由课本中“实验与探究”引出的中考题
陈良俊 曾凤菊
1 课本中的“实验与探究”中的问题
1.1 原问题与解答
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级《数学》下册第116页“实验与探究”中有如下问题(下称原问题)：
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形A1B1C1D1的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形的面积的14，想一想为什么?
图1 图2 图3要解决此题，可以先从特殊情况考虑，当正方形绕点O转动到如图2所示的位置，即A1O、C1O分别与正方形ABCD的对角线重合，此时两个正方形重叠部分是△OAB，其面积显然等于一个正方形的面积的14.
当正方形A1B1C1O绕点O转动到如图1所示的位置时，可以将一般情况转化为特殊情况了解决.
方法1 如图1，由题设易得∠AOB=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF，△AOB≌△BOF，从而得S┧谋咝蜲EBF=S△AOB=14S┱方形ABCD.
方法2 如图3，过O点分别作OG⊥AB，OH⊥BC，垂足分别为G、H，易证△OEG≌△OFH，从而得S┧谋咝蜲EBF=S┱方形OGBH=14S┱方形ABCD.
1.2 相关结论
如图1，除了S┧谋咝蜠EBF=14S┱方形ABCD的结论外，还可以得到相关的结论，如：AE=BF，EB+BF=AB=2OB，∠OEB+∠OFB=180°，△AEO≌△BFO，△EBO≌△FCO等.
2 由原问题引出的中考题
2.1 增加背景图形个数
图4例1 (2006年晋江市中考试题)将n个边长都为1cm的正方形按如图4所示摆放，点A1、A2、…、A璶分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为( ).
A.14cm2 B.n4cm2
C.n-14cm2D.(14)琻cm2
分析 这道试题在原探究问题的基础上，叠加了更多的正方形.要求n个这样的正方形重叠部分的面积，必须解决两个问题：
其一，每一个重叠部分的四边形的面积是多少?这由上述的原问题可直接得到结论： 每一个重叠部分的四边形的面积等于一个正方形的面积的14.
其二，有多少个重叠部分的四边形?这实质上是从图形中探求简单的规律，由于两个正方形有一个重叠部分，三个正方形有两个重叠部分，依此不难得出： n个这样的正方形有(n-1)个重叠部分.
所以，n个这样的正方形重叠部分的面积和为n-14cm2，故选C答案.
2.2 变换背景图形形状
例2 (2007甘肃金昌市)一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ABC做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4.
(1)如图5，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为.
(2)将图5中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图6，此时重叠部分的面积为，周长为.
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图5和图6的图形，如图7，请你猜想此时重叠部分的面积为.
(4)在图7情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长.
图5 图6 图7 图8分析 原问题中旋转的两个背景图形是正方形，这里将它们改成直角三角形，本质并没有改变，解题思路也没有变.直接由上面的结论得：图5、6、7中两三角尺重叠部分的面积是4， 易求得图5中重叠部分图形的周长是42+4，图6中重叠部分图形的周长是8.
第(4)问，要求图7中重叠部分图形的周长，关键是求出DM、GM的长度，如图8，过点M分别作MP⊥AC于P、MQ⊥CB于Q，所以DM=GM=DP2+PM2=12+22=5，所以重叠部分图形的周长为4+25.
2.3 变动背景图形位置
例3 (2007山东临沂市)如图9，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
图9 图10 图11(1)在图9中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明：DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化，请说明是如何变化的?若不发生变化，求出其面积；
(2)继续旋转至如图10的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图11的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立?请写出结论，不用证明.
简析 当直角三角板DEF旋转到图10所在的位置时，从直观上可以猜想结论DM=DN仍然成立.连结BD，易证△DBM≌△DCN.
当直角三角板DEF旋转到图11所在的位置时，同样可以得到DM=DN.此时，∠MDN为直角，本质上与图9一样.
评析 这道试题在例2的基础上，变换了旋转的角度，设置新的问题.图形位置变化了，并没有改变原问题中隐含的数量关系，特别是在观察图3时，我们应该有敏锐的洞察力，要从表象中看出问题的实质：与图1给出的信息完全一样.
2.4 改变旋转中心
例4 (2007四川资阳市)如图12，已知为正方形ABD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图13，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
图12 图13简解 ⑴ 解法1 在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法2 利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP不成立.
⑶ 连结BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图12中，可证四边形PECF为正方形，显然BE=DF；
在图13中，可证△BEC≌△DFC. 从而有BE=DF.
2.5 猜想新结论
例5 (2006年鸡西市)已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB (或它们的反向延长线)相交于点D、E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图13)，易证：OD+OE=2OC.
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图14、图15这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.
图13 图14 图15简析 由原问题中的结论，图2中的结论仍成立.
证明 过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.△CPD≌△CQE，DP=EQ ，OP=OD+DP，DQ=OE-EQ，又OP+OQ=2OC，即OD+DP+OE-EQ=2OC. 所以OD+OE=2OC.
由图15中的线段大小关系易猜想出结论：OE-OD=2OC.
评析 本题在原问题的基础上不仅将背景图形作了改变，将正方形换成直角及三角板，而且图形运动到的位置发生改变，因此得到的结论也随之发生变化.那么在解决该问题时要把握问题的本质，在图形变化中寻求不变量，在运动过程中把握不变的规律和结论，通过类比思维，由已有的结论猜想出相关的结论.
2.6 拓展图形探究规律
例6 (大连2005)如图16、图17、图18、…、图n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
(1)求图16中∠MON的度数；
(2)图17中∠MON的度数是，图18中∠MON的度数是；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
分析 本题提出的问题是探讨∠MON的大小.从图形的变化中可以看出，当正多边形的边数逐步增多过程中，∠MON随之减小，而图17与原问题的图形非常类似，不妨从图17入手，凭直觉可知∠MON=90°，事实上运用原问题中的方法，连结OB、OC，证△OMB≌△ONC，故∠MON=∠BOC=90°.
在此基础上，用同样的方法可以得到：图16中的∠MON的度数就是BC边所对中心角∠BOC的度数，即∠MON=∠BOC=360°3=120°，图18中的∠MON=360°5=72°.依此类推，得出规律：正n边形中的∠MON的度数可表示为∠MON=360°n.
评析 这是一道很好的开放性试题，它将原问题的题设与结论进行变换，探究新的结论，并将问题中的背景条件正方形拓展成正三角形、正五边形、…正n边形， 体现了数学问题中的从特殊到一般的辩证思想.命题者这一立意，除了有效考查学生简单的推理能力，更好地考察了学生的猜想探究、类比归纳等能力，让学生在解题过程中感受几何图形变化之美，体会图形变化中不变的规律，题目难度不大，容易让学生在探究发现过程中获得成功的体验.
作者简介：陈良俊，1972，男，湖北省蕲春县人，中学数学高级教师，武汉市学科带头人. 长期热衷于数学教学研究. 先后在《中学数学》、《中学数学教与学》、《中学生数学》、《中小学数学》等杂志上发表文章20余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
1 课本中的“实验与探究”中的问题
1.1 原问题与解答
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级《数学》下册第116页“实验与探究”中有如下问题(下称原问题)：
如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形A1B1C1D1的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形的面积的14，想一想为什么?
图1 图2 图3要解决此题，可以先从特殊情况考虑，当正方形绕点O转动到如图2所示的位置，即A1O、C1O分别与正方形ABCD的对角线重合，此时两个正方形重叠部分是△OAB，其面积显然等于一个正方形的面积的14.
当正方形A1B1C1O绕点O转动到如图1所示的位置时，可以将一般情况转化为特殊情况了解决.
方法1 如图1，由题设易得∠AOB=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF，△AOB≌△BOF，从而得S┧谋咝蜲EBF=S△AOB=14S┱方形ABCD.
方法2 如图3，过O点分别作OG⊥AB，OH⊥BC，垂足分别为G、H，易证△OEG≌△OFH，从而得S┧谋咝蜲EBF=S┱方形OGBH=14S┱方形ABCD.
1.2 相关结论
如图1，除了S┧谋咝蜠EBF=14S┱方形ABCD的结论外，还可以得到相关的结论，如：AE=BF，EB+BF=AB=2OB，∠OEB+∠OFB=180°，△AEO≌△BFO，△EBO≌△FCO等.
2 由原问题引出的中考题
2.1 增加背景图形个数
图4例1 (2006年晋江市中考试题)将n个边长都为1cm的正方形按如图4所示摆放，点A1、A2、…、A璶分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为( ).
A.14cm2 B.n4cm2
C.n-14cm2D.(14)琻cm2
分析 这道试题在原探究问题的基础上，叠加了更多的正方形.要求n个这样的正方形重叠部分的面积，必须解决两个问题：
其一，每一个重叠部分的四边形的面积是多少?这由上述的原问题可直接得到结论： 每一个重叠部分的四边形的面积等于一个正方形的面积的14.
其二，有多少个重叠部分的四边形?这实质上是从图形中探求简单的规律，由于两个正方形有一个重叠部分，三个正方形有两个重叠部分，依此不难得出： n个这样的正方形有(n-1)个重叠部分.
所以，n个这样的正方形重叠部分的面积和为n-14cm2，故选C答案.
2.2 变换背景图形形状
例2 (2007甘肃金昌市)一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ABC做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4.
(1)如图5，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为.
(2)将图5中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图6，此时重叠部分的面积为，周长为.
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图5和图6的图形，如图7，请你猜想此时重叠部分的面积为.
(4)在图7情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长.
图5 图6 图7 图8分析 原问题中旋转的两个背景图形是正方形，这里将它们改成直角三角形，本质并没有改变，解题思路也没有变.直接由上面的结论得：图5、6、7中两三角尺重叠部分的面积是4， 易求得图5中重叠部分图形的周长是42+4，图6中重叠部分图形的周长是8.
第(4)问，要求图7中重叠部分图形的周长，关键是求出DM、GM的长度，如图8，过点M分别作MP⊥AC于P、MQ⊥CB于Q，所以DM=GM=DP2+PM2=12+22=5，所以重叠部分图形的周长为4+25.
2.3 变动背景图形位置
例3 (2007山东临沂市)如图9，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
图9 图10 图11(1)在图9中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明：DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化，请说明是如何变化的?若不发生变化，求出其面积；
(2)继续旋转至如图10的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图11的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立?请写出结论，不用证明.
简析 当直角三角板DEF旋转到图10所在的位置时，从直观上可以猜想结论DM=DN仍然成立.连结BD，易证△DBM≌△DCN.
当直角三角板DEF旋转到图11所在的位置时，同样可以得到DM=DN.此时，∠MDN为直角，本质上与图9一样.
评析 这道试题在例2的基础上，变换了旋转的角度，设置新的问题.图形位置变化了，并没有改变原问题中隐含的数量关系，特别是在观察图3时，我们应该有敏锐的洞察力，要从表象中看出问题的实质：与图1给出的信息完全一样.
2.4 改变旋转中心
例4 (2007四川资阳市)如图12，已知为正方形ABD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图13，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
图12 图13简解 ⑴ 解法1 在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法2 利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP不成立.
⑶ 连结BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图12中，可证四边形PECF为正方形，显然BE=DF；
在图13中，可证△BEC≌△DFC. 从而有BE=DF.
2.5 猜想新结论
例5 (2006年鸡西市)已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB (或它们的反向延长线)相交于点D、E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图13)，易证：OD+OE=2OC.
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图14、图15这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.
图13 图14 图15简析 由原问题中的结论，图2中的结论仍成立.
证明 过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.△CPD≌△CQE，DP=EQ ，OP=OD+DP，DQ=OE-EQ，又OP+OQ=2OC，即OD+DP+OE-EQ=2OC. 所以OD+OE=2OC.
由图15中的线段大小关系易猜想出结论：OE-OD=2OC.
评析 本题在原问题的基础上不仅将背景图形作了改变，将正方形换成直角及三角板，而且图形运动到的位置发生改变，因此得到的结论也随之发生变化.那么在解决该问题时要把握问题的本质，在图形变化中寻求不变量，在运动过程中把握不变的规律和结论，通过类比思维，由已有的结论猜想出相关的结论.
2.6 拓展图形探究规律
例6 (大连2005)如图16、图17、图18、…、图n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
(1)求图16中∠MON的度数；
(2)图17中∠MON的度数是，图18中∠MON的度数是；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
分析 本题提出的问题是探讨∠MON的大小.从图形的变化中可以看出，当正多边形的边数逐步增多过程中，∠MON随之减小，而图17与原问题的图形非常类似，不妨从图17入手，凭直觉可知∠MON=90°，事实上运用原问题中的方法，连结OB、OC，证△OMB≌△ONC，故∠MON=∠BOC=90°.
在此基础上，用同样的方法可以得到：图16中的∠MON的度数就是BC边所对中心角∠BOC的度数，即∠MON=∠BOC=360°3=120°，图18中的∠MON=360°5=72°.依此类推，得出规律：正n边形中的∠MON的度数可表示为∠MON=360°n.
评析 这是一道很好的开放性试题，它将原问题的题设与结论进行变换，探究新的结论，并将问题中的背景条件正方形拓展成正三角形、正五边形、…正n边形， 体现了数学问题中的从特殊到一般的辩证思想.命题者这一立意，除了有效考查学生简单的推理能力，更好地考察了学生的猜想探究、类比归纳等能力，让学生在解题过程中感受几何图形变化之美，体会图形变化中不变的规律，题目难度不大，容易让学生在探究发现过程中获得成功的体验.
作者简介：陈良俊，1972，男，湖北省蕲春县人，中学数学高级教师，武汉市学科带头人. 长期热衷于数学教学研究. 先后在《中学数学》、《中学数学教与学》、《中学生数学》、《中小学数学》等杂志上发表文章20余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
