颜色外完全相同.你随便摸出一球，可能是什么颜色?摸到红球的可能性多大?
思考：教科书为了介绍“概率”编写的游戏，大多是“摸红球”试验，但一般不仅有红、白两个球，有的装红、白两色球各若干个，有的装红、白、黑等多色，是从较复杂情形和普遍意义上定义概率，目的是约简过程，节省笔墨，突出一般性.如果考虑到学生知识储备不足以及思维的跨越过大，可以用这个最简单的试验铺垫，设一步“台阶”再操作下面这个教材编排的游戏.
2.在一个不透明的盒子里装有三个红球和一个白球，他们除颜色外完全相同.你从盒中任意摸出一球.
(1)猜测可能是什么颜色?问问同伴的看法.
(2)现将每球都编上号码，分别记为1号球(红)、2号球(红)、3号球(红)、4号球(白)，那么，摸到每个球的可能性一样吗?
(3)若任意摸出一球，说出所有可能的结果.
思考：这是游戏1的变式，亲手操作也不困难，可用黄、白乒乓球，有色玻璃球甚至彩色巧克力豆替代.游戏可四人一组进行，组长主持，先独立想象、猜测，写出结论.然后逐人试验多次，在汇总试验结果后与刚才的猜测验证，讨论交流对自己猜测与试验结果偏差的解释.这样学生能在具体情境中体会概率的意义，认识“大量重复试验”的必要，也会消除生活中某些错误经验，享受合作学习的成果.
学生能答出：所有可能出现的结果有4种，摸到红球的可能的结果有3种(1号球、2号球、3号球)，可能性是34.同理，摸到白球的可能性是14.
3.学生阅读教材上概率的定义与表示.
在游戏中，34表示摸到红球的可能性，命名为摸到红球的概率.概率用英文Probability的首写字母P来表示，即：
P(摸到红球)=34.
一般地，事件A发生的概率
P(A)=A发生的可能结果数所有可能发生的结果数.
于是，必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0；如果A为不确定事件，那么0≤P(A)≤1.
思考：试验为概率搭台，情境为学习激趣，而严格的数学概念还不能一味让学生探究、概括，只要学生通过认真读教材，能够理解概念表达的意义，与已有的认知结构顺畅的同化、接纳，再留出一定时间让他们记忆，有不懂的地方请教优生和老师，也就能达到要求.随后将出现利用公式计算概率的练习，也不要让学生套用公式，死记硬背.
三、变换场景，变式训练
1.任意掷一枚均分的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，“数字3”朝上的概率是多少?偶数朝上的概率是多少?
我的思考：在可能性的学习中，学生借助大量重复试验，已获得本类问题的正确结果.这里不必试验和猜测，需引导学生判断出，所有可能出现的结果有6种：1朝上，2朝上，3朝上，4朝上，5朝上，6朝上，每种结果出现的概率都相等，其中，3朝上的结果只有1种，偶数2、4、6朝上的结果共有3种，因此：
P(3朝上)=16；P(偶数朝上)=12.
2.“田忌赛马”是一个喜闻乐见的历史典故，田忌在上、中、下三匹马都不敌齐王同级别的三匹马的不利条件下，巧用计谋以2∶1赢得了比赛.如果重新比赛，齐王将马按上、中、下的顺序出阵，田忌的马随机出阵，请你来推算，田忌获胜的概率是多大?
思考：战国趣闻用数学演绎，学生始料未及却兴致勃勃，大大激活了他们的心理状态，思维马上活跃起来.
但气氛一会便沉寂下来，排兵布阵我们是头一次，裁决还不是那么简单，学生对复杂的情形往往梳理不清.这时需教师点拨，引导他们列表直观写出齐王与田忌赛马对阵的所有情形.
齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上 在所有6场对阵中，只有田忌“下上中”对齐王“上中下”一场能2∶1获胜，因此田忌获胜的概率是：
P(田忌获胜)=16.
3.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，在事先准备的20个商标牌中，有5个商标牌背面注明一定的奖金额，其余不设奖.观众小明获得翻牌机会，他第一次翻牌获奖的概率是多少?如果允许小明连翻三次(不重复)，前两次都中奖，那么他第三次翻牌中奖的概率是多少?
思考：本题呈现了一个大家喜欢的电视情境，其真实性学生历历在目，揭开谜底的愿望主动、强烈. 要让学生猜测、验算、归纳、交流，教师参与讨论，随堂点拨讲解，特别提醒学生，第三次翻牌时，所有的情形只有18种.
四、执果索因，培养创新能力
1.请你用6个除颜色外完全相同的球，设计一个摸球游戏.
(1)使摸到白球的概率为13；
(2)使摸到红球和黑球的概率为56.
思考：因所有事件发生的可能结果数为6，(1)要使摸到白球的概率为13，需摸到白球可能结果为2，因此需放2个白球和4个其他颜色的球；同样地，(2)需放红球、黑球共5个，其他颜色的球1个，答案不惟一.
2.我们班有52名同学，从中抽4人为周末家长会服务，请你设计一方案，使得每人被抽中的可能性均等.
思考：依据概率设计问题情境，开放的形式利于学生发散思维，也是理解数学模型的素材，培养其创新能力的契机.他们首选的是用一副扑克牌(去掉大小王)，与52名同学一一对应.任抽一张(如9)，对应该数字4个花色的同学即被选中；也可连抽4张，一一对应.还可以用其他游戏选定，只要满足在所有发生的52个结果中，该事件发生的结果数是4即可.
五、随堂训练，总结回顾
完成教材122页随堂练习和123页“知识技能”，“问题解决”布置为作业.
师生共同回顾、反思，重点理解概率的意义.
设计特色
1.游戏情境富有乐趣与挑战，在活跃的课堂气氛中，引导学生动手操作，分析推断，探索规律，提升理论，总结出古典概型的概率模型，正确理解“用0～1之间的一个数刻画事件发生可能性”的意义，很好地体现重点，突破难点.
2.刚刚处于形式运算阶段的初中学生虽能进行初步的设定和检验，但很大程度上仍属于经验型，他们的抽象思维需要感性经验的支持.因此，本节课游戏搭台，情境引入，概念形成用情境经历过程，概念应用设情境开放创新，遵循了学生的学习心理规律，加深了学生对概率的体会理解.
作者简介：吕学江，男，1964年4月生，中学高级教师，全国优秀教师，山东省特级教师，入选齐鲁名师建设工程.出版教育专著2部，发表教学论文30余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
