万有引力重点知识梳理和分析
顾国富
例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人.若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出 （）
估算天体质量和密度时应注意的问题：
（1）利用万有引力提供天体做网周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
2.极地卫星、近地卫星和同步卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球白转，极地卫星可以实现全球覆盖.
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速网周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
（3）同步通信卫星与地面保持相对静止，同步通信卫星的轨道平面一定与地球的赤道平面重合，同步通信卫星的周期与地球白转周期相同为24 h，为一定值，所以同步通信卫星的轨道半径也是一个定值，离开地球表面的距离约为36 000 km.同步通信卫星的轨道半径是一个定值，有关同步通信卫星运动学的量速率、角速度、向心加速度均为定值.
（4）各种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
例2 （2013.广东）如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
答案A
例4 2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图2所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道I进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点.下列关于“嫦娥三号”的運动，正确的说法是
（）
A.发射速度一定大于7.9 km/s
B.在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大
C.在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道I上经过P的速度
D.在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道I上经过P的加速度
解析“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，A正确.在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大，选项B正确.“嫦娥三号”从轨道I上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道I上经过P的速度，选项C正确.在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道I上经过P的加速度，D错.
答案 ABC
例5 如图3所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km、周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则
（）
A.卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B.卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道I上经过P点时的大
C.卫星在轨道Ⅲ上运行周期比在轨道I上短
D.卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道I上长
解析 月球的第一宇宙速度是指环绕月球表面运行的月球卫星速度，轨道Ⅲ的半径大于月球半径，所以卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，A对.卫星在P点从轨道I变轨进入轨道Ⅲ上需要减速，所以卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道I上经过P点时的小，B错.由于轨道Ⅲ的半径小于轨道I的半长轴，所以卫星在轨道Ⅲ上运行周期比在轨道I上短，C对D错.
答案AC
2.第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速网周运动时具有的速度.
3.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度.
注意（1）两种周期——白转周期和公转周期的不同.
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度.
（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同.
（4）第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：V3=16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
例6 “伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围.此后在t秒内绕木星运行Ⅳ圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁.设这Ⅳ圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ（如图4所示），设木星为一球体.求：
（1）木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径：
（2）木星的第一宇宙速度.
例7 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统.在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统.设某双星系统A、B绕其连线上的（）点做匀速圆周运动，如图6所示.若AO >OB，则
（）
A.星球A的质量一定大于星球B的质量
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C.双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
答案BD
例8 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上.已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是（）
例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人.若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出 （）
估算天体质量和密度时应注意的问题：
（1）利用万有引力提供天体做网周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
2.极地卫星、近地卫星和同步卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球白转，极地卫星可以实现全球覆盖.
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速网周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
（3）同步通信卫星与地面保持相对静止，同步通信卫星的轨道平面一定与地球的赤道平面重合，同步通信卫星的周期与地球白转周期相同为24 h，为一定值，所以同步通信卫星的轨道半径也是一个定值，离开地球表面的距离约为36 000 km.同步通信卫星的轨道半径是一个定值，有关同步通信卫星运动学的量速率、角速度、向心加速度均为定值.
（4）各种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
例2 （2013.广东）如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
答案A
例4 2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图2所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道I进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点.下列关于“嫦娥三号”的運动，正确的说法是
（）
A.发射速度一定大于7.9 km/s
B.在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大
C.在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道I上经过P的速度
D.在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道I上经过P的加速度
解析“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，A正确.在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大，选项B正确.“嫦娥三号”从轨道I上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道I上经过P的速度，选项C正确.在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道I上经过P的加速度，D错.
答案 ABC
例5 如图3所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km、周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则
（）
A.卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B.卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道I上经过P点时的大
C.卫星在轨道Ⅲ上运行周期比在轨道I上短
D.卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道I上长
解析 月球的第一宇宙速度是指环绕月球表面运行的月球卫星速度，轨道Ⅲ的半径大于月球半径，所以卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，A对.卫星在P点从轨道I变轨进入轨道Ⅲ上需要减速，所以卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道I上经过P点时的小，B错.由于轨道Ⅲ的半径小于轨道I的半长轴，所以卫星在轨道Ⅲ上运行周期比在轨道I上短，C对D错.
答案AC
2.第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速网周运动时具有的速度.
3.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度.
注意（1）两种周期——白转周期和公转周期的不同.
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度.
（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同.
（4）第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：V3=16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
例6 “伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围.此后在t秒内绕木星运行Ⅳ圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁.设这Ⅳ圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ（如图4所示），设木星为一球体.求：
（1）木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径：
（2）木星的第一宇宙速度.
例7 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统.在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统.设某双星系统A、B绕其连线上的（）点做匀速圆周运动，如图6所示.若AO >OB，则
（）
A.星球A的质量一定大于星球B的质量
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C.双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
答案BD
例8 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上.已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是（）
