运用对称性解决初中数学问题
对称是一种客观存在. 大千世界，许多事物都具有某些对称性，如：一朵红花，一片绿叶，一只色彩斑斓的蝴蝶等. 对称给人们以和谐均衡的美感.
对称又是一个数学概念. 初中学生所熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、中心对称、旋转对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称.
对称更是一种思想方法. 运用对称性解决问题，既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力.
下面通过具体的数学解题来看对称性在数学解题中的运用.
1 运用对称性解几何说明题
例1 如图1，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的动点，且AE=AF. 试说明在运动过程中，△CEF是否是等腰三角形?
解法1 通过求证△FDC≌△EBC解答. (解答过程省略)
解法2 在运动过程中△CEF是等腰三角形.
因为四边形ABCD是菱形，所以以AB与AD关于AC对称；
又因为动点E、F分别在AB、AD上，且AE=AF，
所以点E与点F始终关于AC对称，
所以EC与FC关于AC对称，
所以EC=FC，所以△CEF是等腰三角形.
说明 对于此题，大部分学生能想到运用全等来解答，但不一定想到利用对称性解答，教师应抓住教学的机会渗透对称思想方法，以拓展学生解题思路.
图1 图2例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点P在△ABD内部. 试说明：∠APB>∠APC.
解 作点P关于AD的对称点P1，连接PP1并延长交AC于点E，
因为△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
所以点B与点C关于AD对称，
又因为点P与点P1关于AD对称，点A在AD上，
所以△ABP与△ACP1关于AD对称，
所以∠APB=∠AP1C，
因为∠EP1C是△PP1C的外角，
所以∠EP1C>∠EPC，同理∠EP1A>∠EPA，
所以∠AP1C>∠APC，所以∠APB>∠APC.
例3 如图3，在△ABC中∠C=90°，点M为AB中点，点E、F分别在AC、BC上，且∠EMF=90°，试说明：AE2+BF2=EF2.
解 如图3，延长EM到点D，使DM=EM，连接BD、FD，
因为FM⊥ED，且MD=ME，所以由轴对称性得EF=DF，
因为AB、ED互相平分于点M，
所以△AME和△BMD关于点M成中心对称，
所以AE=BD，∠A=∠DBA，
又因为Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ABC=90°，即∠DBF=90°，
在Rt△BFD中，∠DBF=90°，
所以BD2+BF2=FD2，所以AE2+BF2=EF2.
说明 用对称性解几何说明题，不仅要充分利用几何图形的对称性，而且还要根据题设条件进行轴对称变换、中心对称变换、旋转对称变换，通过对称变换创造对称性.
图3 图42 运用对称性求最值
如图4，A、B为直线l同侧两定点，作A点关于l的对称点A1，连接A1B交l于P，根据两点间线段最短可知P为l上使PA+PB值最小的点. 这种轴对称变换在解决相关最值问题时有广泛的应用.
例4 如图5，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC的中点，MP+NP的最小值是.
解析 M、N为AC同侧两定点，四边形ABCD是菱形，所以AD的中点H与点M关于AC对称，所以HP=MP，则MP+NP=HP+NP，根据两点间线段最短可知：当点P在HN与AC的交点E处时，MP+NP的值最小. 根据平行四边形的相关知识可求出MP+NP的最小值为1.
图5 图6例5 如图6，平面直角坐标系中，有点A(0，3)，直线l：x=3，若一个动点P自OA的中点M出发，先达到x轴上某点(设为点E)，再达到直线l上某点(设为点F)，最后运动到点A. 求：使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.
解析 作点M关于x轴对称的点M1(0，-32)，点A关于直线l对称的点A1(6，3)，由对称性可知ME=M1E，AF=A1F，连接M1A1，根据轴对称性及两点间线段最短可知，当点E、F分别在M1A1与x轴、直线l的交点上时，点P的运动总路径最短；由点M1、A1两点坐标可求出直线M1A1点解析式为y=34x-32，从而求出点E坐标为(2，0)，点F坐标为(3，34)，由勾股定理可求出最短总路径的长为152.
说明 轴对称变换也是解决弹子游戏、平面镜成像、光线的反射等问题的主要方法.
3 运用函数图像的对称性解决问题
抛物线与双曲线都是对称性图形，巧妙地应用它们的对称性，可以优化解题过程.
例6 已知某抛物线经过点A(-2，0)，B(-3，72)，C(5，72). 求这个抛物线的解析式.
解法1 设一般式求解(解题过程省略).
解法2 因为B(-3，72)、C(5，72)两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，所以此抛物线的对称轴为直线x=1.
又因为此抛物线与x轴交于点A(-2，0)，由对称性可知此抛物线与x轴交于另一个点D(4，0).
据此可设此抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)，将C点坐标(5，72)代入求得a=12，
所以这个抛物线的解析式为y=12x2-x-4.
说明 显然解法2的计算简捷，思维活跃，能培养学生思维能力.
图7例7 如图7，双曲线y=-6x与直线y=kx(k<0)交于点A、B，过点A作AC垂直y轴于点C，求S△ABC.
解 反比例函数的图像关于原点对称，
直线y=kx过原点，所以A、B两点必关于原点对称.
所以OA=OB，所以S△AOC=S△BOC，
设点A坐标为(a，b)，则ab=-6. 由题意得AC=|a|，OC=|b|，
所以S△AOC=12AC×OC=12|ab|=3. 所以S△ABC=2S△AOC=6.
说明 对于此题，如果只从交点考虑，问题就难以下手. 运用双曲线的中心对称性分析此题，问题就迎刃而解了.
4 运用代数中的对称式解决问题
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，一些对称式的代数问题，常用最简对称式a+b、ab表示将问题解决.
例8 已知x>0，y>0，且x+y=2，求xy的最大值.
解 由已知条件x+y=2是定值，则x大y小，反之y大x小，即x、y是对称的.
令x=1-k，y=1+k，xy=(1-k)(1+k)=1-k2，当k=0时，即x=y=1时xy有最大值1.
说明 x+y、xy是对称式，根据x、y是对称的，令x=1-k，y=1+k，是解决这个问题最巧妙的对称思想方法.
综上所述，在解题过程中，如果注意到对称性并恰当地运用，不仅使复杂繁琐的问题得以简化，而且可以拓展学生的解题思路，激发学生的创造性思维，使学生创造性解决问题的能力得到培养. 因此，教师在平时的教学中，要引导学生充分挖掘数学形式或图形的对称性，自觉地运用对称性特征去分析、解决具体问题，抓住教学契机培养学生运用对称思想方法解决数学问题的能力.
以上是本人在多年教学过程中的一点体会，不到之处，敬请专家指正!
参考文献
[1] 黄东坡. 培优竞赛新方法(八年级)[M].武汉：湖北人民出版社.2007.154-155.
[2] 王军.浅析对称性在数学解题中的应用[J].今日科苑.2006，(6)：86.
作者简介：邹平华，女，1962年1月生，大学本科，现系江苏江都油田第二中学数学教师(初中)，并担任政教主任工作.
在多年的教学工作中，教学成绩突出，多次被评为市、县级优秀教师及优秀班主任. 所写论文“浅谈有理数教学中数学思想方法的渗透”在《中国科教创新导刊》上发表，“以不变应万变”、“浅议课堂教学的引入”分别获市级二等奖、三等奖.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
对称又是一个数学概念. 初中学生所熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、中心对称、旋转对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称.
对称更是一种思想方法. 运用对称性解决问题，既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力.
下面通过具体的数学解题来看对称性在数学解题中的运用.
1 运用对称性解几何说明题
例1 如图1，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的动点，且AE=AF. 试说明在运动过程中，△CEF是否是等腰三角形?
解法1 通过求证△FDC≌△EBC解答. (解答过程省略)
解法2 在运动过程中△CEF是等腰三角形.
因为四边形ABCD是菱形，所以以AB与AD关于AC对称；
又因为动点E、F分别在AB、AD上，且AE=AF，
所以点E与点F始终关于AC对称，
所以EC与FC关于AC对称，
所以EC=FC，所以△CEF是等腰三角形.
说明 对于此题，大部分学生能想到运用全等来解答，但不一定想到利用对称性解答，教师应抓住教学的机会渗透对称思想方法，以拓展学生解题思路.
图1 图2例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点P在△ABD内部. 试说明：∠APB>∠APC.
解 作点P关于AD的对称点P1，连接PP1并延长交AC于点E，
因为△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
所以点B与点C关于AD对称，
又因为点P与点P1关于AD对称，点A在AD上，
所以△ABP与△ACP1关于AD对称，
所以∠APB=∠AP1C，
因为∠EP1C是△PP1C的外角，
所以∠EP1C>∠EPC，同理∠EP1A>∠EPA，
所以∠AP1C>∠APC，所以∠APB>∠APC.
例3 如图3，在△ABC中∠C=90°，点M为AB中点，点E、F分别在AC、BC上，且∠EMF=90°，试说明：AE2+BF2=EF2.
解 如图3，延长EM到点D，使DM=EM，连接BD、FD，
因为FM⊥ED，且MD=ME，所以由轴对称性得EF=DF，
因为AB、ED互相平分于点M，
所以△AME和△BMD关于点M成中心对称，
所以AE=BD，∠A=∠DBA，
又因为Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ABC=90°，即∠DBF=90°，
在Rt△BFD中，∠DBF=90°，
所以BD2+BF2=FD2，所以AE2+BF2=EF2.
说明 用对称性解几何说明题，不仅要充分利用几何图形的对称性，而且还要根据题设条件进行轴对称变换、中心对称变换、旋转对称变换，通过对称变换创造对称性.
图3 图42 运用对称性求最值
如图4，A、B为直线l同侧两定点，作A点关于l的对称点A1，连接A1B交l于P，根据两点间线段最短可知P为l上使PA+PB值最小的点. 这种轴对称变换在解决相关最值问题时有广泛的应用.
例4 如图5，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC的中点，MP+NP的最小值是.
解析 M、N为AC同侧两定点，四边形ABCD是菱形，所以AD的中点H与点M关于AC对称，所以HP=MP，则MP+NP=HP+NP，根据两点间线段最短可知：当点P在HN与AC的交点E处时，MP+NP的值最小. 根据平行四边形的相关知识可求出MP+NP的最小值为1.
图5 图6例5 如图6，平面直角坐标系中，有点A(0，3)，直线l：x=3，若一个动点P自OA的中点M出发，先达到x轴上某点(设为点E)，再达到直线l上某点(设为点F)，最后运动到点A. 求：使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.
解析 作点M关于x轴对称的点M1(0，-32)，点A关于直线l对称的点A1(6，3)，由对称性可知ME=M1E，AF=A1F，连接M1A1，根据轴对称性及两点间线段最短可知，当点E、F分别在M1A1与x轴、直线l的交点上时，点P的运动总路径最短；由点M1、A1两点坐标可求出直线M1A1点解析式为y=34x-32，从而求出点E坐标为(2，0)，点F坐标为(3，34)，由勾股定理可求出最短总路径的长为152.
说明 轴对称变换也是解决弹子游戏、平面镜成像、光线的反射等问题的主要方法.
3 运用函数图像的对称性解决问题
抛物线与双曲线都是对称性图形，巧妙地应用它们的对称性，可以优化解题过程.
例6 已知某抛物线经过点A(-2，0)，B(-3，72)，C(5，72). 求这个抛物线的解析式.
解法1 设一般式求解(解题过程省略).
解法2 因为B(-3，72)、C(5，72)两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，所以此抛物线的对称轴为直线x=1.
又因为此抛物线与x轴交于点A(-2，0)，由对称性可知此抛物线与x轴交于另一个点D(4，0).
据此可设此抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)，将C点坐标(5，72)代入求得a=12，
所以这个抛物线的解析式为y=12x2-x-4.
说明 显然解法2的计算简捷，思维活跃，能培养学生思维能力.
图7例7 如图7，双曲线y=-6x与直线y=kx(k<0)交于点A、B，过点A作AC垂直y轴于点C，求S△ABC.
解 反比例函数的图像关于原点对称，
直线y=kx过原点，所以A、B两点必关于原点对称.
所以OA=OB，所以S△AOC=S△BOC，
设点A坐标为(a，b)，则ab=-6. 由题意得AC=|a|，OC=|b|，
所以S△AOC=12AC×OC=12|ab|=3. 所以S△ABC=2S△AOC=6.
说明 对于此题，如果只从交点考虑，问题就难以下手. 运用双曲线的中心对称性分析此题，问题就迎刃而解了.
4 运用代数中的对称式解决问题
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，一些对称式的代数问题，常用最简对称式a+b、ab表示将问题解决.
例8 已知x>0，y>0，且x+y=2，求xy的最大值.
解 由已知条件x+y=2是定值，则x大y小，反之y大x小，即x、y是对称的.
令x=1-k，y=1+k，xy=(1-k)(1+k)=1-k2，当k=0时，即x=y=1时xy有最大值1.
说明 x+y、xy是对称式，根据x、y是对称的，令x=1-k，y=1+k，是解决这个问题最巧妙的对称思想方法.
综上所述，在解题过程中，如果注意到对称性并恰当地运用，不仅使复杂繁琐的问题得以简化，而且可以拓展学生的解题思路，激发学生的创造性思维，使学生创造性解决问题的能力得到培养. 因此，教师在平时的教学中，要引导学生充分挖掘数学形式或图形的对称性，自觉地运用对称性特征去分析、解决具体问题，抓住教学契机培养学生运用对称思想方法解决数学问题的能力.
以上是本人在多年教学过程中的一点体会，不到之处，敬请专家指正!
参考文献
[1] 黄东坡. 培优竞赛新方法(八年级)[M].武汉：湖北人民出版社.2007.154-155.
[2] 王军.浅析对称性在数学解题中的应用[J].今日科苑.2006，(6)：86.
作者简介：邹平华，女，1962年1月生，大学本科，现系江苏江都油田第二中学数学教师(初中)，并担任政教主任工作.
在多年的教学工作中，教学成绩突出，多次被评为市、县级优秀教师及优秀班主任. 所写论文“浅谈有理数教学中数学思想方法的渗透”在《中国科教创新导刊》上发表，“以不变应万变”、“浅议课堂教学的引入”分别获市级二等奖、三等奖.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
