圆周运动的多解性问题
刘鑫
多解问题是高考中常见的题型之一，试题中条件的可能性、物理过程的多样性以及运动的周期性等因素考虑不周全往往会漏解，很考验思维的严密度.圆周运动一个很明显的特征是具有周期性，即物体的空间位置具有时间上的重复性，它的这一特点性决定了有些圆周运动问题具有多解性.通常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个物体做匀速圆周运动，而另一个物体做其他形式的运动.由于这两种运动是同时进行的，因此依据等时性建立等式是解答此类问题的基本思路.
一、圆周运动与匀速直线运动结合
例1 如图1，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v，并沿直线匀速穿过圆筒.若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
例2 图中M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间成真空.两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝s（与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在Ⅳ筒上.如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则
（）
A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与缝平行的窄条上.
B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如6处一条与s缝平行的窄条上.
C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如6处和c处与s缝平行的窄条上.
D.只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒.
解析 若共轴的M和N不转动，从简M的缝s射出的粒子就应落在a处，若两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线做匀速转动，则从s缝射出的微粒落在Ⅳ筒上时对于a就应偏转了一定的角度.
二、圆周运动与匀变速直线运动结合
例3 质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图3所示，周期为T当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动.为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？
例4 如图4所示，一根長为/的均匀细杆可以绕通过其一端O的水平轴在竖直平面内转动.杆开始时在外力作用下保持水平静止，杆上距O点为a处有一小物体静止于杆上.此杆突然在外力作用下以匀角速度顺时针转动，结果经一段时间后小物体刚好与杆的A端相碰，设小物体在空气中运动时没有翻转.试计算杆转动的角速度应取何值？
三、圆周运动与平抛运动结合
盼例5 在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板做匀速圆周运动，当圆板半径OA与初速度方向一致时抛出，如图5所示.要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v0 为多大？圆板转动的角速度ω为多大？
解析 小球转动时，由于细线逐步绕在a、b两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变.小球交替地绕a、b做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小.
多解问题是高考中常见的题型之一，试题中条件的可能性、物理过程的多样性以及运动的周期性等因素考虑不周全往往会漏解，很考验思维的严密度.圆周运动一个很明显的特征是具有周期性，即物体的空间位置具有时间上的重复性，它的这一特点性决定了有些圆周运动问题具有多解性.通常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个物体做匀速圆周运动，而另一个物体做其他形式的运动.由于这两种运动是同时进行的，因此依据等时性建立等式是解答此类问题的基本思路.
一、圆周运动与匀速直线运动结合
例1 如图1，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v，并沿直线匀速穿过圆筒.若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
例2 图中M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间成真空.两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝s（与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在Ⅳ筒上.如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则
（）
A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与缝平行的窄条上.
B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如6处一条与s缝平行的窄条上.
C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如6处和c处与s缝平行的窄条上.
D.只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒.
解析 若共轴的M和N不转动，从简M的缝s射出的粒子就应落在a处，若两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线做匀速转动，则从s缝射出的微粒落在Ⅳ筒上时对于a就应偏转了一定的角度.
二、圆周运动与匀变速直线运动结合
例3 质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图3所示，周期为T当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动.为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？
例4 如图4所示，一根長为/的均匀细杆可以绕通过其一端O的水平轴在竖直平面内转动.杆开始时在外力作用下保持水平静止，杆上距O点为a处有一小物体静止于杆上.此杆突然在外力作用下以匀角速度顺时针转动，结果经一段时间后小物体刚好与杆的A端相碰，设小物体在空气中运动时没有翻转.试计算杆转动的角速度应取何值？
三、圆周运动与平抛运动结合
盼例5 在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板做匀速圆周运动，当圆板半径OA与初速度方向一致时抛出，如图5所示.要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v0 为多大？圆板转动的角速度ω为多大？
解析 小球转动时，由于细线逐步绕在a、b两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变.小球交替地绕a、b做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小.
