一个量算两次——例谈列方程解应用题
刁 颖
列方程解应用题中寻找等量关系的方法很多，包括：①数量关系法：根据常见的数量关系(如：路程=速度×时间，工作量=效率×时间，利息=本金×利率等)、根据关键性语言(如：多、少、几倍、几分之几等)、根据题目中的不变量用代数式直接表示出来；②线示法：用线段将题目中的数量关系形象地表示出来，利用数形结合的思想进行数与形的转化，从而建立方程；③列表法：用表格把题目中的数量关系表示出来，挖掘题目中的隐含条件，建立方程；④图示法：利用整体图形把题目中的整体与部分的关系直观地表示出来，发现题目中的相等关系，建立方程等.这几种方法都是列方程解应用题中寻找等量关系的好方法，但是找等量关系列方程的实质就是抓住一个量，挖掘已知条件从两种角度表示同一个量，进行两次演算，即一个量，算两次.
1 一个量算两次的理论依据
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚在《数学的发现》中，给出了四个具体的解题模式：双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式和叠加模式.
其中笛卡儿模式来源于笛卡儿的“万能方法”.笛卡儿曾经设想过所谓的“万能方法”，即认为按照以下的模式就可以有效地解决一切问题：第一，把任何问题都转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程.波利亚指出，笛卡儿的设想在某些情况下并不适用，因此不能被看成是一种万能的方法；但是尽管笛卡儿的设想最后并未成功，仍然不失为一个伟大的思想.事实上，在波利亚看来，笛卡儿所给出的是一个十分有用的思维模式，而通常所谓的“代数方法”则可看成笛卡儿模式的典型例子.
波利亚对“笛卡儿模式”做了如下的概括：(1)要在很好地理解了问题的基础上，把问题归结为确定若干个未知的量；(2)用最自然的方式通盘考虑一下问题，设想它已经解出来了，把已知量和未知量之间根据条件所必须成立的一切关系式都列出来；(3)列出一部分条件，使得你能用两种不同的方式去表示同一个量，这样可以得出一个联系未知量的方程式.这样做下去最后就把条件分成了若干部分，从而得出方程式与未知量个数相等的一个方程组.
笛卡儿模式就是指通过“列方程、解方程”去解决问题，正如波利亚所指出的，列方程的关键就在于应当清楚地认识到“一个方程就是用两种不同的方式去表示同一个量”.[1]另外，在有多个未知量的情况下，我们又应当认识到：一个方程只表示了一个部分条件.对笛卡儿模式可以推广：“在条件的分款没有被翻译成一个方程，或甚至x1，x2，…，xn不是未知的数，而是任何类型的未知的事物的情况下，我们认为符号方程r(x1，x2，…，xn)=0也表示了有问题的条件所决定的，包含了指定未知量(这里把一般的未知事物统称为未知量x1，x2，…，xn)的一个关系.”[2]
2 例题分析
一个量算两次这种方法的优点是可以简化找等量关系，只要在题目中确定一个量，并用两种方法表示出来，中间用等号连接即可.
例1 一队学生去校外参加劳动，以4千米/时的速度步行前往.走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员要多少分才能追上学生队伍?
分析 本题属于行程问题，涉及的量有路程、时间和速度，根据一个量算两次的方法我们可以选择其中的某一个量进行列方程求解.其中通讯员追赶学生队伍所行时间是学生出发半小时后到被追赶上所用的时间；通讯员所行路程就是学生队伍总的行程；学生队伍的速度前后保持不变，为4千米/时.
解 设通讯员要x小时才能追上学生队伍.
在列方程解应用题的教学中，教师强调通过找等量关系来列方程，常常是通过抓住题目中的关键词或者关键句子来寻找等量关系.通过这种方法列方程解应用题，同学们列出的方程千篇一律，同时也没有理解方程的真正含义.在上述三个例子中，根据一个量算两次的方法来列方程，每道题都可以列出几个方程，而且每个方程都具有自身不同的意义.虽然方程有繁有简，有整式方程也有分式方程，但是方程左右两端的意义相同，是通过两次不同演算来表示同一个量的.
在列方程解应用题中，一个量算两次与找等量关系本质上是相同的.一个量算两次因为是用不同的方式表示同一个量，所以它肯定是相等的；而寻找等量关系建立方程，是通过挖掘题目中条件建立相等的关系.从例题中我们可以看到每道题根据基本量(如：路程、速度、时间，工作量、工作效率、时间等)的不同可以列出三个甚至更多的方程，而在传统的教学中老师往往根据自己的习惯寻找等量关系，往往仅就关键语句列出一个方程，既限制了学生的思考空间，又增加了学生列方程的难度.一个量算两次——这种列方程的方法既开阔了我们的思路，又为我们列方程解应用题提供了方便.
参考文献
[1] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2003.15.
[2] 波利亚.数学的发现(第一卷)[M].呼和浩特：内蒙古人民出版社，1980.213.
[3] 陈林香.列方程解应用题时如何寻找等量关系[J].初中数学教与学.2006，(4)：10-11.
[4] 曹术环，韩月芹.列方程解应用题中找等量关系的四种方法[J].数理化学习(初中版).2004，(3)：11-12.
作者简介：刁颖，1983年10月出生，天津师范大学数学科学学院硕士研究生，专业是课程与教学论，主要研究方向是数学教育.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
列方程解应用题中寻找等量关系的方法很多，包括：①数量关系法：根据常见的数量关系(如：路程=速度×时间，工作量=效率×时间，利息=本金×利率等)、根据关键性语言(如：多、少、几倍、几分之几等)、根据题目中的不变量用代数式直接表示出来；②线示法：用线段将题目中的数量关系形象地表示出来，利用数形结合的思想进行数与形的转化，从而建立方程；③列表法：用表格把题目中的数量关系表示出来，挖掘题目中的隐含条件，建立方程；④图示法：利用整体图形把题目中的整体与部分的关系直观地表示出来，发现题目中的相等关系，建立方程等.这几种方法都是列方程解应用题中寻找等量关系的好方法，但是找等量关系列方程的实质就是抓住一个量，挖掘已知条件从两种角度表示同一个量，进行两次演算，即一个量，算两次.
1 一个量算两次的理论依据
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚在《数学的发现》中，给出了四个具体的解题模式：双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式和叠加模式.
其中笛卡儿模式来源于笛卡儿的“万能方法”.笛卡儿曾经设想过所谓的“万能方法”，即认为按照以下的模式就可以有效地解决一切问题：第一，把任何问题都转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程.波利亚指出，笛卡儿的设想在某些情况下并不适用，因此不能被看成是一种万能的方法；但是尽管笛卡儿的设想最后并未成功，仍然不失为一个伟大的思想.事实上，在波利亚看来，笛卡儿所给出的是一个十分有用的思维模式，而通常所谓的“代数方法”则可看成笛卡儿模式的典型例子.
波利亚对“笛卡儿模式”做了如下的概括：(1)要在很好地理解了问题的基础上，把问题归结为确定若干个未知的量；(2)用最自然的方式通盘考虑一下问题，设想它已经解出来了，把已知量和未知量之间根据条件所必须成立的一切关系式都列出来；(3)列出一部分条件，使得你能用两种不同的方式去表示同一个量，这样可以得出一个联系未知量的方程式.这样做下去最后就把条件分成了若干部分，从而得出方程式与未知量个数相等的一个方程组.
笛卡儿模式就是指通过“列方程、解方程”去解决问题，正如波利亚所指出的，列方程的关键就在于应当清楚地认识到“一个方程就是用两种不同的方式去表示同一个量”.[1]另外，在有多个未知量的情况下，我们又应当认识到：一个方程只表示了一个部分条件.对笛卡儿模式可以推广：“在条件的分款没有被翻译成一个方程，或甚至x1，x2，…，xn不是未知的数，而是任何类型的未知的事物的情况下，我们认为符号方程r(x1，x2，…，xn)=0也表示了有问题的条件所决定的，包含了指定未知量(这里把一般的未知事物统称为未知量x1，x2，…，xn)的一个关系.”[2]
2 例题分析
一个量算两次这种方法的优点是可以简化找等量关系，只要在题目中确定一个量，并用两种方法表示出来，中间用等号连接即可.
例1 一队学生去校外参加劳动，以4千米/时的速度步行前往.走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员要多少分才能追上学生队伍?
分析 本题属于行程问题，涉及的量有路程、时间和速度，根据一个量算两次的方法我们可以选择其中的某一个量进行列方程求解.其中通讯员追赶学生队伍所行时间是学生出发半小时后到被追赶上所用的时间；通讯员所行路程就是学生队伍总的行程；学生队伍的速度前后保持不变，为4千米/时.
解 设通讯员要x小时才能追上学生队伍.
在列方程解应用题的教学中，教师强调通过找等量关系来列方程，常常是通过抓住题目中的关键词或者关键句子来寻找等量关系.通过这种方法列方程解应用题，同学们列出的方程千篇一律，同时也没有理解方程的真正含义.在上述三个例子中，根据一个量算两次的方法来列方程，每道题都可以列出几个方程，而且每个方程都具有自身不同的意义.虽然方程有繁有简，有整式方程也有分式方程，但是方程左右两端的意义相同，是通过两次不同演算来表示同一个量的.
在列方程解应用题中，一个量算两次与找等量关系本质上是相同的.一个量算两次因为是用不同的方式表示同一个量，所以它肯定是相等的；而寻找等量关系建立方程，是通过挖掘题目中条件建立相等的关系.从例题中我们可以看到每道题根据基本量(如：路程、速度、时间，工作量、工作效率、时间等)的不同可以列出三个甚至更多的方程，而在传统的教学中老师往往根据自己的习惯寻找等量关系，往往仅就关键语句列出一个方程，既限制了学生的思考空间，又增加了学生列方程的难度.一个量算两次——这种列方程的方法既开阔了我们的思路，又为我们列方程解应用题提供了方便.
参考文献
[1] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2003.15.
[2] 波利亚.数学的发现(第一卷)[M].呼和浩特：内蒙古人民出版社，1980.213.
[3] 陈林香.列方程解应用题时如何寻找等量关系[J].初中数学教与学.2006，(4)：10-11.
[4] 曹术环，韩月芹.列方程解应用题中找等量关系的四种方法[J].数理化学习(初中版).2004，(3)：11-12.
作者简介：刁颖，1983年10月出生，天津师范大学数学科学学院硕士研究生，专业是课程与教学论，主要研究方向是数学教育.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
