解决线段ｍ＋ｎ＝ｐ的两种基本思路
义务教育八年级学生在学习证明内容时，对于线段m=n的证明能比较容易地找到思路，对于m+n=p的证明，很多同学感到比较吃力，找不到解决方法. 现介绍两种基本思路，以供参考.
1 “截长”
（即在p上截取一线段a使之等于m，然后证明剩下的线段等于n便可. ）
(1)长线段上有截点.
图1例1 已知：如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AM⊥EF，垂足为M，且AM=AB. 求证：EF=BE+DF.
分析 截点M已经把长线段EF截成了两段EM和MF. 我们只要证明BE和DF与EM和MF对应相等便可.
证明 连结AE和AF. 因为AB=AM，∠ABC=∠AME，AE=AE，所以△ABE≌△AME，所以BE=ME，
同理可证△ADF≌△AMF，得到DF=MF. 所以ME+MF=BE+DF，即：EF=BE+DF.
(2)长线段上无截点
图2例2 已知：如图2，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，
CD过E点，求证：AB=AC+BD.
分析 在AB上截取AF=AC，再证BF=BD便可.
证明 在AB上截取AF=AC，连结EF.
在△ACE和△AFE中,
AC=AF,∠1=∠2,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE，
所以∠C=∠5.
又因为AC∥BD，
所以∠C+∠D=180°.
又因为∠5+∠6=180°,
所以∠D=∠6.
在△BFE和△BDE中,
∠D=∠6,∠3=∠4,BE=BE,
所以△BFE≌△BDE,
所以BF=BD,
所以AB=AC+BD.
2 “补短”
（即把线段m和n补成一条线段，证明所得的线段与p相等. ）
(1)直接补短.
图3例3 正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交DC于F.
求证：BE=CF+AE.
证明 延长FC到N使得CN=AE,
因为ABCD为正方形,
所以△BAE≌△BCN,
所以∠3=∠4,BE=BN.
又因为∠1=∠2,
所以∠1+∠4=∠2+∠3.又因为∠BFN=∠1+∠4（内错角）,
所以∠BFN=∠2+∠3,
所以BN=FN,
所以BE=FN=FC+CN=FC+AE.
(2)间接补短.
图4例4 参看例2
分析 如果延长BD到F直接使得DF=AC，需要证明A、E、F三点共线，有一定的困难，不妨采取下面间接的方法
证明 延长BD和AE交于一点F,
因为∠1=∠2,∠3=∠4,AC∥BD,
所以∠2+∠4=90°,
所以∠BEA=∠BEF=90°,
在△BEA和△BEF中,
∠3=∠4,BE=BE,∠BEA=∠BEF,
所以△BEA≌△BEF,
AB=BF,AE=FE.
在△ACE和△FDE中,
∠1=∠F（AC∥BD）,∠AEC=∠FED,AE=FE（已证）,
所以△ACE≌△FDE,
所以AC=DF,
所以AB=BF=BD+DF=BD+AC.
作者简介 崔现昌，1988年参加工作. 一直从事数学教学工作，并负责学校的竞赛辅导. 曾辅导多人在全国竞赛中获奖，有多篇论文在省、国家报刊上发表.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
1 “截长”
（即在p上截取一线段a使之等于m，然后证明剩下的线段等于n便可. ）
(1)长线段上有截点.
图1例1 已知：如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AM⊥EF，垂足为M，且AM=AB. 求证：EF=BE+DF.
分析 截点M已经把长线段EF截成了两段EM和MF. 我们只要证明BE和DF与EM和MF对应相等便可.
证明 连结AE和AF. 因为AB=AM，∠ABC=∠AME，AE=AE，所以△ABE≌△AME，所以BE=ME，
同理可证△ADF≌△AMF，得到DF=MF. 所以ME+MF=BE+DF，即：EF=BE+DF.
(2)长线段上无截点
图2例2 已知：如图2，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，
CD过E点，求证：AB=AC+BD.
分析 在AB上截取AF=AC，再证BF=BD便可.
证明 在AB上截取AF=AC，连结EF.
在△ACE和△AFE中,
AC=AF,∠1=∠2,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE，
所以∠C=∠5.
又因为AC∥BD，
所以∠C+∠D=180°.
又因为∠5+∠6=180°,
所以∠D=∠6.
在△BFE和△BDE中,
∠D=∠6,∠3=∠4,BE=BE,
所以△BFE≌△BDE,
所以BF=BD,
所以AB=AC+BD.
2 “补短”
（即把线段m和n补成一条线段，证明所得的线段与p相等. ）
(1)直接补短.
图3例3 正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交DC于F.
求证：BE=CF+AE.
证明 延长FC到N使得CN=AE,
因为ABCD为正方形,
所以△BAE≌△BCN,
所以∠3=∠4,BE=BN.
又因为∠1=∠2,
所以∠1+∠4=∠2+∠3.又因为∠BFN=∠1+∠4（内错角）,
所以∠BFN=∠2+∠3,
所以BN=FN,
所以BE=FN=FC+CN=FC+AE.
(2)间接补短.
图4例4 参看例2
分析 如果延长BD到F直接使得DF=AC，需要证明A、E、F三点共线，有一定的困难，不妨采取下面间接的方法
证明 延长BD和AE交于一点F,
因为∠1=∠2,∠3=∠4,AC∥BD,
所以∠2+∠4=90°,
所以∠BEA=∠BEF=90°,
在△BEA和△BEF中,
∠3=∠4,BE=BE,∠BEA=∠BEF,
所以△BEA≌△BEF,
AB=BF,AE=FE.
在△ACE和△FDE中,
∠1=∠F（AC∥BD）,∠AEC=∠FED,AE=FE（已证）,
所以△ACE≌△FDE,
所以AC=DF,
所以AB=BF=BD+DF=BD+AC.
作者简介 崔现昌，1988年参加工作. 一直从事数学教学工作，并负责学校的竞赛辅导. 曾辅导多人在全国竞赛中获奖，有多篇论文在省、国家报刊上发表.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
