MPCK视角下的等腰三角形专题复习

    李玥

    [摘? 要] 文章对MPCK概念和结构进行界定,并以等腰三角形专题复习为例,基于MPCK学科知识、学生知识、课程知识、教学策略知识和教育信念角度设计教学.

    [關键词] MPCK;等腰三角形;专题复习

    从1986年舒尔曼提出教学内容知识(简称PCK)开始,PCK对教师专业发展起了重要的影响,在国内外教师教育领域掀起了研究热潮. 近年来,研究者们关注特定学科的PCK,数学教育领域也不例外,提出数学教学内容知识(简称MPCK).

    MPCK概念和结构的界定

    1. MPCK概念

    MPCK研究在PCK研究的基础上展开,是PCK与具体学科的延伸和结合,已成为目前数学教师知识研究的核心. 概念是事物的本质属性的思维形式,界定MPCK的概念,可以从其属性入手,寻求其本质属性,进而明确概念.

    PCK和MPCK相关研究很多,学者们的界定也是各抒己见. 但结合他们的描述,发现MPCK具有以下属性:学科内容方面[1-4],教学策略方面[2-5],学生方面[2,5],教学情境方面 [2] ,某些教师知识的整合、转化方面[2,5-7],作用、效果方面[1,3-5],其他方面[7] 等.

    在上述属性中,MPCK的本质属性是某些教师知识的整合或转化. 故可将MPCK的概念界定为:MPCK是数学教师的学科知识、学习者知识、教学策略知识和课程知识等有机整合后形成的知识,是学科知识转化为学生能理解的知识的知识.

    2. MPCK结构

    对研究者提到的PCK和MPCK组成要素统计分析,发现提到最多的要素有学科知识、学习者知识、课程知识和教学策略知识.

    学科知识主要包括:内容知识(数学的事实性知识、中心概念和组织原则,即核心知识点、实体知识和句法知识);实体知识(数学的解释性框架或范式,即数学中相关知识间的逻辑关系);句法知识(决定新知识纳入数学领域的一些规则或方式,即数学思想与方法). 学生知识主要指对于所教学生的知识结构、认知特点、学习困难、易错点的了解. 课程知识表现为对课程标准的理解以及对教材的把握. 教学策略知识主要包含教学评价、教学方法、教学组织相关的知识.

    实质上这四个知识都是显性知识,而知识中不仅有显性知识,还不能忽略隐性知识的存在[8] ,故MPCK中也应有隐性知识,即教育信念:一个教师对学科、学生学习、教学的看法. 也确实有极个别学者(如马格努森)把教育信念作为PCK要素之一.

    总之,MPCK结构由学科知识、学习者知识、课程知识、教学策略知识和教育信念五个要素构成.

    案例分析

    该文以《等腰三角形专题》为例,谈谈如何在MPCK视角下设计专题复习.

    1. 课程知识的角度

    义务教育数学课程标准(2011年版)有如下要求:了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理及判定定理.

    中考第一轮复习中的专题,复习了点、线、三角形等基本平面几何图形,在此基础上复习特殊的三角形——等腰三角形及特殊的等腰三角形——等边三角形. 因为是特殊的三角形,所以等腰三角形具有一般三角形全部的性质,还具备了很多特殊性,在现实生活中的应用也更广泛,是中考必考内容. 等腰三角形不仅为线段相等、角相等及两直线垂直的证明提供了新的依据,也是菱形、正方形等内容的基础,还可以与全等三角形、垂直平分线、四边形、圆、函数等其他数学知识结合.

    2. 学习者知识的角度

    学生已经学习了该知识点,对等腰三角形已有一定的认识,这为顺利完成本节课内容打下基础. 但由于学习时间较长,学生有知识上的遗忘;同时,学生对于熟练、灵活利用等腰(边)三角形性质与判定解决问题还存在一些困难;另外,很多学生还做不到发现、归纳等腰三角形与其他数学知识间的联系,建构知识体系.

    3. 学科知识的角度

    以核心知识点——数学中相关知识间的逻辑关系为教学主线,并渗透相关的数学思想与方法.

    本节课是一堂专题复习课,从学生的基础、课堂时间的分配及数学学科的特点等各方面考虑,都不建议采用直接背记定理的方式引入,可以先播放短视频《魔鬼海域——等腰三角形》,激发学生兴趣,唤起学生对旧知的回顾,及时总结梳理等腰三角形的定义、性质及判定定理等知识点;然后设置例题,以题目带动知识点复习,并总结思想方法,以题理知,用知得法.

    例1? 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.

    (1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;

    (2)若点E在边AB上,EF∥ AC交AD延长线于点F,求证:△AEF是等腰三角形.

    通过一道习题,对等腰三角形“等边对等角、三线合一”的性质及判定都进行了考查.

    拓展思维:要证明一个三角形是等腰三角形,需要先得到两边相等,而得到两边相等的方法有三角形全等、垂直平分线的性质等. 在同一个三角形中,等边和等角可相互转换.

    例2? 如图,点M,N分别在等边三角形ABC的边BC,CA上,且BM=CN,AM,BN交于点Q,求证:∠BQM=60°.

    考查等边三角形的性质,并且与全等三角形结合.

    例3? 如图,在△ABC中,AB=AC,AB是⊙O的直径,BC和AC边分别与⊙O交于点D,E,连接DE.

    (1)求证:BC=2DE;

    (2)若DE=EC=2,求△ABC的周长.

    考查等腰三角形“等边对等角、三线合一”的性质,“等角对等边”等腰三角形的判定,等边三角形的判定,并与圆结合.

    等腰三角形是特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形,渗透特殊与一般的数学思想.

    例4? 如圖,矩形OABC在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B(8,6),点P以每秒1个单位的速度从C向A运动,运动到A点停止. 运动过程中,是否存在时间t,使得△ABP为等腰三角形. 若存在,求此时t 值;若不存在,请说明理由.

    与坐标系结合,并渗透分类思想:等腰三角形的边分腰与底,角分底角和顶角,高也分在三角形内部和外部两类,因此若题目没有给明是哪种情况时,必须分类讨论,以免漏解.

    等腰三角形还可以与很多知识结合,因时间原因不一一列举,但可以让学生自己回想、总结,并在课后作业中设计相关题目,由学生自己丰富知识体系.

    4. 教学策略知识的角度

    采用启发引导的教学方式,帮助学生复习等腰三角形的相关知识;运用多媒体辅助教学;调动学生思维的积极性,使学生自主获取知识,建构知识体系.

    5. 教育信念的角度

    专题复习不是题海战术,要高效、精准,可选择合适的例题,以题理知,用知得法,渗透数学思想方法,并启发学生自主探索、总结归纳,把课堂的主体还给学生,由学生自己建构知识网络.

    实践感悟

    对课程标准的理解以及对教材的把握是教学的前提,明确本节课教学内容在教材中的地位、作用等. 教学的主体是学生,所以需要对学生的学情重点分析,了解他们的知识结构、认知特点、难点、易错点等,由此才能在教学中有的放矢. 教学策略知识也很重要,不同的教学内容采用不同的教学方法、教学组织形式等. 而学科知识是重中之重,教师只有对学科的核心知识、相关知识间的逻辑关系有深刻的理解,才能在课堂上引导学生建构知识体系,并更好地运用知识解决实际问题. 同时,教师还要具有对教育信念的追求.

    教师要加强自身的教学反思,通过多种途径发展、完善自身的MPCK. 随着数学核心素养的提出,现实迫切需要基于MPCK的数学教学,摒弃“照本宣科”“题海战术”,转向推动学生的思维发展,重视学生数学素养的培养.

    参考文献:

    [1]马敏. PCK论[D]. 上海:华东师范大学,2011.

    [2]解书. 小学数学教师学科教学知识的结构及特征分析[D]. 长春:东北师范大学,2013.

    [3]童莉. 数学教师专业发展的新视角——数学教学内容知识(MPCK)[J]. 数学教育学报,2010,19(2).

    [4]梅松竹,冷平,王燕荣. 数学教师MPCK之案例剖析[J]. 中学数学杂志,2010(11).

    [5]黄毅英,许世红. 数学教学内容知识——结构特征与研发举例[J]. 数学教育学报,2009,18(1).

    [6]李渺,宁连华. 数学教学内容知识(MPCK)的构成成分表现形式及其意义[J]. 数学教育学报,2011,20(2).

    [7]董涛.数学课堂中PCK的结构[J]. 内蒙古师范大学学报(教育科学版),2010,23(8).

    [8]张一兵.? 波兰尼与他的《个人知识》[J].哲学动态,1990(4).

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