九宫图的教与学

金绍鑫
北师大版教科书七年级数学第二章有理数及其运算,多次安排了在3×3的小方格里填数的习题. 其中,把1、2、3…8、9这九个自然数填进小方格,并且使图中各行、列及斜对角的三个数字之和都相等的图形,叫做九宫图(如图1),这是一个古老的称谓. 古书上记载:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,载九履一,五居中央. ”


关于九宫图,北师大版教科书正文并没有作介绍,与之相关的几处习题都安排在“联系拓广”部分,有的题还加了星号,其用意是把它们作为有理数的加减运算的拓展练习. 因此,很多教师对此没有引起足够的重视,常常是一带而过. 我认为,这段内容还有以下几个特点:首先,它有趣,能吸引学生;其次,它有探索性,便于自主探索和合作交流;其三,可突出“转化”这一重要数学思想的教学;其四,有较强的延伸性和研究价值. 教科书的习题安排是有讲究的. 下面,我们来看看教科书的习题安排以及应采取的相应的教学措施.
第二章第4节有理数的加法中习题2.5的“联系拓广”中带星号的题:“将-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8这九个数分别填入图中(笔者注:即图2)的九个空格中,使得每行的三个数,每列的三个数,斜对角的三个数之和均为0”. (结果为图3)老师可视情况采取两种教学方式:若学生基础较好,将上题作为家庭作业,让其自主探索,而后根据作业情况,做相应的指导点评;若学生基础不好,老师可将该题作为例题讲解,讲解时提示学生思考:这九个数的和为多少?每行、列、斜对角的和应各为多少?这九个数有哪些特点?猜想0应填在什么位置?一对相反数应填在什么位置?讲完例后,再将题中九个数改为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4让学生完成. 有的学生可能很快填出正确结果,有的学生可能填错或未填出,老师要提示学生进行行列调整,然后验算,直至填出正确结果(结果为图4). 最后让同座的同学对照一下,填出的的图形是不是完全一样?有没有不一样的地方?不同形式的两个图形能不能互化,总共有几种形式?为后边的学习埋下伏笔. 这实际上是九宫图教学的初级阶段——感受体验,做好铺垫. 由于此时才学有理数的加法,不便对-8、-6、-4、-2、0、2、4、6、8与-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4进行互化,它们之间的联系要待后继学习之后再建立.
接下来,有理数的减法中的习题2.6“联系拓广”中的两个题:“1.下面是一个方阵图(笔者注:图4),每行的3个数,每列的3个数,斜对角的3个数之和均相等.如果将方阵图中的每个数都加上同一个数,那么方阵中的每行的3个数,每列的3个数,斜对角的3个数之和仍然均相等,这样就形成了一个新的方阵图. 根据下图(笔者注:即图5、图6、图7)中给出的数,对照原来的方阵图,你能完成下面的方阵图吗? *2.在下图(笔者注:即图2)的9个方格中分别填入1,2,3,4,5,6,7,8,9,使得每行的3个数,每列的3个数,斜对角的3个数之和均相等”. 以后在教科书总复习中还出现过填方阵图的题. 这里的第1题给出图4方阵,让学生按要求将其变为新方阵,老师可先让学生将图4中的每个数都加上1得出一个新方阵,再让他们验算新方阵的行、列、斜对角的3个数是否相等,接着又让学生将图4中的每个数都减去1得出一个新方阵,再让他们验算新方阵的行、列、斜对角的3个数是否相等,作此铺垫后,再引导学生观察:图4第一行与图5第一行发生了什么变化?据此变化图5的第二、三行应填什么数?图4中的1、0、-1分别比图6中的-2、-3、-4大多少?图6的其余小方格应填什么数?图7呢?(第1题结果为图8、图9、图10)完成第1题一是为了培养观察能力,二是为了巩固强化有理数的加减运算,三是为第2题做准备,可谓一题三效,不可小视. 第2题就是填九宫图,题目加了星号,照说比较难,若将它提前到习题2.5中,或孤立地完成第2题,的确比较难,但这里有第1题的方法作铺垫就不太难了. 因为1,2,3,4,5,6,7,8,9每个数都减去5,就得到-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,而这九个数的填法第1题已经提供,那么再对图4的小方格中的数都加上5,立刻就得到九宫图. 这里“转化思想”起了决定性的作用. 教学时老师一定要让学生观察1,2,3,4,5,6,7,8,9与-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4的联系,让他们自己去悟出九宫图的填法,从而突出转化思想的教学. 第1题的方法还启示我们:不仅图4可以化为九宫图,九宫图也可以施行一定的加减运算,变成它的变式图形,当然这时的图形就不再叫九宫图了. 后面学了有理数的乘除,方阵图的变化更多更方便,上述方阵图之间均可以互化,例如图3与图4之间的互化. 由此看出九宫图的教学对学生学好有理数运算,强化思维训练的确是很有意义的. 学生只要掌握了转化思想方法,不仅对于填出九宫图不会觉得难,而且还会兴趣盎然地深入研究下去,甚至对学习其它数学知识产生积极影响(有条件的班级可将十六宫图、二十五宫图作为研究性学习内容). 这里,老师的教学一是要注意激趣,比如向学生介绍一些九宫图的传说,九宫图自身的八种表现形式等;二是要进行变式教学和沟通前后的联系. 例如,九宫图怎样变为图4?图8、图9、图10能不能变成九宫图?每种图是不是都有八种表现形式?老师还可根据自己班情设计其它类型的题目. 习题完成后,作为反思,老师应向学生指出:上述图形虽可生出很多变化,但万变不离其宗,这里的宗,就是每个图中各行、列及斜对角的三个数字之和都相等. 抓住了这个根本,九宫图可转化为它的变式图,它的变式图(九个数成等差数列)也可转化为九宫图. 最后老师还可让学生回味思考:图4是怎样填出来的呢?填图4时,首先应填那个数,填在什么位置,为什么?它有什么决定性的作用?四个角的数与四边中间小方格的数有何特点,四个角的数能不能分别填入四边中间小方格?又为后边的学习进一步埋下伏笔. 这是九宫图教学的中级阶段——联系比较,变式训练.


到了期末总复习,再做类似于九宫图这样的题目时,应当站得更高一些,从方程角度来研究. 比如,九宫图正中间的小方格为什么要填5,能不能填其它的数?待学了方程组之后,还可从方程组角度研究. 这是九宫图教学的高级阶段——融会贯通,深化认识. 作为复习,教学时首先应启发学生回顾九宫图的填法及其变式图形(图4)的填法,因为它们之间存在等价关系,若忘了九宫图的填法,可以通过先填出图四后再填出九宫图,显然图四的填法更简单更容易掌握. 应当说,前面的学习,使学生对九宫图有了一些了解,但认识是肤浅的,还处于感性认识阶段. 总复习时,再从方程角度来研究,不仅可以深化对九宫图的认识,使之从感性认识上升到理性认识,还可以突出方程思想的教学,渗透推理证明,可谓一举几得. 老师们不要轻易丢失了这一宝贵的教学资源.
下面我们从方程(组)的角度来研究九宫图的填法,供老师们参考.
首先,证明九宫图正中间的小方格只能填5. 设九宫图正中间的小方格的数为x. 因为1,2,3,4,5,6,7,8,9之和为45,所以各行、列、斜对角的三个数之和都等于15.取中间一行的三个数、中间一列的三个数以及两组斜对角的三个数,它们的和是15×4;另一方面,它们的和等于1,2,3,4,5,6,7,8,9之和再加上3x,即有45+3x=15×4,解得x=5. 所以九宫图正中间的小方格只能填5. 再证明偶数只能占四个角. ①一组斜对角的三个数之和为15,而正中间是5,则另两个数不可能一奇一偶;②假如1,5,9在一组斜对角,则3,7就不能在另一组斜对角,否则一行或一列的三个数之和超过15了. 同理2,8或4,6也不能在另一组斜对角,所以1,9不能与5共一组斜对角;③假如3,5,7在一组斜对角,则另一组斜对角只能含4,6,则4与7必在同一行或同一列,该行或列就会重复出现4,与题设矛盾,所以四个角不能都是奇数,也不能一对奇数一对偶数,即四个角全为偶数,显然2,5,8在一组斜对角,4,5,6在另一组斜对角. 那么四个奇数的位置也就唯一确定了. 老师向学生讲解完后,作为巩固练习,可让学生完成对图四的证明,进一步解决前边学习留下的悬念. 或者老师讲图四的证明,学生完成九宫图的证明. 采取哪种方式,完全取决于班上学生情况.
九宫图的教与学是一段难得的好教材. 它对于培养学生热爱数学,热爱生活,勤于思考,勇于探索,并学会如何观察问题,如何发现问题,如何转化分析,如何证明结论,如何总结提炼都有重要作用,老师们应当尽力挖掘教科书的潜在教育功能,既注意眼前的近期目标,又注意未来的长远目标.
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