数学教科书中“勾股定理”编写存在的问题
朱 哲
勾股定理在几何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性. 在数学教科书中，勾股定理一般出现在八年级，而八年级被认为是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维转变的时期. 所以可以说，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段. 但另一方面，勾股定理的教学却始终是一个难点. 虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；而且，从让学生体验知识发现过程的角度讲，要想让学生“再发现”勾股定理更是难上加难.[1]所以有人说，看一个国家的数学教育水平，只要看看勾股定理，他们的教材是怎样编的，他们的教师是怎样教的，就可略知一二.
基于这些理由，本文选取在国内被广泛使用的人民教育出版社、华东师范大学出版社和北京师范大学出版社出版的三套《数学》教科书，从微观层面来考察其中“勾股定理”部分的编写. 在研究过程中，我们发现一些由于编写者疏落或失误造成的问题. 这些问题有可能对学生的学习及今后的发展产生一定的负面影响. 那么我们有必要指出这些错误，并希望编写者在教科书修订时做出修正和改进.
1 引言的设计
三种教科书在这一章的开始都有引言和题图. 比如人教社版《数学》，放置了2002年国际数学家大会会场的照片，其中会徽非常醒目；照片旁边有三段文字作为这一章的引言. 其中第一段有这么一句话：
后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方. 你能发现这个关系吗?
笔者认为这段话存在两个问题. 第一，在引言部分就把结论明确地告诉学生，那么其后的“观察”、“探究”和“猜想”还有什么意义?第二，把结论告诉学生后再问学生你能发现它吗，同样没有任何意义. 就好象问一个已经吃好饭的人，你想吃饭吗?
我们认为，引言可以提出一个具体的问题情境来导入本章的学习，也可以给出本章的学习目标让学生明确这一章要学习什么. 但不可以把需要探究和猜想的结论展现在学生面前.
图1
人教社版《数学》还有一处类似的错误，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人画直角的方法来引入的，随后配了一幅插图(图1). 但是令人沮丧的是，从穿着看，画面中的人是古希腊人，而非古埃及人. 这个小错误对学生的数学学习也许不会产生大的影响，但是作为国家权威教科书出版单位，犯如此低级的错误也是不应该的.
2 定理的发现
数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子. 不过，在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上有两个难解的困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生；②勾股定理的证明有难度，一般来说学生很难自行探究，寻得解决的方法.[2]教师通常是依据教科书来进行教学的，那么，我们来看一下教科书是如何设计的.
华师大版《数学》第48页安排了“试一试”：
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.
笔者认为，这个活动设计得非常不好. 为什么?一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生猜想三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已经不是十分容易的事(比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有学生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 教科书这样设计和处理，容易导致学生盲目的探究和盲目的猜想，在这“盲目”上浪费了不少时间，而且没有多大意义和价值.
3 勾股定理是“发现”而非“发明”的
华师大版《数学》第55页安排了“阅读材料”：《勾股定理史话》. 其中有这样一段话(下划线为本文作者所加)：
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的. 国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯(Pythagoras)学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.
这里有两处错误. 第一，勾股定理是“发现”还是“发明”的?我们知道，发明是创造，一种从无到有的过程；而发现是一种本来就有，从不认识到认识的过程. 那么，数学定理的证明方法，可以是一种从无到有的发明过程，而定理本身本来就存在，而后被人发现的. 教科书中一段话里对定理的产生使用了发明和发现这两个词语，就有一定矛盾和混乱. 第二，并不是因为毕达哥拉斯或其学派首先发现定理，而是因为在数学史上有明确记载，毕达哥拉斯或其学派首先证明该定理，才被称为毕达哥拉斯定理的. 同样的错误，我们可以在人教社版《数学》上看到，第74页有个小标签，上面写着：
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理.
相比较而言，北师大版《数学》则相对比较准确. 第8页有一则“读一读”：《勾股世界》. 最后一段话：
相传两千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
4 问题情境应避免“人为”的创设
北师大版《数学》设置问题情境，用“旗杆问题”来引入新课题. 该问题是：
强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高?
对于这一问题，如果考虑该题的现实性和科学性，横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量(唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米). 所以这个问题的设计并不合理. 相对而言，教科书中的“梯子问题”在合理性上难以找到瑕疵. 比如华师大版《数学》第50页在给出勾股定理后安排了例1：
如图(图略)，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB. (精确到0.01米)
这里，梯子的长度是容易测量的，BC的长度也是容易测量的，而垂直距离AB确实是难测量的. 因为难以测量，我们便求助于计算，求助于数学. 这样就体现了数学是有用的.
我们再来看北师大版《数学》第9页例1：
我方侦察员小王在距离东西公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶. 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
从情境的合理性和科学性角度考虑，这一题应该问题不大；但我们来看另外一题：
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米. 飞机每时飞行多少千米?
这一题出现在修订前的北师大版《数学》中，与前一题在本质上是一模一样的. 如果考虑一下这个4000米和5000米是小男孩或旁观者通过什么途径测到的，就不难明白，为什么教科书修订时把这一题改成前一题了.
我们再来看一题，北师大版《数学》第3节《蚂蚁怎样走最近》中安排了“随堂练习”：
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险. 某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走. 1时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多远?”
我们在一本美国的几何教材《发现几何》第9.3节的练习B中看到了这道题目的原型[3]：
在火星正午时间，朗达·本德博士离开美国火星研究站，以60千米/时向东行进. 1小时后I.M.布赖特教授离开同一研究站，以50千米/时向北行进，去观察极地冰帽. 火星时间下午3时，博士与教授相距多远?答案精确到千米.
从这两个问题的表述上看，《发现几何》比北师大版《数学》更具想象和充满冒险. 北师大版《数学》只把学生带进沙漠，而《发现几何》却把学生带到了火星. 北师大版《数学》是让学生解决数学问题，或者说是“做数学”；而《发现几何》不仅是“做数学”，更是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的.
笔者这里举了几个例子，是想说明教科书编写者在设计习题时采用不同的观念，有的是为数学而问题，有的是为学生而问题，或者为生活而问题. 不同的观念导致习题是“人为”还是“为人(学生)”的区别. 比如，“人为”的问题，为数学而问题，问题都是围绕数学而编写、杜撰的(前文那个“旗杆问题”就是为数学而数学). 从数学角度讲，它也许是严谨的，完美的，但它也许远离了学生的现实生活，也远离了学生的想象世界. 事实上，教科书在编写时，应该从学生出发，考虑问题情境的科学性和合理性，避免出现“人为”的题目.
5 赵爽的证明方法
赵爽如何利用弦图证明勾股定理，在数学史研究中是有争议的. 钱宝琮先生认为他采用代数方法，利用面积计算；而吴文俊、李文林先生则认为他采用几何方法，利用出入相补原理. 事实上，代数观点比较容易解释赵爽的文字，但这种思维方式不太符合赵爽时代的人们的数学思维习惯.
我们看到，对这样未形成定论的内容，教科书在处理时却显得有些草率.
人教社版《数学》在73页，明确给出了赵爽利用弦图证明勾股定理的基本思路，这是一种几何方法，用出入相补原理来证明的.
华师大版《数学》在52页安排了“读一读”，介绍了弦图和赵爽；之前“试一试”使用拼图和计算面积验证(或者证明)了勾股定理. 课文中没有明确给出赵爽的证明方法，但联系上下文，容易让学生认为赵爽是使用代数方法证明勾股定理.
北师大版《数学》第8页和第9页介绍了证明方法，将大正方形分割成四个直角三角形和一个正方形，然后通过计算面积验证勾股定理. 虽然没有明确指出赵爽的方法，但显然编者认为他是采用代数方法. 其后12页介绍了刘徽用出入相补原理证明勾股定理，但没有从几何方法介绍赵爽的弦图.
我们认为，对于未有定论的内容，教科书就不应该草率地把某种观点强加给学生，不可以对学生说，赵爽就是用这种代数方法证明勾股定理的，或者说赵爽就是用这种出入相补原理证明的. 数学教科书在涉及数学史时要特别注意一个问题，即在向学生展示史实，展示重要事件、重要人物与重要成果时，要尊重历史. 尊重历史就是要展现历史的本来面目，不能歪曲历史而误导学生，对有争议的以及没有最终定论的题材应给学生必要的说明. [4]所以，比较合理的做法是，教科书先重点介绍其中一种证法，随后简单介绍另一种，同时声明本书倾向于前一种观点；而学生可以接受前一种，也可以是后一种观点. 不过，不管是哪一种，学生都应该经过自己的思考，要有接受这一观点的理由.
参考文献
[1] 鲍建生，王洁，顾泠沅.聚焦课堂——课堂教学视频案例的研究与制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.
[2] 顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社，2003.444.
[3] [美]迈克尔·塞拉.发现几何：一种归纳的方法[M].李翼忠，刘仁苏，蔡上鹤，等.北京：人民教育出版社，2000.352.
[4] 朱哲，张维忠.从赵爽弦图证明谈数学史教学应尊重历史[J].中学数学月刊，2005，(10)：12-14.
勾股定理在几何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性. 在数学教科书中，勾股定理一般出现在八年级，而八年级被认为是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维转变的时期. 所以可以说，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段. 但另一方面，勾股定理的教学却始终是一个难点. 虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；而且，从让学生体验知识发现过程的角度讲，要想让学生“再发现”勾股定理更是难上加难.[1]所以有人说，看一个国家的数学教育水平，只要看看勾股定理，他们的教材是怎样编的，他们的教师是怎样教的，就可略知一二.
基于这些理由，本文选取在国内被广泛使用的人民教育出版社、华东师范大学出版社和北京师范大学出版社出版的三套《数学》教科书，从微观层面来考察其中“勾股定理”部分的编写. 在研究过程中，我们发现一些由于编写者疏落或失误造成的问题. 这些问题有可能对学生的学习及今后的发展产生一定的负面影响. 那么我们有必要指出这些错误，并希望编写者在教科书修订时做出修正和改进.
1 引言的设计
三种教科书在这一章的开始都有引言和题图. 比如人教社版《数学》，放置了2002年国际数学家大会会场的照片，其中会徽非常醒目；照片旁边有三段文字作为这一章的引言. 其中第一段有这么一句话：
后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方. 你能发现这个关系吗?
笔者认为这段话存在两个问题. 第一，在引言部分就把结论明确地告诉学生，那么其后的“观察”、“探究”和“猜想”还有什么意义?第二，把结论告诉学生后再问学生你能发现它吗，同样没有任何意义. 就好象问一个已经吃好饭的人，你想吃饭吗?
我们认为，引言可以提出一个具体的问题情境来导入本章的学习，也可以给出本章的学习目标让学生明确这一章要学习什么. 但不可以把需要探究和猜想的结论展现在学生面前.
图1
人教社版《数学》还有一处类似的错误，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人画直角的方法来引入的，随后配了一幅插图(图1). 但是令人沮丧的是，从穿着看，画面中的人是古希腊人，而非古埃及人. 这个小错误对学生的数学学习也许不会产生大的影响，但是作为国家权威教科书出版单位，犯如此低级的错误也是不应该的.
2 定理的发现
数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子. 不过，在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上有两个难解的困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生；②勾股定理的证明有难度，一般来说学生很难自行探究，寻得解决的方法.[2]教师通常是依据教科书来进行教学的，那么，我们来看一下教科书是如何设计的.
华师大版《数学》第48页安排了“试一试”：
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.
笔者认为，这个活动设计得非常不好. 为什么?一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生猜想三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已经不是十分容易的事(比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有学生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 教科书这样设计和处理，容易导致学生盲目的探究和盲目的猜想，在这“盲目”上浪费了不少时间，而且没有多大意义和价值.
3 勾股定理是“发现”而非“发明”的
华师大版《数学》第55页安排了“阅读材料”：《勾股定理史话》. 其中有这样一段话(下划线为本文作者所加)：
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的. 国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯(Pythagoras)学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.
这里有两处错误. 第一，勾股定理是“发现”还是“发明”的?我们知道，发明是创造，一种从无到有的过程；而发现是一种本来就有，从不认识到认识的过程. 那么，数学定理的证明方法，可以是一种从无到有的发明过程，而定理本身本来就存在，而后被人发现的. 教科书中一段话里对定理的产生使用了发明和发现这两个词语，就有一定矛盾和混乱. 第二，并不是因为毕达哥拉斯或其学派首先发现定理，而是因为在数学史上有明确记载，毕达哥拉斯或其学派首先证明该定理，才被称为毕达哥拉斯定理的. 同样的错误，我们可以在人教社版《数学》上看到，第74页有个小标签，上面写着：
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理.
相比较而言，北师大版《数学》则相对比较准确. 第8页有一则“读一读”：《勾股世界》. 最后一段话：
相传两千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
4 问题情境应避免“人为”的创设
北师大版《数学》设置问题情境，用“旗杆问题”来引入新课题. 该问题是：
强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高?
对于这一问题，如果考虑该题的现实性和科学性，横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量(唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米). 所以这个问题的设计并不合理. 相对而言，教科书中的“梯子问题”在合理性上难以找到瑕疵. 比如华师大版《数学》第50页在给出勾股定理后安排了例1：
如图(图略)，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB. (精确到0.01米)
这里，梯子的长度是容易测量的，BC的长度也是容易测量的，而垂直距离AB确实是难测量的. 因为难以测量，我们便求助于计算，求助于数学. 这样就体现了数学是有用的.
我们再来看北师大版《数学》第9页例1：
我方侦察员小王在距离东西公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶. 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
从情境的合理性和科学性角度考虑，这一题应该问题不大；但我们来看另外一题：
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米. 飞机每时飞行多少千米?
这一题出现在修订前的北师大版《数学》中，与前一题在本质上是一模一样的. 如果考虑一下这个4000米和5000米是小男孩或旁观者通过什么途径测到的，就不难明白，为什么教科书修订时把这一题改成前一题了.
我们再来看一题，北师大版《数学》第3节《蚂蚁怎样走最近》中安排了“随堂练习”：
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险. 某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走. 1时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多远?”
我们在一本美国的几何教材《发现几何》第9.3节的练习B中看到了这道题目的原型[3]：
在火星正午时间，朗达·本德博士离开美国火星研究站，以60千米/时向东行进. 1小时后I.M.布赖特教授离开同一研究站，以50千米/时向北行进，去观察极地冰帽. 火星时间下午3时，博士与教授相距多远?答案精确到千米.
从这两个问题的表述上看，《发现几何》比北师大版《数学》更具想象和充满冒险. 北师大版《数学》只把学生带进沙漠，而《发现几何》却把学生带到了火星. 北师大版《数学》是让学生解决数学问题，或者说是“做数学”；而《发现几何》不仅是“做数学”，更是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的.
笔者这里举了几个例子，是想说明教科书编写者在设计习题时采用不同的观念，有的是为数学而问题，有的是为学生而问题，或者为生活而问题. 不同的观念导致习题是“人为”还是“为人(学生)”的区别. 比如，“人为”的问题，为数学而问题，问题都是围绕数学而编写、杜撰的(前文那个“旗杆问题”就是为数学而数学). 从数学角度讲，它也许是严谨的，完美的，但它也许远离了学生的现实生活，也远离了学生的想象世界. 事实上，教科书在编写时，应该从学生出发，考虑问题情境的科学性和合理性，避免出现“人为”的题目.
5 赵爽的证明方法
赵爽如何利用弦图证明勾股定理，在数学史研究中是有争议的. 钱宝琮先生认为他采用代数方法，利用面积计算；而吴文俊、李文林先生则认为他采用几何方法，利用出入相补原理. 事实上，代数观点比较容易解释赵爽的文字，但这种思维方式不太符合赵爽时代的人们的数学思维习惯.
我们看到，对这样未形成定论的内容，教科书在处理时却显得有些草率.
人教社版《数学》在73页，明确给出了赵爽利用弦图证明勾股定理的基本思路，这是一种几何方法，用出入相补原理来证明的.
华师大版《数学》在52页安排了“读一读”，介绍了弦图和赵爽；之前“试一试”使用拼图和计算面积验证(或者证明)了勾股定理. 课文中没有明确给出赵爽的证明方法，但联系上下文，容易让学生认为赵爽是使用代数方法证明勾股定理.
北师大版《数学》第8页和第9页介绍了证明方法，将大正方形分割成四个直角三角形和一个正方形，然后通过计算面积验证勾股定理. 虽然没有明确指出赵爽的方法，但显然编者认为他是采用代数方法. 其后12页介绍了刘徽用出入相补原理证明勾股定理，但没有从几何方法介绍赵爽的弦图.
我们认为，对于未有定论的内容，教科书就不应该草率地把某种观点强加给学生，不可以对学生说，赵爽就是用这种代数方法证明勾股定理的，或者说赵爽就是用这种出入相补原理证明的. 数学教科书在涉及数学史时要特别注意一个问题，即在向学生展示史实，展示重要事件、重要人物与重要成果时，要尊重历史. 尊重历史就是要展现历史的本来面目，不能歪曲历史而误导学生，对有争议的以及没有最终定论的题材应给学生必要的说明. [4]所以，比较合理的做法是，教科书先重点介绍其中一种证法，随后简单介绍另一种，同时声明本书倾向于前一种观点；而学生可以接受前一种，也可以是后一种观点. 不过，不管是哪一种，学生都应该经过自己的思考，要有接受这一观点的理由.
参考文献
[1] 鲍建生，王洁，顾泠沅.聚焦课堂——课堂教学视频案例的研究与制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.
[2] 顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社，2003.444.
[3] [美]迈克尔·塞拉.发现几何：一种归纳的方法[M].李翼忠，刘仁苏，蔡上鹤，等.北京：人民教育出版社，2000.352.
[4] 朱哲，张维忠.从赵爽弦图证明谈数学史教学应尊重历史[J].中学数学月刊，2005，(10)：12-14.
