历史与未来
一、历史继承与现实改革
我们不能因循守旧。知识在不断更新，我们的教材不能一成不变，总得适应时代，跟进时代。跟进时代是不容易的，举一个例子：概率统计现在在教材里是没有问题的，是牢牢站住脚跟的，而且篇幅还占的比较多。记得九十年代初期的时候，我参加教材审查，当时在青岛找中学老师开了一个座谈会，会上试着提出在中学教材中增加概率统计的内容，但是到会的几乎99%的中学老师都不同意加。概率统计加进来是很困难的，实际上当时并没有说是改大纲。后来慢慢地逐步渗透，经过许多年以后。每一本教材都有了概率统计的内容，而当初中课标出来的时候，把概率统计作为正式的内容加进去以后，它就理所应当占据了比较稳定的地位。想象一下当时不加概率统计，现在我们的教材会是什么样子的？可见跟进时代是一个很重要的议题。
另一方面我们对历史不能采取虚无主义。就是说我们要在继承历史的基础上前进。王建磐校长说中国的数学教育历史追溯到100多年以前，数学教育改革的历史实际上也牵涉到100多年以前。比方说1905年废除科举，我想是最大的教育改革。如果近代数学从1913年北人数学门成立算起，到今年正好整整100年。在这i00年当中，我们不断在改革，包括1949年以前也在改革，中间有成功的，也有要总结教训的。1911年辛亥革命以后，走出去，请进来，到二十年代，中国的数学教育还是有很多可以吸取经验的地方。为什么这么说呢？我们看一个同家的教育成功不成功，主要看培养出什么人才。三十年代我只举两个人就够了：华罗庚、陈省身。陈省身是科班出身，是三十年代我们国家培养的第一个数学专业的硕士：而华罗庚是自学成才，确确实实只有初中文凭，他到清华也是三十年代的事情。这两个不同背景的人都能走到世界一流数学家的舞台上，这是高等教育不拘一格降人才的成果，在这背后我想还有基础教育的作用。傅种孙教授在1949年以前就提出来搞混合数学，混合数学就是像现在我们的教材这样，代数、几何都是打通的，但是后来他做了一段时间以后就没有再做下去。我觉得从辛亥革命到三十年代，经过短短的二十年，中国的基础教育和高等教育还是有成功的地方，我把它叫做1930现象，应该很好地去发扬与总结的。
“双基”教育是新中国成立以后我们教育的一大特色，当然有吸收其他文化的因素，但是我们把它发展、融合、吸收成为我们国家自己的品牌。还有高等教育，这是我亲身经历的，比方说华罗庚在科大提出把数学分析、高等代数，还有其他一些高等数学内容整合为一个整体来进行教学，也就是所谓的“一条龙”教育，由国内最著名的数学家，像华罗庚、吴文俊、关肇直亲自到科大来讲课，当时叫“三龙”——华龙、吴龙和关龙。每条龙都有自己的特色，都有自己的教材。科大在成立五十年的时候对“一条龙”的教学也有初步的总结，但是比较粗略的。比方说华罗庚先生的教材《高等数学引论》，已经这么多年过去了，还在国内高教社重新印刷出版，在国外，这套教材已经被英国剑桥大学出版社翻译出版。英国剑桥大学出版社把我们五十年代（1958年-1961年）科大的教材拿出来翻译出版，我想这里面还是应该有一点东西的。我的意思是我们还是应该对我们过去的经验加以总结。最近几年以数学教育史作为主题的学位论文（包括硕士论文、博士论文）我自己审过的恐怕不止十篇，这里面有过去的数学教材、数学课程，还有以数学家的教育思想做主题的。我觉得这是值得提倡的，这就是总结历史的经验。
二、从“双基”到“四基”及“四基”之间的关系
首先，双基教学是我们国家在长期教育实践中形成的优良教育传统，是具有中国特色的自主性教育遗产，不应把它当作保守落后的东西削弱扬弃，而应该继承发展。张奠宙教授编了一本书叫做《中国数学双基教学》（上海教育出版社，2006），对我们国家的双基教育进行了系统的总结，也提出了怎么样继承与发扬双基教育的看法。在该书封面上印了两行字，我在这里引用其中与“历史与未来”有关的一句话——继承传统，认识自己，才能面向未来。这句话给我印象很深。我们在继承双基教学的同时，随着时代的变化而丰富、拓展，这就导致了“四基”的提出。
基础知识和基本技能过去有解释，新课标也有说明；基本数学思想课标上列了一些：抽象、模型、定量化、演绎、归纳、转化、分类、数形结合、随机思想、消元、变换。它们要分层次，不是在一个层次上，抽象是最上位的，没有抽象，就没有数学；基本数学活动经验在课标里的解释则是：从数学的角度发现问题，提出问题，综合运用数学知识解决简单实际问题。
我认为基础知识与基本技能是学习基本数学思想的载体，也是进行数学活动的素材，不可能离开具体的知识、技能来谈数学思想、数学活动。反之，基本数学思想的学习与数学活动的开展又可使得学生的知识学习与技能掌握加快、加深，并能灵活运用。后两基在新课标中明确提出来，是对以往双基教育的继承与发展，但这方面在实践中必然也会遇到问题，需要探索、积累。
三、历史倾向
统观数学的历史将会发现，数学的发展包括了两大主要活动：即创造算法（特别是与解方程相关的算法）、实施算法，论证推理、证明定理，相应地形成了数学发展史上的两大主要倾向（或两大主流）：算法倾向、演绎倾向。
我们可以看到，数学的发展呈现出算法倾向与演绎倾向交互繁荣、交替取得主导地位的螺旋式上升过程。笼统说来，古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替（定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁）；而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等地区繁荣起来f算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向）：17～18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代：从19世纪特别是19世纪七十年代以来，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势；而从20世纪四十年代中开始，主要由于电子计算机的发明及应用，正预示着一个算法倾向的新时代的到来。（参阅李文林：“算法、演绎倾向与数学史的分期”，《自然辩证法通讯》，1986年第2期；或《数学的进化》，科学出版社，2005）
最近我看到D.Mumford教授给丘成桐教授的一封信，公开发表在《数学与人文》的刊物上。D.Mumford是菲尔兹奖获得者、国际数学联盟的主席、美固哈佛大学教授，丘成桐是菲尔兹奖和沃尔夫奖双奖得主。两位数学大师近来都开始关注数学史，写了很多文章。我从Mumford给丘成桐先生的那封信中摘录了其中三段：
“对于我和其他许多人来说，Panani似乎是一位重量级人物，他将印度科学家引导到算法倾向，特别是递归算法，而不是证明的倾向。事实上，印度哲学家拒绝接受排中律。”
“作为中国数学的亮点，我想应该强调祖暅关于球体积的计算以及李冶、朱世杰关于等价结式的发明。”
“Ptolemy的《地理学》是解释晚期希腊人关于丝绸之路的知识以及他们对中国经度的估计的一个显著来源。Taxila（或Takshashila，塔克西拉）是印支希腊人和中国僧人相会的一个关键的学术中心。”
我选这几段话的意思是现在有数学家关心数学的历史，而且提出算法倾向与证明倾向这两个概念，我觉得探讨的这些问题值得我们思考。
以上以两大倾向为线索描述的数学发腱的历史揭示了数学作为人类文化的重要组成部分，及所具有的本质特征。
四、数学的本质与教育目标
我认为认识数学的本质，最关键的就是要认识数学与人类其他文化领域的区别与联系。说到数学最本质的特点，人们首先会说剑它的抽象性。但抽象性并非数学独有，数学的抽象不同于其他科学之处是在于，它舍弃了事物的其他一切方面而仅保留数量关系和空间形式数学的抽象从数与形等原始概念的形成中发其端，经过一系列阶段而达到了现代数学的程度。现代数学研究各种可能的、抽象的数量关系和空间形式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的特定关系与结构。这样就产生了诸如群、环、域、范畴、无穷维空间、分形几何、拓扑空问、微分流形、微分算子、随机过程、计算复杂性等等层出不穷的高度抽象的概念或结构，表征着现代数学各个领域的前沿。
以上是就数学研究对象而言。相应地，也许更重要的是数学的抽象反映到思维方式上，则赋予其对于人类社会的一项重要的义化功能——就是培养和发展人的思维能力。特别是理性思维能力。
培养思维能力不能说是数学独仃的功能。人们也可以并且需要通过其他知识的学习和实践来培养自己的思维能力。问题的焦点赴：什么是数学思维？数学思维在培养发腱人的心维能力方面与其他学科有何区别？有何特殊意义？
数学的思考方式包括很多方皿，计算、证明、归纳、类比、建模f建立模型）等等。但仔细考量，与人类其他知识领域相比较，数学心维最基本的两大方面是精确的定量化方法和严密的逻辑推理。自古以来，数学追求解决问题的一般算法。从初等的三角形面积算法剑描述各种自然和社会现象的复杂方程的解算，从简单的数据分析到现代统计推断，定量化的方法已经深入到各行各业。另一方面，数学运用特有的逻辑手段来组织知识、使之系统化、条理化和严格化；数学运用特有的逻辑证明来达到确定无疑的结论，提供正确性的标准。这种严密的逻辑论证方法己超越数学自身的范围，目益渗透到其他知识领域，如物理学、经济学甚至政治学中。
数学思维区别于其他学科的上述特征，简言之，可以用两个字来概括，就是：“算”（构造算法，实施算法）与“证”。我们前面关于数学发展的历史分析恰恰充分反映了数学作为一门独立的知识领域所具有的这种品质与特征。
综上所述，我想强调的是：数学区别于其他学科的两大特征，赋予数学以无可比拟的精确性和严密性，使数学在培养人的理性思维能力方面发挥着无可替代的作用。数学思维方式对于从事各种职业的公民在自己的岗位上获得成功与发展都是重要的智力保障。正因为如此、数学一直是传统教育的重要组成部分，并将继续成为培养有素养的现代公民和各个领域的创新人才的基础教育科目。
当前，我国的教育改革正在向纵深推进。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“人人都能获得良好的数学教育。不同的人在数学上得到不同_的发展”的数学教育目标。对于什么是“良好的数学教育”已经有多方面的解读。而我认为了解数学的本质、特征和价值，对于理解并实现基础教育数学课程的基本目标，具有根本的意义。我今天的发言是想强调数学发展的历史倾向所反映的数学特征，在某种程度上决定了其在人类文明中的地位，同时也决定了其教育功能。当然，数学是一个内涵极其丰富的领域，数学教育是一个多元的复杂过程。但事物有时需要返朴归真。在我们讨论的场合，所谓“朴”与“真”，应该就是数学的本源特征，它们提供了实现教育目标的最基本的坐标。牢牢把握基本坐标，我们的数学教改就会少一些摇摆反复，我们的数学教育就会稳步地走向实现“良好的数学教育”的光明未来！
我们不能因循守旧。知识在不断更新，我们的教材不能一成不变，总得适应时代，跟进时代。跟进时代是不容易的，举一个例子：概率统计现在在教材里是没有问题的，是牢牢站住脚跟的，而且篇幅还占的比较多。记得九十年代初期的时候，我参加教材审查，当时在青岛找中学老师开了一个座谈会，会上试着提出在中学教材中增加概率统计的内容，但是到会的几乎99%的中学老师都不同意加。概率统计加进来是很困难的，实际上当时并没有说是改大纲。后来慢慢地逐步渗透，经过许多年以后。每一本教材都有了概率统计的内容，而当初中课标出来的时候，把概率统计作为正式的内容加进去以后，它就理所应当占据了比较稳定的地位。想象一下当时不加概率统计，现在我们的教材会是什么样子的？可见跟进时代是一个很重要的议题。
另一方面我们对历史不能采取虚无主义。就是说我们要在继承历史的基础上前进。王建磐校长说中国的数学教育历史追溯到100多年以前，数学教育改革的历史实际上也牵涉到100多年以前。比方说1905年废除科举，我想是最大的教育改革。如果近代数学从1913年北人数学门成立算起，到今年正好整整100年。在这i00年当中，我们不断在改革，包括1949年以前也在改革，中间有成功的，也有要总结教训的。1911年辛亥革命以后，走出去，请进来，到二十年代，中国的数学教育还是有很多可以吸取经验的地方。为什么这么说呢？我们看一个同家的教育成功不成功，主要看培养出什么人才。三十年代我只举两个人就够了：华罗庚、陈省身。陈省身是科班出身，是三十年代我们国家培养的第一个数学专业的硕士：而华罗庚是自学成才，确确实实只有初中文凭，他到清华也是三十年代的事情。这两个不同背景的人都能走到世界一流数学家的舞台上，这是高等教育不拘一格降人才的成果，在这背后我想还有基础教育的作用。傅种孙教授在1949年以前就提出来搞混合数学，混合数学就是像现在我们的教材这样，代数、几何都是打通的，但是后来他做了一段时间以后就没有再做下去。我觉得从辛亥革命到三十年代，经过短短的二十年，中国的基础教育和高等教育还是有成功的地方，我把它叫做1930现象，应该很好地去发扬与总结的。
“双基”教育是新中国成立以后我们教育的一大特色，当然有吸收其他文化的因素，但是我们把它发展、融合、吸收成为我们国家自己的品牌。还有高等教育，这是我亲身经历的，比方说华罗庚在科大提出把数学分析、高等代数，还有其他一些高等数学内容整合为一个整体来进行教学，也就是所谓的“一条龙”教育，由国内最著名的数学家，像华罗庚、吴文俊、关肇直亲自到科大来讲课，当时叫“三龙”——华龙、吴龙和关龙。每条龙都有自己的特色，都有自己的教材。科大在成立五十年的时候对“一条龙”的教学也有初步的总结，但是比较粗略的。比方说华罗庚先生的教材《高等数学引论》，已经这么多年过去了，还在国内高教社重新印刷出版，在国外，这套教材已经被英国剑桥大学出版社翻译出版。英国剑桥大学出版社把我们五十年代（1958年-1961年）科大的教材拿出来翻译出版，我想这里面还是应该有一点东西的。我的意思是我们还是应该对我们过去的经验加以总结。最近几年以数学教育史作为主题的学位论文（包括硕士论文、博士论文）我自己审过的恐怕不止十篇，这里面有过去的数学教材、数学课程，还有以数学家的教育思想做主题的。我觉得这是值得提倡的，这就是总结历史的经验。
二、从“双基”到“四基”及“四基”之间的关系
首先，双基教学是我们国家在长期教育实践中形成的优良教育传统，是具有中国特色的自主性教育遗产，不应把它当作保守落后的东西削弱扬弃，而应该继承发展。张奠宙教授编了一本书叫做《中国数学双基教学》（上海教育出版社，2006），对我们国家的双基教育进行了系统的总结，也提出了怎么样继承与发扬双基教育的看法。在该书封面上印了两行字，我在这里引用其中与“历史与未来”有关的一句话——继承传统，认识自己，才能面向未来。这句话给我印象很深。我们在继承双基教学的同时，随着时代的变化而丰富、拓展，这就导致了“四基”的提出。
基础知识和基本技能过去有解释，新课标也有说明；基本数学思想课标上列了一些：抽象、模型、定量化、演绎、归纳、转化、分类、数形结合、随机思想、消元、变换。它们要分层次，不是在一个层次上，抽象是最上位的，没有抽象，就没有数学；基本数学活动经验在课标里的解释则是：从数学的角度发现问题，提出问题，综合运用数学知识解决简单实际问题。
我认为基础知识与基本技能是学习基本数学思想的载体，也是进行数学活动的素材，不可能离开具体的知识、技能来谈数学思想、数学活动。反之，基本数学思想的学习与数学活动的开展又可使得学生的知识学习与技能掌握加快、加深，并能灵活运用。后两基在新课标中明确提出来，是对以往双基教育的继承与发展，但这方面在实践中必然也会遇到问题，需要探索、积累。
三、历史倾向
统观数学的历史将会发现，数学的发展包括了两大主要活动：即创造算法（特别是与解方程相关的算法）、实施算法，论证推理、证明定理，相应地形成了数学发展史上的两大主要倾向（或两大主流）：算法倾向、演绎倾向。
我们可以看到，数学的发展呈现出算法倾向与演绎倾向交互繁荣、交替取得主导地位的螺旋式上升过程。笼统说来，古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替（定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁）；而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等地区繁荣起来f算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向）：17～18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代：从19世纪特别是19世纪七十年代以来，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势；而从20世纪四十年代中开始，主要由于电子计算机的发明及应用，正预示着一个算法倾向的新时代的到来。（参阅李文林：“算法、演绎倾向与数学史的分期”，《自然辩证法通讯》，1986年第2期；或《数学的进化》，科学出版社，2005）
最近我看到D.Mumford教授给丘成桐教授的一封信，公开发表在《数学与人文》的刊物上。D.Mumford是菲尔兹奖获得者、国际数学联盟的主席、美固哈佛大学教授，丘成桐是菲尔兹奖和沃尔夫奖双奖得主。两位数学大师近来都开始关注数学史，写了很多文章。我从Mumford给丘成桐先生的那封信中摘录了其中三段：
“对于我和其他许多人来说，Panani似乎是一位重量级人物，他将印度科学家引导到算法倾向，特别是递归算法，而不是证明的倾向。事实上，印度哲学家拒绝接受排中律。”
“作为中国数学的亮点，我想应该强调祖暅关于球体积的计算以及李冶、朱世杰关于等价结式的发明。”
“Ptolemy的《地理学》是解释晚期希腊人关于丝绸之路的知识以及他们对中国经度的估计的一个显著来源。Taxila（或Takshashila，塔克西拉）是印支希腊人和中国僧人相会的一个关键的学术中心。”
我选这几段话的意思是现在有数学家关心数学的历史，而且提出算法倾向与证明倾向这两个概念，我觉得探讨的这些问题值得我们思考。
以上以两大倾向为线索描述的数学发腱的历史揭示了数学作为人类文化的重要组成部分，及所具有的本质特征。
四、数学的本质与教育目标
我认为认识数学的本质，最关键的就是要认识数学与人类其他文化领域的区别与联系。说到数学最本质的特点，人们首先会说剑它的抽象性。但抽象性并非数学独有，数学的抽象不同于其他科学之处是在于，它舍弃了事物的其他一切方面而仅保留数量关系和空间形式数学的抽象从数与形等原始概念的形成中发其端，经过一系列阶段而达到了现代数学的程度。现代数学研究各种可能的、抽象的数量关系和空间形式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的特定关系与结构。这样就产生了诸如群、环、域、范畴、无穷维空间、分形几何、拓扑空问、微分流形、微分算子、随机过程、计算复杂性等等层出不穷的高度抽象的概念或结构，表征着现代数学各个领域的前沿。
以上是就数学研究对象而言。相应地，也许更重要的是数学的抽象反映到思维方式上，则赋予其对于人类社会的一项重要的义化功能——就是培养和发展人的思维能力。特别是理性思维能力。
培养思维能力不能说是数学独仃的功能。人们也可以并且需要通过其他知识的学习和实践来培养自己的思维能力。问题的焦点赴：什么是数学思维？数学思维在培养发腱人的心维能力方面与其他学科有何区别？有何特殊意义？
数学的思考方式包括很多方皿，计算、证明、归纳、类比、建模f建立模型）等等。但仔细考量，与人类其他知识领域相比较，数学心维最基本的两大方面是精确的定量化方法和严密的逻辑推理。自古以来，数学追求解决问题的一般算法。从初等的三角形面积算法剑描述各种自然和社会现象的复杂方程的解算，从简单的数据分析到现代统计推断，定量化的方法已经深入到各行各业。另一方面，数学运用特有的逻辑手段来组织知识、使之系统化、条理化和严格化；数学运用特有的逻辑证明来达到确定无疑的结论，提供正确性的标准。这种严密的逻辑论证方法己超越数学自身的范围，目益渗透到其他知识领域，如物理学、经济学甚至政治学中。
数学思维区别于其他学科的上述特征，简言之，可以用两个字来概括，就是：“算”（构造算法，实施算法）与“证”。我们前面关于数学发展的历史分析恰恰充分反映了数学作为一门独立的知识领域所具有的这种品质与特征。
综上所述，我想强调的是：数学区别于其他学科的两大特征，赋予数学以无可比拟的精确性和严密性，使数学在培养人的理性思维能力方面发挥着无可替代的作用。数学思维方式对于从事各种职业的公民在自己的岗位上获得成功与发展都是重要的智力保障。正因为如此、数学一直是传统教育的重要组成部分，并将继续成为培养有素养的现代公民和各个领域的创新人才的基础教育科目。
当前，我国的教育改革正在向纵深推进。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“人人都能获得良好的数学教育。不同的人在数学上得到不同_的发展”的数学教育目标。对于什么是“良好的数学教育”已经有多方面的解读。而我认为了解数学的本质、特征和价值，对于理解并实现基础教育数学课程的基本目标，具有根本的意义。我今天的发言是想强调数学发展的历史倾向所反映的数学特征，在某种程度上决定了其在人类文明中的地位，同时也决定了其教育功能。当然，数学是一个内涵极其丰富的领域，数学教育是一个多元的复杂过程。但事物有时需要返朴归真。在我们讨论的场合，所谓“朴”与“真”，应该就是数学的本源特征，它们提供了实现教育目标的最基本的坐标。牢牢把握基本坐标，我们的数学教改就会少一些摇摆反复，我们的数学教育就会稳步地走向实现“良好的数学教育”的光明未来！
