圆周率π之最
1 最简单的定义
义务教育课程标准试验教科书《数学》六年级上册p.12：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率.圆周率用字母π表示，π是一个无限不循环小数，计算时通常取3.14.
2 最常用的徽率
公元263年前后，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽提出著名的“割圆术”，他取半径为1尺的圆，从圆内接正6边形算起，再算正12边形、正24边形，一直算至正192边形，求得圆周率是39271250=3.1416≈3.14.虽然刘徽提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法有着较阿基米德方法更美妙之处.因为割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，并且其中蕴含初步的微积分思想，难能可贵，所以数学史上称3.14为“徽率”.
在日常生活以及我国现行中小学教材中，为什么只要用到圆周率常常都取3.14呢?精度要求已够只是一方面，我想“徽率”才是其中的历史渊源吧!
3 最怪诞的计算
投针实验法：找一根粗细均匀，长度为l的细针，并在一张白纸上画上一组间距为d的平行线，然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上.这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，做一个简单的除法就可以得到π的近似值.
法国数学家蒲丰证明了细针与任意平行线相交的概率为P=2lπd.利用这一公式，为了方便起见，取d=2l则π=1P.在一次实验中，他投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为2212704=3.142045455≈3.14.
虽然蒲丰投针实验计算的π值并不一定很精确，但这是数学历史上第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验来处理确定性数学问题，也是公认的计算π值最为怪诞的方法.
4 最困难的证明
4.1 π是无理数
有人说：幸福的家庭都是一样的幸福，而不幸的家庭则各有各的不幸.我们不妨作一个不一定恰当的类比：循环的小数都是一样的循环，而不循环的小数则各有各的不循环!
无限不循环的小数就是无理数，无理数当然是难以认识的，否则干嘛叫“无理”?世界上有多少人就算大学毕业了也说不清道不明的，中小学课本上总是轻描淡写一笔带过，其实也是迫不得已的无奈之举.想当年，区区一个2就直接导致了数学史上的第一次大危机，使得数系的扩展停滞不前达两千多年!早在公元前3世纪人们就认识到圆的周长和直径的比值是一个固定的数，直到1761年瑞士人兰伯特才利用高等数学知识证明了π是不可比的无理数.此后经过200多年的验证和改进，其证明的真伪性是不容置疑的，但过程相当令人费解.
4.2 π是超越数
当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不管这个数是实数还是复数，则这个数被定义为代数数.否则，就是超越数.这就是说，一个超越数不是任何一个含非零的有理数系数的多项式方程的根. 在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难.但具体地证明某一个特定的数是超越数，在历史上是一件十分困难的事情.1873年，法国数学家Hermite给出了无理数e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难.他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明π的超越性.如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了.”
又过了9年时间，德国数学家林德曼终于证明了圆周率π也是一个超越数.这个证明彻底否决了尺规作图的千古难题之一：“化圆为方”.即在欧氏空间里面，不可能获得与一个圆的面积完全相等的正方形.林德曼的证明是冗长的，即使要对它进行简化表达，也依然十分困难.
5 最古老的教育功能
5.1 祖率和密率=德育+美育
π的计算和理论研究可以从一个侧面反映一个民族的数学水平.
据《隋书·律历志》记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间.密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五.约率，圆径七，周二十二.”这一记录指出了祖冲之关于圆周率的两大贡献：
(1)3.1415926<π<3.1415927；
(2)π的两个近似分数：约率为227、密率为355113.
有关3.1415926<π<3.1415927，我国小学六年级以上的人都知道.祖冲之算出了π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界冠军称号将近1000年!看看眼下这些过眼烟云般的体艺明星，大家理所当然要将这一结果尊称为“祖率”.而“祖率”和“徽率”也理所当然会使国人的民族自豪感得到潜移默化的强化和提升.不用质疑，这就是π的德育功能!
对于祖冲之的第二点贡献，很多人通常不太注意.可事实上恰恰是这一点在数学及美学上有更重要的意义.尤其是了不起的密率355113!为什么呢?
一方面，355113=3.14159292，它只比π值大0.000009%，精度非常之高.另一方面，密率355113在形式上十分简单，只用到了1、3、5这三个奇数，而且从分母到分子恰好是这三个数字本身的两两重叠：113355.让人很容易联想到清朝婉约派的经典名句：寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚.既优美又好记，简直令人拍案称奇!
正因为π的存在，祖冲之先生堪与天地同寿与日月争辉!在莫斯科大学最大的礼堂走廊上，镶有祖冲之的大理石塑像；在浩瀚无边的茫茫苍穹中，嵌有以祖冲之命名的小行星；在寻寻觅觅冷冷清清的月球上，也耸有以祖冲之命名的环形山……
5.2 “鲁道夫数”和“808位”=智育+体育
陈省身说过：π这个数渗透了整个数学!人类对于π的研究充满了智力的奋斗与攀登，奏响了科学世界的一曲又一曲凯歌.
5.2.1 “鲁道夫数”
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π=39271250=3.1416!
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了有3×228=805，306，368条边内接正多边形与外切正多边形的周长，求出的π值有十七位准确数字.他的结果是：π=3.14159265358979325!这是国外第一次打破祖冲之先生保持了近千年的记录.
17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研π值.他将新的十进制与老的阿基米德方法结合起来，他是从正方形开始的并将其边数翻番的，一直推导出了有262=4，610，000，000，000，000，000条边的正多边形，终于算出了小数后35位.为了纪念这一非凡成果，在德国圆周率π被称为“鲁道夫数”.
5.2.2 “808位”
1593年，韦达给出：2π=22·2+22·2+2+22…这一不寻常的公式是圆周率π最早的分析表达式.它仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π值，式子也非常漂亮.
1706年，梅钦建立了一个现以梅钦命名的公式：π4=4arctan15-arctan1239，利用数学分析中的马克劳林级数，他算到小数后100位.这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出“35位”的方法简便得多，数学分析方法也正式宣告了古典几何方法的过时.此后，对于圆周率的计算像马拉松式的竞赛，纪录一个接着一个：
1844年，达塞利用公式：π4arctan12+arctan15+arctan18算到200位.
类似的新公式不断涌现，π的位数也迅速增长.1873年，谢克斯利用梅钦的一系列分析方法，将π算到小数后707位.为了得到这项空前的纪录，他花费了二十年的宝贵时间.他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的π值.
从1944年5月到1945年5月，数学家弗格森使用了当时所能找到的最先进的计算工具整整算了一年.终于发现π值的第528位本应是4，而谢克斯墓碑上的值却误为5.从而一举推翻了谢克斯墓碑上的180位小数!这几乎把谢克斯生前二十年的宝贵光阴和一世英名全部给一笔勾销了.
时光又过去两年，弗格森和伦奇两人共同发表了有808位正确小数的π.这是人脑计算π值的最高纪录!在此不妨简单记为“808位”!
总之，我们中国有“徽率”和“密率”，人家外国有“鲁道夫数”、“谢克斯墓碑”和“808位”，围绕着既神秘又简单的永垂不朽的π，大家斗智斗勇，拼意志拼体力，演绎了一出出数坛佳话!
6 最无趣的世界纪录
电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年美国首次用计算机计算π值，一下子就突破了千位数.当时利用一台名为ENIAC的电脑，根据梅钦公式计算到2037位小数，包括准备和整理时间在内还不到三天!
1973年，有电脑就把圆周率算到了小数点后100万位，其结果被印成一本二百多页厚的书，真可谓世界上最枯燥无味的书了.
圆周率的最新计算纪录由日本人金田康正的超级计算机所创造.它于2002年算出π值1，241，100，000，000位小数，这一结果打破了1999年9月由另一台电脑所创造的206，000，000，000位小数的世界纪录.
说实话，人脑在某些方面确实不如电脑，但电脑永远不如人脑有趣!不知道为什么我总认为：电脑的12411亿位远远比不上人脑的“808位”这么跌宕起伏，电脑的12411亿位远远不如领先世界上千年的“密率”这么荡气回肠、震撼人心!
7 最铁的粉丝
传说在川陕鄂三省交界的大山之巅，有且仅有那么一笼四季长青的无名小草，三片绿叶分别伸向重庆、浙江和北京.苔花如米小，也学牡丹开.
笔者乃粗人一个，不信神不信教，从没有偶像也并不喜欢数学，但我是一个π之粉丝!我知道世界上有不少在校大学生为π过生日，还有许多望断天涯的痴心人为π写情书，但我自认为本人乃天下最铁最铁的π之粉丝!
我叫熊家永，我本人开了一家教育咨询公司，我给公司取名叫“永π”，并且把开业的时间最终定于3月14日下午1时59分26秒到27秒之间.
我爱人在浙江开了一家饭店，经营的对象主要是初高中学生，我给饭店取名叫“同学π”，并且把开业点鞭炮的时间最终定于3月14日下午1时59分26秒到27秒之间.
我儿子今年8岁，在朝阳区望京实验小学上二年级，他在5岁的时候就可以一口气背诵200位圆周率.到目前为止，只要是见到过他的人，只要是听说过哪怕一次，都会很快记住他的名字.豪不夸张地说，在学校这个圈里我儿子肯定比我有名.为此我决定深深地鞠上一躬，衷心地感谢圆周率!
因为我的儿子名叫熊兀!
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
义务教育课程标准试验教科书《数学》六年级上册p.12：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率.圆周率用字母π表示，π是一个无限不循环小数，计算时通常取3.14.
2 最常用的徽率
公元263年前后，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽提出著名的“割圆术”，他取半径为1尺的圆，从圆内接正6边形算起，再算正12边形、正24边形，一直算至正192边形，求得圆周率是39271250=3.1416≈3.14.虽然刘徽提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法有着较阿基米德方法更美妙之处.因为割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，并且其中蕴含初步的微积分思想，难能可贵，所以数学史上称3.14为“徽率”.
在日常生活以及我国现行中小学教材中，为什么只要用到圆周率常常都取3.14呢?精度要求已够只是一方面，我想“徽率”才是其中的历史渊源吧!
3 最怪诞的计算
投针实验法：找一根粗细均匀，长度为l的细针，并在一张白纸上画上一组间距为d的平行线，然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上.这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，做一个简单的除法就可以得到π的近似值.
法国数学家蒲丰证明了细针与任意平行线相交的概率为P=2lπd.利用这一公式，为了方便起见，取d=2l则π=1P.在一次实验中，他投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为2212704=3.142045455≈3.14.
虽然蒲丰投针实验计算的π值并不一定很精确，但这是数学历史上第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验来处理确定性数学问题，也是公认的计算π值最为怪诞的方法.
4 最困难的证明
4.1 π是无理数
有人说：幸福的家庭都是一样的幸福，而不幸的家庭则各有各的不幸.我们不妨作一个不一定恰当的类比：循环的小数都是一样的循环，而不循环的小数则各有各的不循环!
无限不循环的小数就是无理数，无理数当然是难以认识的，否则干嘛叫“无理”?世界上有多少人就算大学毕业了也说不清道不明的，中小学课本上总是轻描淡写一笔带过，其实也是迫不得已的无奈之举.想当年，区区一个2就直接导致了数学史上的第一次大危机，使得数系的扩展停滞不前达两千多年!早在公元前3世纪人们就认识到圆的周长和直径的比值是一个固定的数，直到1761年瑞士人兰伯特才利用高等数学知识证明了π是不可比的无理数.此后经过200多年的验证和改进，其证明的真伪性是不容置疑的，但过程相当令人费解.
4.2 π是超越数
当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不管这个数是实数还是复数，则这个数被定义为代数数.否则，就是超越数.这就是说，一个超越数不是任何一个含非零的有理数系数的多项式方程的根. 在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难.但具体地证明某一个特定的数是超越数，在历史上是一件十分困难的事情.1873年，法国数学家Hermite给出了无理数e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难.他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明π的超越性.如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了.”
又过了9年时间，德国数学家林德曼终于证明了圆周率π也是一个超越数.这个证明彻底否决了尺规作图的千古难题之一：“化圆为方”.即在欧氏空间里面，不可能获得与一个圆的面积完全相等的正方形.林德曼的证明是冗长的，即使要对它进行简化表达，也依然十分困难.
5 最古老的教育功能
5.1 祖率和密率=德育+美育
π的计算和理论研究可以从一个侧面反映一个民族的数学水平.
据《隋书·律历志》记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间.密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五.约率，圆径七，周二十二.”这一记录指出了祖冲之关于圆周率的两大贡献：
(1)3.1415926<π<3.1415927；
(2)π的两个近似分数：约率为227、密率为355113.
有关3.1415926<π<3.1415927，我国小学六年级以上的人都知道.祖冲之算出了π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界冠军称号将近1000年!看看眼下这些过眼烟云般的体艺明星，大家理所当然要将这一结果尊称为“祖率”.而“祖率”和“徽率”也理所当然会使国人的民族自豪感得到潜移默化的强化和提升.不用质疑，这就是π的德育功能!
对于祖冲之的第二点贡献，很多人通常不太注意.可事实上恰恰是这一点在数学及美学上有更重要的意义.尤其是了不起的密率355113!为什么呢?
一方面，355113=3.14159292，它只比π值大0.000009%，精度非常之高.另一方面，密率355113在形式上十分简单，只用到了1、3、5这三个奇数，而且从分母到分子恰好是这三个数字本身的两两重叠：113355.让人很容易联想到清朝婉约派的经典名句：寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚.既优美又好记，简直令人拍案称奇!
正因为π的存在，祖冲之先生堪与天地同寿与日月争辉!在莫斯科大学最大的礼堂走廊上，镶有祖冲之的大理石塑像；在浩瀚无边的茫茫苍穹中，嵌有以祖冲之命名的小行星；在寻寻觅觅冷冷清清的月球上，也耸有以祖冲之命名的环形山……
5.2 “鲁道夫数”和“808位”=智育+体育
陈省身说过：π这个数渗透了整个数学!人类对于π的研究充满了智力的奋斗与攀登，奏响了科学世界的一曲又一曲凯歌.
5.2.1 “鲁道夫数”
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π=39271250=3.1416!
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了有3×228=805，306，368条边内接正多边形与外切正多边形的周长，求出的π值有十七位准确数字.他的结果是：π=3.14159265358979325!这是国外第一次打破祖冲之先生保持了近千年的记录.
17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研π值.他将新的十进制与老的阿基米德方法结合起来，他是从正方形开始的并将其边数翻番的，一直推导出了有262=4，610，000，000，000，000，000条边的正多边形，终于算出了小数后35位.为了纪念这一非凡成果，在德国圆周率π被称为“鲁道夫数”.
5.2.2 “808位”
1593年，韦达给出：2π=22·2+22·2+2+22…这一不寻常的公式是圆周率π最早的分析表达式.它仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π值，式子也非常漂亮.
1706年，梅钦建立了一个现以梅钦命名的公式：π4=4arctan15-arctan1239，利用数学分析中的马克劳林级数，他算到小数后100位.这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出“35位”的方法简便得多，数学分析方法也正式宣告了古典几何方法的过时.此后，对于圆周率的计算像马拉松式的竞赛，纪录一个接着一个：
1844年，达塞利用公式：π4arctan12+arctan15+arctan18算到200位.
类似的新公式不断涌现，π的位数也迅速增长.1873年，谢克斯利用梅钦的一系列分析方法，将π算到小数后707位.为了得到这项空前的纪录，他花费了二十年的宝贵时间.他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的π值.
从1944年5月到1945年5月，数学家弗格森使用了当时所能找到的最先进的计算工具整整算了一年.终于发现π值的第528位本应是4，而谢克斯墓碑上的值却误为5.从而一举推翻了谢克斯墓碑上的180位小数!这几乎把谢克斯生前二十年的宝贵光阴和一世英名全部给一笔勾销了.
时光又过去两年，弗格森和伦奇两人共同发表了有808位正确小数的π.这是人脑计算π值的最高纪录!在此不妨简单记为“808位”!
总之，我们中国有“徽率”和“密率”，人家外国有“鲁道夫数”、“谢克斯墓碑”和“808位”，围绕着既神秘又简单的永垂不朽的π，大家斗智斗勇，拼意志拼体力，演绎了一出出数坛佳话!
6 最无趣的世界纪录
电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年美国首次用计算机计算π值，一下子就突破了千位数.当时利用一台名为ENIAC的电脑，根据梅钦公式计算到2037位小数，包括准备和整理时间在内还不到三天!
1973年，有电脑就把圆周率算到了小数点后100万位，其结果被印成一本二百多页厚的书，真可谓世界上最枯燥无味的书了.
圆周率的最新计算纪录由日本人金田康正的超级计算机所创造.它于2002年算出π值1，241，100，000，000位小数，这一结果打破了1999年9月由另一台电脑所创造的206，000，000，000位小数的世界纪录.
说实话，人脑在某些方面确实不如电脑，但电脑永远不如人脑有趣!不知道为什么我总认为：电脑的12411亿位远远比不上人脑的“808位”这么跌宕起伏，电脑的12411亿位远远不如领先世界上千年的“密率”这么荡气回肠、震撼人心!
7 最铁的粉丝
传说在川陕鄂三省交界的大山之巅，有且仅有那么一笼四季长青的无名小草，三片绿叶分别伸向重庆、浙江和北京.苔花如米小，也学牡丹开.
笔者乃粗人一个，不信神不信教，从没有偶像也并不喜欢数学，但我是一个π之粉丝!我知道世界上有不少在校大学生为π过生日，还有许多望断天涯的痴心人为π写情书，但我自认为本人乃天下最铁最铁的π之粉丝!
我叫熊家永，我本人开了一家教育咨询公司，我给公司取名叫“永π”，并且把开业的时间最终定于3月14日下午1时59分26秒到27秒之间.
我爱人在浙江开了一家饭店，经营的对象主要是初高中学生，我给饭店取名叫“同学π”，并且把开业点鞭炮的时间最终定于3月14日下午1时59分26秒到27秒之间.
我儿子今年8岁，在朝阳区望京实验小学上二年级，他在5岁的时候就可以一口气背诵200位圆周率.到目前为止，只要是见到过他的人，只要是听说过哪怕一次，都会很快记住他的名字.豪不夸张地说，在学校这个圈里我儿子肯定比我有名.为此我决定深深地鞠上一躬，衷心地感谢圆周率!
因为我的儿子名叫熊兀!
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
