以三角板为背景的几何命题探究

    兰洲

    [摘? 要] 三角板是学生常用的作图工具，以三角板为基础综合数学内容命制的考题在中考中十分常见，如三角板与旋转、三角板与圆、三角板与反比例函数、三角板与平移等. 文章将探究三角板相关考题的知识背景，结合实例剖析问题的解析思路，提出相应的教学建议，与读者交流.

    [关键词] 三角板;旋转;圆;反比例函数;平移

    背景综述

    在“培養学生动手能力，提升学生探究思维”的教学理念下，近几年中考越发注重以学生熟悉的几何图形为载体来综合命制考题，考查学生的实践能力、解析思维. 三角板是学生常用的作图工具，由于三角板的边与角的特殊性，使其含有丰富的数学知识与规律，以其为背景融合几何图形、函数曲线，不仅极具创新性，还能较好地考查学生的探究归纳能力、运用思想方法的能力等. 这类问题往往立足基本的几何性质，综合图形运动、三角函数、曲线图像等知识，立意新颖、知识点众多，如求解叠放三角板旋转角度，分析三角板与圆的综合，思考函数曲线中的三角板位置，探究三角板平移过程等.

    实例探索

    1. 三角板旋转中的角度大小

    例1? （2020年齐齐哈尔市中考卷第9题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为______.

    解析：本题目中将两个45°角和30°角的三角板叠放，并将45°角三角板围绕点A顺时针旋转. 问题解析需要关注两点：一是两三角板叠放的位置，二是三角板旋转过程. 突破的关键条件是BC∥DE，可利用平行特性进行角度推导.

    因为BC∥DE，则∠CFA=∠D=90°，又因为∠CFA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，则∠BAD=30°，即旋转角∠BAD的度数为30°.

    点评? 上述分析叠放三角板旋转中的角度，实则考查平行线的性质以及外角的性质，解析过程要关注叠放三角形的位置关系，把握三角板旋转的三要素. 结合三角板的相对关系及角度特性构建角度模型.

    2. 三角板与圆的结合探究

    例2? 将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图3所示摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合. 以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC.

    （1）求证：EC平分∠AEB;

    （2）求 的值.

    解析：本题目将三角板与圆相结合，构建了复合模型，两小问分别求证角平分和三角形面积比值. 其中两个三角板的相对位置是解析的关键，另外在求解面积比值问题时要合理构建面积模型，将其转化为线段比值问题.

    （1）由条件可得∠BAC=∠ABC=45°，由圆周角定理可得∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换可得∠BEC=∠AEC，则EC平分∠AEB.

    （2）设AB与EC的交点为M，由角平分线的性质可得 = ，分析可得∠BAD=30°，由直径所对的圆周角为直角可得∠AEB=90°，通过解Rt△AEB可得AE= BE，所以 = = .

    分别过点A和B作EC的垂线，设垂足为点F和G，如图4所示. 则△ACE的面积为S = CE·AF，△BEC的面积为S = CE·BG， = . 分析可证Rt△AFM∽Rt△BGM，由三角形相似性质可得 = = ，所以 的值为 .

    评析? 上述将两个三角板进行叠放，并以其中一斜边构建了圆，从而使图形中不仅含有三角形特性，还涉及了几何圆性质. 一般求证角平分需通过等角代换进行推导，而解析三角形面积比值关系时，可将其转化为线段之比. 在几何中，线段之比的解法有三种思路：一是直接通过线段长度关系转化，二是由三角形相似性质推导，三是构建直角模型，利用三角形函数.

    3. 三角板与反比例函数融合思考

    例3? （2020年衢州市中考卷第15题）如图5，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y= （x>0）的图像恰好经过点F，M. 若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=8 ，则k=______.

    解析：本题目中将三角形、30°角的三角板摆放在平面直角坐标系中，提取三角板与直尺的几个交点来构建反比例函数曲线. 解析的关键是确定点F或M的坐标，实则就是求线段长，需要构建特殊三角形模型.

    过点M作AD的垂线，设垂足为点N，如图5所示. 则MN=CD=3，在Rt△FMN中，已知∠MFN=30°，MN=3，则FN= MN=3 ，AN=MB=8 -3 =5 . 设OA=x，OB=x+3，则点F和M的坐标分别为（x，8 ），（x+3，5 ）. 点F和M均位于反比例函数曲线上，将点坐标代入y= 中，联立可解得x=5，k=40 .

    评析? 上述将直尺和三角板放在了平面直角坐标系中，求反比例函数的k值，主要考查反比例函数图像上点的坐标特征. 将点坐标代入函数关系式是常用的方法，图中三角板的特殊角是隐含条件，可合理构建直角三角形模型，结合三角函数求线段长.

    4. 三角板平移过程的探究

    例4? （2020年青海市中考卷第27题）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.

    特例感知：

    （1）将一等腰直角三角尺按图6所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B. 通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG，请给予证明.

    猜想论证：

    （2）当三角尺沿AC方向移动到图7所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA，垂足为E. 此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想.

    联系拓展：

    （3）当三角尺在图7的基础上沿AC方向继续移动到图8所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）.

    解析：本题目为几何探究题，以三角板与三角形重叠平移为背景，探究线段之间的关系. 考题设计了三个阶段，问题难度逐步加深，但解析思路往往相似，可采用类比联想的方式解析.

    （1）图6中，三角板的直角边与AC重合，且另一直角边过点B，由∠F=∠G=90°，∠FAB=∠CAG，AB=AC可证△FAB≌△GAC（AAS），所以BF=CG.

    （2）三角板沿着AC方向继续平移，使得一条直角边与BC出现交点，探究DE、DF与CG的长度可采用等面积法. 连接AD，如图9所示，AD将△ABC分割为△ABD和△ADC两部分，则S =S +S . 已知DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，则结合面积公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF，又知AB=AC，所以CG=DE+DF.

    （3）该问是基于第（2）问的进一步探讨，可参考上述等面积转化思路解析. 同样连接AD，如圖10所示，由等面积法可得S =S +S ，已知DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，结合面积公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF，又知AB=AC，所以CG=DE+DF，即结论不变.

    评析? 上述结合等腰三角板进行几何平移，探究平移过程中线段之间的长度关系，三角板的出现不仅使问题更贴近生活，同时隐含着特殊角. 上述解析过程把握几何平移的特性，采用了全等变换、等面积变换两种方法探讨不同平移情形，充分体现了“动中有静”“化动为静”的解题策略. 与线段长度相关的几何问题，突破的方法有多种，除了上述的全等变换、等面积转化外，还可以采用相似转换、勾股定理、三角函数等.

    总结思考

    三角板是作图的常用工具，同时也是学生熟悉的特殊图形，以三角板为依托构建几何考题较为新颖，贴近生活，蕴含数学规律. 上述以三角板为背景，结合旋转、圆、反比例函数、平移构建了四大类问题，立足三角形基础知识，关注知识融合，注重方法探究，融合数学思想，引导学生深入探究考题，体验解题过程，总结解题方法，可显著提升学生的解题能力.

    中考创新题的“新”主要体现在命题形式上，但问题本质是不变的，依然遵循数学规律，按照常规思路进行命题构建. 在教学几何创新题时，可分以下四步进行：第一步，引导学生读题审题，总结问题所涉知识点;第二步，探究问题本质，思考转化思路;第三步，引导学生把握知识关联，结合思想方法简化解析;第四步，剖析构题思路，总结问题方法，适度拓展解法. “四步教学”法是基于问题本质、方法的解题探究，教学过程要注重引导思考、思维培养，可合理渗透数学的思想方法，培养学生的数学思维.

    以三角板为背景的几何问题类型较多，上述所呈现的是其中典型的几例，涉及基本图形、图形运动、函数内容等. 虽然问题形式不同，考查点有差异，但分析思路相一致. 问题探究要充分把握三角板角的特殊性，联系相关知识进行几何转化，合理利用数形结合方法，挖掘问题本质. 教学中建议注重剖析问题特点，关注解法思路，设问引导思考，提升学生的综合能力.