注重反思性学习，提高解题能力

    张红

    [摘? 要] 解题能力体现了学生对知识的掌握程度与思维的灵敏度. 反思性学习是提高学生解题能力的关键. 文章认为注重反思性学习，提高学生解题能力的具体措施有：关注例题反思，优化解题思维;注重探究反思，拓展解題思路;加强解题反思，获得解题能力.

    [关键词] 反思性学习;数学;解题

    构建主义认为：“学习是对学习活动过程不断构建、概括、反省和抽象的过程. ”其中，反省就是指反思性学习，主要是从不同的角度或层次来思考与解决问题的思维过程，它与生物体对食物的消化与吸收一样重要且无可替代. 新课标明确指出：“要引导学生在学习中逐渐形成反思意识，养成自主思考与大胆猜想的习惯.”据此，笔者借此文谈谈自己在注重反思性学习、培养学生解题能力的教学实践中的一些做法.

    关注例题反思，优化解题思维

    例题教学的目的在于实现新知的运用，使得学生达到“举一反三、以一通百”的教学成效. 可见，例题教学在数学教学中的重要性，想要达到融会贯通的目的，就需要学生有较强的解题思维，将所学知识灵活地运用到问题中. 教师在例题教学中应关注学生例题的反思情况，只有深刻理解例题的内涵，才能优化解题思维，达到一通百通的目的.

    案例1：“选择方案”的教学.

    原题：小王去超市买照明灯，在两种灯面前不知道怎么选择，第一种是功率为60 W（0.06 kW）的白炽灯，第二种是功率为10 W（0.01 kW）的节能灯，白炽灯与节能灯的售价分别为3元与60元，这两种照明灯的寿命（>3000 h）与亮度没有明显差别，电费单价为0.5元/（kW·h），小王选择哪种灯更划算？

    这是一个常见的生活现象，不少学生也遇到过这种类似选择的问题. 为了让学生弄清问题的来龙去脉，笔者以小组合作学习的方式进行授课. 具体方法如下：

    （1）从函数的角度去分析与解决问题，主要是帮助学生建立函数模型，使得学生能用这种方式思考同类问题.

    设这两种灯照明的时间为x h，白炽灯花费的费用为y =3+0.5×0.06x，节能灯花费的费用为y =60+0.5×0.01x，再比较y 与y 的大小，就能确定买哪种照明灯更划算.

    （2）利用数形结合思想解决问题，即分别列出这两种照明灯所花费的费用的关系式，根据关系式画出相应的函数图像（见图1），通过函数图像来解决问题.

    在学生得出结论后，笔者提出了几个问题供学生对以上两种解题过程进行反思.

    （1）刚刚分组学习获得的结论运用了哪些解题方法？

    （2）这些解题方法遵循了哪些步骤？

    （3）从本题的解题中，你得到了什么启示？

    学生经过反思与总结后认为利用一次函数来解决生活实际问题更便捷、易理解，一般此类问题的操作模式如图2所示.

    无论是在生活中，还是在解题中遇到数学问题，首先应尝试运用自己原有的认知水平与生活经验来研究问题，寻觅解决问题的突破口，在不断地尝试与总结中逐渐形成程序化的解题方案.

    该例题教学运用了以学生为主体的小组合作学习方式进行探究，学生的解题结果相当不错. 教师若将课堂教学就在这个时候画上句号，显得过于生硬;而在学生将问题解决之后，再提出几个问题供学生反思，能起到画龙点睛的作用.

    学生在反思环节中针对几个问题进行思考与总结，从问题的纵深进行了深思，而不是单纯地完成解题任务. 学生通过反思能更深刻地理解问题所蕴含的知识与解题方法，并通过逐渐深入地探究、内化知识，构建出新的知识网络系统，优化解题思维，成效显著.

    注重探究反思，拓展解题思路

    所有学科的教学都与探究活动的开展有着不可分割的联系. 其中，数学探究活动的开展不仅是深化学生对知识掌握的需求，还是提高学生解题能力的重要措施之一. 探究过程中，教师可穿插这样的问题：“说说你的想法.”“还有其他想法吗？”“你觉得是你的方法好，还是其他的方法好？这些方法有什么联系吗？”……类似于这样的问题能有效地引导学生产生学习性反思，并在这些问题的诱导下，不断开启解题思维，拓展解题思路.

    案例2：“梯形中位线”的教学.

    原题：如图3所示，将梯形ABCD沿着中位线EF进行第一次折叠，然后把包含∠B与∠C的部分分别沿着EG和FH进行第二次折叠，使得B点与C点都落在线段GH上，沿着折叠过的痕迹GE和FH剪下△GEB与△HFC，并按图中箭头所示方向旋转180°，可得出一个什么样的四边形？

    师：根据以上条件，你们觉得线段EF与线段AD，BC之间是怎样的位置关系与数量关系呢？

    生1：从图上来看，我猜想这三条线段之间应该是互相平行的关系.

    生2：我认同第一位同学的猜想，同时我觉得它们之间的数量关系应该是EF= （AD+BC）.

    师：哦？谁能说说这种猜想的理由？

    生3：我记得梯形的中位线性质就是一个梯形的中位线与这个梯形的两个底平行，它的长度是上下底之和的 .

    师：非常好！看来大家对梯形中位线的性质已经掌握了，现在我们就分组探究以上几位同学提出的猜想，验证一下梯形中位线的这个性质.

    （学生分组探究，并获得以下结论）

    组1：如图4所示，分别过点E，F作EG⊥BC，FH⊥BC，且分别与线段AD的延长线交于点P，Q. 如此，很容易证明四边形GHQP是一个矩形，最后证明△APE与△BGE是全等三角形，从而验证之前的猜想.

    组2：如图5所示，过点F作一条腰的平行线HG，且与线段AD的延长线、线段BC分别相交于点G，H. 由此，我们不难发现四边形ABHG是一个平行四边形，同时△GFD≌△HFC. 此时，线段EF和线段BC，AD的关系一目了然.

    组3：在前两组所作辅助线的基础上，我们换一种思维考虑问题，即将图4与图5所作的辅助线理解为将三角形旋转了180°而得到的，我们可将四边形ADFE绕E点旋转180°（见图6），在此基础上只要能证明四边形MFCN是一个平行四边形，那么以上的猜想也是可以得到验证的.

    组4：我们组比其他几组的方法都要简单，只要将A，F连接起来，延长后与BC的延长线交于G点，据此易证得△DFA≌△CFG，由AF=GF可推导出线段EF为△BGA的中位线，所以EF不仅与线段BG平行，还等于它的一半，根据以上内容可知AD∥EF∥BC，且EF= （AD+BC）.

    组5：我们组也是通过作辅助线的方式将梯形的问题转化为三角形的问题来解决的.

    师：根据以上各个组呈现出来的意见，我们来一起反思这几种证明方法的异同处，并尝试归纳总结.

    学生在教师的提醒下进行反思，最终获得如下结论：各个小组的证明方法都是将待求的未知结论转化为已知条件来思考的，分别是将梯形的问题转化为我们所熟悉的平行四边形、三角形与矩形等，本题大部分学生找到的突破口就是将梯形的中位线转化为三角形的中位线，因而获得相应的结论.

    学生经历梯形中位线性质的探究与反思过程，不仅进行了大胆质疑与猜想，更重要的是学生在分组合作学习中勇于探索，探究出多种验证猜想的方法，通过不同角度与层次提出解题的措施. 不仅有效地拓展了学生的解题思路，还让学生获得了良好的探究能力、反思能力与逻辑推理能力.

    加强解题反思，获得解题能力

    数学是一门严谨的学科，讲究的是系统性与结构完整性. 当课堂教学容量比较大时，教师就进入两难的状态，留有充足的时间和空间给学生反思，可能会影响教学的进度;不留充足的时间与空间给学生及时反思，又怕达不到预设的教学成效. 为了突破这个难点，笔者认为只有精心设计与编选课堂的每道例题，见缝插针地设计好每个反思的问题，以保证教学进度与效度的平衡.

    案例3：“圆”的教学.

    原题：如图7所示，两个半圆O与O 的大小不相等，它们相切于C点，AB是半圆O的弦，与小半圆O 在F点相切，若AB∥CD，且AB=4，阴影部分的面积是多少？

    不少学生看到本题就感到畏惧，感到无从下手. 经教师的引导后发现，解决本题可分为以下三步：①先设大圆、小圆的半径;②运用垂径定理寻找出大圆、小圆的半径与线段AB之间存在的关系;③将大半圆、小半圆的面行相减，即可解决问题.

    教师在教学设计时，可在解题的每个环节设疑，让学生及时反思，在一环扣一环的解题过程中，通過不断的思考与反思逐渐强化解题方法的运用. 学生在反复的反思训练中，逐渐形成良好的数学思想，获得相应的解题能力.

    总之，解题教学是数学教学的基础，反思又是获得良好解题能力的保障. 教学中，教师应设计好每个环节的解题教学，及时引导学生进行积极反思，鼓励学生在反思中实现透过现象看本质的目的.