静电场中“两线一面”问题例讲
王玮
静电场的知识是高中物理的重点内容，同时又因涉及的概念繁多且抽象而成为学生学习的难点，特别是遇到“两线一面”问题时更是无从下手。
“两线一面”指的是带电粒子在电场中的轨迹线、电场线和等势面。这类问题综合性比较强，往往涉及带电粒子的电性、受力、运动、做功问题以及能量变化问题等等。要解决这类问题就需要熟练掌握几种典型电场的电场线、等势面的分布规律，并能灵活运用所学静电场的相关知识。
知识储备
静电场相关知識及规律
1.电场中某点的场强方向就是正电荷在该点所受电场力的方向；
2.做曲线运动时，带电粒子所受合力（往往仅受电场力）指向轨迹的内侧；
3.电场线或等差等势面密集的地方场强大；
4.电场线与等势面处处垂直，且沿着电场线的方向电势逐渐降低；
5.电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
明确“两线一面”的切线方向
1.电场线某点的切线方向即为该点的场强方向；
2.运动轨迹的切线方向为该点的瞬时速度方向；
3.电场线的切线与等势面的切线方向处处垂直；
例题选讲
电场线与轨迹线的关系
例1 如图1所示，实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带电粒子的运动轨迹。粒子先经过M点，再经过N点。可以判定（ ）
A.粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力
B.M点的电势高于N点的电势
C.粒子带正电
D.粒子在M点的动能大于在N点的动能
解析 电场线的疏密表示场强的大小，电场线越密集，场强越大。可知M点的场强小，由F=Eq得粒子在M点受到的电场力小，由F=ma可知M点的加速度也小，A错误。
沿电场线方向，电势逐渐降低。所以M点的电势高于N点的电势，B正确。
如图2所示，用“速度线与力线”的方法，即在粒子运动的始点M作上述两条线，由电场力的方向与场强方向相同，可知粒子带正电，C正确。由于力与速度的夹角为锐角，所以电场力做正功，粒子的电势能减小，由能量守恒知其动能增加，D错误。
答案BC
小结：带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
1.“运动与力两线法”——画出“速度线”（轨迹在初始位置的切线）与“力线”（在初始位置电场线的切线方向），由合力方向指向轨迹曲线的内侧确定电场力的方向，从而分析电场方向或电荷的正负；
2.判断电场力做功的正负：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加；
3.根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
等势面与轨迹线的关系
例2 一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图3所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下列说法正确的有（ ）
A.粒子带负电荷
B.粒子的加速度先不变，后变小
C.粒子的速度不断增大
D.粒子的电势能先减小，后增大
解析 电场线（与等势面处处垂直）如图4所示，由于合力总是指向运动轨迹的内侧，则电场力与场强方向相反，所以粒子带负电，A正确；
因为等势面先平行并且密，后变疏，说明电场强度先不变，后变小，则电场力先不变，后变小，由F=ma得加速度先不变，后变小，B正确；
由力与速度的夹角知电场力一直做负功，粒子的速度一直减小，电势能一直增大，C、D错误。
答案AB
小结：根据所给的等势面，明确电场分布情况，画出电场线，再根据电场线与轨迹线的方向判定电荷的电性、找到电荷的受力方向、受力大小变化；根据运动轨迹，判断功的正负、动能及电势能的变化。
电场线与等势面的关系
例3 如图5所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点0处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为（ ）
A.200V/m B.200√3V/m
C.100V/m D.100√3V/m
解析
小结
1.在匀强电场中，电势沿直线均匀变化，由U=Ed知直线上等距离的两段电势差相等；
2.等分线段找等势点法：将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，必能找到第三点电势的等势点，它们的连线即为等势面，与其垂直的线就是电场线，且沿着电场线的方向电势逐渐降低。
学法总结
关于静电场中的“两线一面”问题，牢牢抓住以下几点：由电场线的疏密定电场力（加速度）的大小；由轨迹的内侧判断力的方向；由电场力与电场强度的方向是否相同判断粒子的电性；由力与速度的夹角大小判断正负功；由电场力做功与电势能的变化关系得电势能的增减、动能的增减等有关问题。
相信通过多想、多问、多练，静电场中的这类问题定能迎刃而解。
静电场的知识是高中物理的重点内容，同时又因涉及的概念繁多且抽象而成为学生学习的难点，特别是遇到“两线一面”问题时更是无从下手。
“两线一面”指的是带电粒子在电场中的轨迹线、电场线和等势面。这类问题综合性比较强，往往涉及带电粒子的电性、受力、运动、做功问题以及能量变化问题等等。要解决这类问题就需要熟练掌握几种典型电场的电场线、等势面的分布规律，并能灵活运用所学静电场的相关知识。
知识储备
静电场相关知識及规律
1.电场中某点的场强方向就是正电荷在该点所受电场力的方向；
2.做曲线运动时，带电粒子所受合力（往往仅受电场力）指向轨迹的内侧；
3.电场线或等差等势面密集的地方场强大；
4.电场线与等势面处处垂直，且沿着电场线的方向电势逐渐降低；
5.电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
明确“两线一面”的切线方向
1.电场线某点的切线方向即为该点的场强方向；
2.运动轨迹的切线方向为该点的瞬时速度方向；
3.电场线的切线与等势面的切线方向处处垂直；
例题选讲
电场线与轨迹线的关系
例1 如图1所示，实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带电粒子的运动轨迹。粒子先经过M点，再经过N点。可以判定（ ）
A.粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力
B.M点的电势高于N点的电势
C.粒子带正电
D.粒子在M点的动能大于在N点的动能
解析 电场线的疏密表示场强的大小，电场线越密集，场强越大。可知M点的场强小，由F=Eq得粒子在M点受到的电场力小，由F=ma可知M点的加速度也小，A错误。
沿电场线方向，电势逐渐降低。所以M点的电势高于N点的电势，B正确。
如图2所示，用“速度线与力线”的方法，即在粒子运动的始点M作上述两条线，由电场力的方向与场强方向相同，可知粒子带正电，C正确。由于力与速度的夹角为锐角，所以电场力做正功，粒子的电势能减小，由能量守恒知其动能增加，D错误。
答案BC
小结：带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
1.“运动与力两线法”——画出“速度线”（轨迹在初始位置的切线）与“力线”（在初始位置电场线的切线方向），由合力方向指向轨迹曲线的内侧确定电场力的方向，从而分析电场方向或电荷的正负；
2.判断电场力做功的正负：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加；
3.根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
等势面与轨迹线的关系
例2 一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图3所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下列说法正确的有（ ）
A.粒子带负电荷
B.粒子的加速度先不变，后变小
C.粒子的速度不断增大
D.粒子的电势能先减小，后增大
解析 电场线（与等势面处处垂直）如图4所示，由于合力总是指向运动轨迹的内侧，则电场力与场强方向相反，所以粒子带负电，A正确；
因为等势面先平行并且密，后变疏，说明电场强度先不变，后变小，则电场力先不变，后变小，由F=ma得加速度先不变，后变小，B正确；
由力与速度的夹角知电场力一直做负功，粒子的速度一直减小，电势能一直增大，C、D错误。
答案AB
小结：根据所给的等势面，明确电场分布情况，画出电场线，再根据电场线与轨迹线的方向判定电荷的电性、找到电荷的受力方向、受力大小变化；根据运动轨迹，判断功的正负、动能及电势能的变化。
电场线与等势面的关系
例3 如图5所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点0处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为（ ）
A.200V/m B.200√3V/m
C.100V/m D.100√3V/m
解析
小结
1.在匀强电场中，电势沿直线均匀变化，由U=Ed知直线上等距离的两段电势差相等；
2.等分线段找等势点法：将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，必能找到第三点电势的等势点，它们的连线即为等势面，与其垂直的线就是电场线，且沿着电场线的方向电势逐渐降低。
学法总结
关于静电场中的“两线一面”问题，牢牢抓住以下几点：由电场线的疏密定电场力（加速度）的大小；由轨迹的内侧判断力的方向；由电场力与电场强度的方向是否相同判断粒子的电性；由力与速度的夹角大小判断正负功；由电场力做功与电势能的变化关系得电势能的增减、动能的增减等有关问题。
相信通过多想、多问、多练，静电场中的这类问题定能迎刃而解。
