例谈因式分解的方法

    郭武义

    摘 要 典型题目编制，适时有效的课堂应用训练，会使学生对知识点的理解、掌握有很大的帮助和提高，提高了课堂学习效率。

    关键词 有效命题 课堂训练题的有效性

    中图分类号：G633.6 文献标识码：A

    因式分解和整式的乘法是互逆运算，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式。反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的乘积的形式。本文将通过实例探讨因式分解的方法。

    1提取公因式法

    1.1典例精析

    例1：因式分解：（1）16x2y3+8x2y2z-12xy2z；

    （2）15x（x-2y）3-20y（2y-x）3。

    分析：第（1）小题的关键是确定公因式。公因式的确定方法：对于数字取各项系数的最大公约数，对于字母（含字母的多项式），取各项都含有的字母（含字母的多项式），相同的字母（含字母的多项式）的指数，取次数最低次幂，它们的乘积就是各项的公因式；第（2）小题先将（x-2y）3和（2y-x）3化成同底数幂，再提取公因式，变形时注意符号。

    解：（1）原式=4xy2（4xy+2xz-3z）

    （2）原式=15x（x-2y）3+20y（x-2y）3=5（x-2y）3（3x+4y）

    例2：已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值。

    分析：先分解因式，再代值计算。

    解：原式=x3y3（2x-y）=（xy）3（2x-y）

    =23？

    1.2跟踪训练

    因式分解：（1）a2b3c+2ab2c3-ab2c；

    （2）x（5-x）+2（x-5）；

    利用分解因式计算：86？01.5+33？01.5-19？01.5。

    2公式法因式分解

    2.1例题精析

    例1：用平方差公式分解因式：

    （1）a2y-16y； （2）（x+2）2-1； （3）y4-1。

    分析：不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件。对于二项式的多项式因式分解，有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；分解因式要彻底，一直要分解到不能分解为止，使每个因式不能含有还能继续分解的因式。

    解：（1）原式=y（a2-16）=y（a+4）（a-4）

    （2）原式=（x+2+1）（x+2-1）=（x+3）（x+1）

    （3）原式=（y2+1）（y2-1）=（y2+1）（y+1）（y-1）

    例2：已知x+y=3，x2-y2=6，求x，y的值。

    分析：先将x2-y2分解因式后求出x-y的值，再与x+y组成方程组求x，y的值，这个题目是因式分解和方程组知识小综合题目，在课堂上训练此类题目学生会提高学生综合运用所学知识的能力。

    解：依题意，得

    （x+y）（x-y）=6.∴x-y=2

    ∴∴

    例3：用完全平方公式分解因式：

    （1）x2+xy+y2；

    （2）（a2-2a）2+2（a2-2a）+1.

    分析：完全平方公式：a2？ab+b2=（a眀）2，即两个数的平方加上（或減去）这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。其中a2？ab+b2叫完全平方式，完全平方式其中有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，另一项为这两个数或两个式子积的2倍或2倍的相反数。第（1）题先找准是哪两个数的平方和，既确定公式中的a、b，再判断是否符合完全平方式结构；第（2）小题先要把括号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止。

    解：（1）原式=（x+y）2

    2）原式=（a2-2a+1）2=[（a-1）2]2=（a-1）4。

    例4：已知 x+ =8，求：

    （1）x2+的值； （2）（x- ）2的值。

    分析：这里需要活用公式，如x2+=（x+ ）2-2，（x- ）2=（x+ ）2-4将两个完全平方公式进行互相转化。这里有（a-b）2=（a+b）2-4ab的应用。

    解：（1）x2+=（x+ ）2-2=82-2=62。

    （2）（x- ）2=（x+ ）2-4=82-4=60。

    例5：已知|x-2︱+y2 -y+ =0，求yx的值。

    分析：先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a，b。既若几个非负数的和等于0，则这几个非负数同时等于0。

    解：依题意，得|x-2︱+（y-）2=0

    ∴ ∴

    ∴yx=（）2=

    完全平方公式应用总结：（1）注意完全平方式有两个；（2）用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑公式a2？ab+b2=（a眀）2中的a、b。

    2.2跟踪训练

    （1）因式分解 ：

    ③x5-x； ④（x+2y）2-4（x-y）2。

    （2）因式分解：

    ①（a2-4a）2+8（a2-4a）+16； ②3x2-18x+27；

    ③x2+xy+y2。

    （3）利用因式分解计算：1022+102？96+982。

    （4）如果x2+mxy+36y2是一个完全平方式，那么m的值是________。

    3十字相乘法因式分解

    新人教版八年级上册教材中x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解也叫做十字相乘法因式分解，也叫做二次三项式因式分解，通常有两种类型。利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（px+m）（qx+n）竖式乘法法则.它的一般规律分两种类型。

    类型1：对于x2+bx+c，若c=pq， b=p+q，则x2+bx+c=x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

    3.1例题精析

    例1：把下列各式分解因式：

    （1）x2+8x+7；（2）x2-3x+2。

    分析：（1）常数项7可分为1？，且1+7=8恰为一次项系数；

    （2）常数项2可分为（-1） ？-2），而（-1）+（-2）=-3恰为一次项系数。

    解：（1）x2+8x+7= x2+（1+7）x+1？=（x+1）（x+7）；

    （2）x2-3x+2= x2+（-1-2）x+（-1） ？-2）=（x-1）（x-2）

    类型2：对于ax2+bx+c，若a=pq，c=mn，b=pn+qm，其中a﹥0，p﹥0，q﹥0，则ax2+bx+c=pq x2+（pn+qm）+mn=（px+m）（qx+n）

    例2：把下列各式分解因式：

    （1）2x2+5x-7；（2）3x2+11x+6。

    分析：我们要把多项式ax2+bx+c分解成形如（px+m）（qx+n）形式。二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.具体的方法是“一拆二加三横写”。如第（1）小题“一拆”为：

    十字交叉相乘相加即“二加”为2？-1）+1？=5，“三横写”为 （2x+7）（x-1）。这里也可以概括为“拆两头，凑中间”。

    解：（1）2x2+5x-7=（2x+7）（x-1）；

    （2）3x2+11x+6=（x+3）（3x+2）。

    3.2跟踪训练

    将下列多项式分解因式：

    （1）x2-7x+6； （2）3x2+2x-1； （3）x2+5x-6；

    （4）4x2-5x-9； （5）15x2-23x+8； （6）x4+11x2-12。

    4結语

    课堂上师生共同探讨完成例题解答，让学生独立完成跟踪训练，教师答疑指导。典型题目编制，适时有效的课堂应用训练，会使学生对知识点的理解、掌握有很大的帮助和提高，提高了课堂学习效率。本文内容在实施教学过程中要分几个课时进行。

    参考文献

    [1] 余文森.有效教学的实践与反思[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2008.

    [2] 赵文刚.课堂练习设计与考试命题技术实践研究[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2011.

    [3] 邓红英.初中数学教学有效练习设计策略研究[A].2014.

    [4] 李海东.义务教育教科书八年级数学上册教师教学用书[M].