立足基础 注重探究 彰显能力
李云汤
湖南省郴州市二中 (423000)
2007年全国普通高校招生考试湖南卷文科数学第20题是一道典型的立足基础、注重探究、考查能力的好题.该题的命制，充分体现了“考查基础，注重思想方法，培养实际能力”的命题原则.该试题在考查学生数列基础知识的同时，突出了对学生探究意识及创新精神的考查.
该试题立足基础的一方面是：考查的基础知识是等差数列、等比数列的通项公式，数列前n项和与项之间的关系等高中毕业学生必须掌握的知识；另一方面考查的基本思想方法亦是高中学习阶段常用的方程的思想，转化(化归)的思想，分类讨论的思想等；第三方面是该题的综合程度只限于“数列”这一章的基础知识.
该题注重探究主要表现在第(2)小问，它要求学生通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括等过程后得出所要结论.
该题彰显能力的一方面是：考查了学生的观察能力，逻辑推理能力，运算能力，探索能力等；另一方面是考生必须具备综合应用这些“能力”的能力.
现就该题的解答及解答中常见的错误和它对高中教学的启示作进一步的评述.
试题 (本小题满分13分)设S璶是数列{a璶}(n∈N*)的前n项和，a1=a,且S2璶=3n2a璶+S2﹏-1,a璶≠0，n=2,3,4……
(1)证明：数列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常数列；
(2)试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b璶}(n∈N*)中的所有项都是数列{a璶}中的项，并指出b璶是数列{a璶}中的第几项.
解：(1)当n≥2时，由已知得S2璶-S2﹏-1=3n2a璶,∵a璶=S璶-S﹏-1≠0,∴S璶+S﹏-1=3n2①，于是S﹏+1+S璶=3(n+1)2②.②-①得a﹏+1+a璶=6n+3③.因此a﹏+2+a﹏+1=6n+9④，④-③得a﹏+2-a璶=6.故数列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常数列.
赏析：该小题设问的巧妙之处就在于从已知数列{a璶}中构造出一个新数列{a﹏+2-a璶}(n≥2)，然后要求考生证明这个新数列是一个常数列 ，其构思新颖、独特，极具创意.而在高中数学中常数列又往往被教师和学生忽略.在证明这个结论时，要求学生有强烈的化简意识、有较强的观察能力、有一定的转化化归能力.
(2)解法一：由第(1)问中的①知S2+S1=12，又a1=a,∴a2=12-2a.由a﹏+1+a璶=6n+3，知a3+a2=15,∴a3=3+2a.
于是由第(1)问中的结论a﹏+2-a璶=6，知数列{a2k獇和{a2k+1獇分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差数列.
所以a2k=a2+6(k-1)=6k-2a+6(k∈N*)，同理有a2k+1=6k+2a-3(k∈N*).
又b璶=18×7﹏-1为偶数，a2k+1=6k+2a-3=2(3k+a)-3为奇数，所以b璶只可能是数列{a2k獇中的项.
若b1=18是数列{a2k獇中的第m项，由18=6m-2a+6得a=3m-6，取m=3得a=3，此时a2k=6k.
由b璶=a2k，得6k=18×7﹏-1,2k=6×7﹏-1,k∈N*.从而知b璶是数列{a璶}中的第6×7﹏-1项.
解法二：由第(1)问中的结论a﹏+2-a璶=6(n≥2)和a2=12-2a,a3=3+2a知：n为大于1的奇数时，a璶=a3+(n-12-1)×6=3n-6+2a;n为偶数时，a璶=a2+(n2-1)×6=3n+6-2a.
于是a璶=a n=1，
3n+(-1)琻?(6-2a) n≥2.因为数列{b璶}(n∈N*)中的所有项都是数列{a璶}中的项，所以b璵=a璶(m∈N*)，即18?7﹎-1=3n+(-1)琻?(6-2a),令a=3得18?7﹎-1=3n，于是n=6?7﹎-1.此时b璵是数列{a璶}的第6?7﹎-1项.即b璶是数列{a璶}中的第6×7﹏-1项.
赏析：在高考阅卷过程中知该小题的得分极低，近九成的学生得分在1分以下.除了考生考试的时间因素和心理因素外，该小题立足考查学生发现问题、解决问题的能力及探究意识.考查学生的分类讨论思想(如解法一)和整体运用思想(如解法二)，而这恰恰是文科学生的弱点.本小题是一道关注学生数学活动和探究过程的好题.该小题以探索性的设问方式提问，题中没有明确的结论，要求学生亲身经历“观察、联想、分析、比较、归纳、概括”的探究过程，真可谓匠心独运!
学生在解答该题时，主要有以下几种错误.
(1)把等差数列、等比数列的通项公式记错：如把等比数列的通项公式写成b璶=b1q琻等；
(2)误认为“常数”就是零.于是在证明了a﹏+2-a璶=6后，还证明了(a﹏+3-a﹏+1)-(a﹏+2-a璶)=0;
(3)运算错误：如由a﹏+2+a﹏+1=6n+9輆﹏+2+a﹏+1=6(n+2)+3=6n+15等；
(4)化归错误：如由a璶+a﹏-1=6n-3輆﹏+2+a璶=6(n+1)+3=6n+9等；
(5)用不完全归纳法得出的结论不加证明就作为命题的结论：如由S璶+S﹏-1=3n2和S1=a1=a分别求出a2=12-2a、a3=3+2a、a4=18-2a、…，由a4-a2=6得出a﹏+2-a璶=6(常数)等；
(6)其它错误：如由S璶+S﹏-1=3n2軸2+S1=3×22,S3+S2=3×32,S4+S3=3×42,……，S璶+S﹏-1=3n2.然后将上面各式盲目地相加减.
教学启示：
针对以上错误和这道试题得分极低这种情况，我们在今后的教学中应着重从以下几个方面去提高学生的数学素质.
(1)注重知识和思维的发生发展过程的教学
数学教学主要是知识教学和习题教学，这两种主要的教学内容都应该作为过程而不是结果展现给学生.在知识的教学中，不仅要讲概念、法则、定理、定义、公式以及思想方法的结果，更应剖析它们的文字叙述中关键词的深刻涵义，更应讲这些结论的形成过程及应用的条件；在习题教学中更应讲如何从题设、结论的等价条件出发，做出合理的联想、探索、猜想、转化，更应教会学生如何挖掘易被忽视的语意信息及处于隐蔽状态下的已知条件，在思维受阻时，如何合理改变思考方向，变换策略，另辟蹊径，从而再达目的的思维过程.
(2)注重数学思想方法的教学
数学在培养和提高人的思维能力方面有着其它学科不可替代的作用.这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想.而数学思想是数学思维活动的导向，正确的思想方法，可以引导我们不断地探索、发现和发展新知识，进而推动科学技术及人类社会的进步.高考数学提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展.因此，平时教学过程中，要加强研究试题解题过程的思维方法，注重不同思维方法的试题的协调和匹配，立足使学生的数学理性思维能力得到较全面的发展.
(3)重视培养学生的探究能力及创新思维能力
“探究是数学的生命线”.因此，探究性试题已成为各种考试的一个热点问题.然而现行课本中的探究性问题较少，教学时，应恰当改编教科书中的传统试题，设计探索性问题情境，激发学生的探索激情，培养学生的探索兴趣；在讲解探索性问题时，应重点讲清思维过程，充分展示教师在解题时的探索过程，使学生从中看到巧妙而简捷的解法来自艰苦的尝试、猜想、碰壁，以致觉得探索并不神秘.教学中要注意传授常用方法给学生，使学生感到解探索性问题“有法可依，有章可循”.
“问题是智慧的大门，质疑是创新的起点”，教师在教学中要加强对学生理解知识时出现困惑的理解，要鼓励学生大胆发表自己的见解，肯定他们的质疑行为(哪怕是错误的也应给予鼓励，然后指明错误所在并予以纠正)，只有以学生为主体，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，才能提高学生的探究精神和创新能力，才能培养出一批富有时代气息的创新型人才!
湖南省郴州市二中 (423000)
2007年全国普通高校招生考试湖南卷文科数学第20题是一道典型的立足基础、注重探究、考查能力的好题.该题的命制，充分体现了“考查基础，注重思想方法，培养实际能力”的命题原则.该试题在考查学生数列基础知识的同时，突出了对学生探究意识及创新精神的考查.
该试题立足基础的一方面是：考查的基础知识是等差数列、等比数列的通项公式，数列前n项和与项之间的关系等高中毕业学生必须掌握的知识；另一方面考查的基本思想方法亦是高中学习阶段常用的方程的思想，转化(化归)的思想，分类讨论的思想等；第三方面是该题的综合程度只限于“数列”这一章的基础知识.
该题注重探究主要表现在第(2)小问，它要求学生通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括等过程后得出所要结论.
该题彰显能力的一方面是：考查了学生的观察能力，逻辑推理能力，运算能力，探索能力等；另一方面是考生必须具备综合应用这些“能力”的能力.
现就该题的解答及解答中常见的错误和它对高中教学的启示作进一步的评述.
试题 (本小题满分13分)设S璶是数列{a璶}(n∈N*)的前n项和，a1=a,且S2璶=3n2a璶+S2﹏-1,a璶≠0，n=2,3,4……
(1)证明：数列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常数列；
(2)试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b璶}(n∈N*)中的所有项都是数列{a璶}中的项，并指出b璶是数列{a璶}中的第几项.
解：(1)当n≥2时，由已知得S2璶-S2﹏-1=3n2a璶,∵a璶=S璶-S﹏-1≠0,∴S璶+S﹏-1=3n2①，于是S﹏+1+S璶=3(n+1)2②.②-①得a﹏+1+a璶=6n+3③.因此a﹏+2+a﹏+1=6n+9④，④-③得a﹏+2-a璶=6.故数列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常数列.
赏析：该小题设问的巧妙之处就在于从已知数列{a璶}中构造出一个新数列{a﹏+2-a璶}(n≥2)，然后要求考生证明这个新数列是一个常数列 ，其构思新颖、独特，极具创意.而在高中数学中常数列又往往被教师和学生忽略.在证明这个结论时，要求学生有强烈的化简意识、有较强的观察能力、有一定的转化化归能力.
(2)解法一：由第(1)问中的①知S2+S1=12，又a1=a,∴a2=12-2a.由a﹏+1+a璶=6n+3，知a3+a2=15,∴a3=3+2a.
于是由第(1)问中的结论a﹏+2-a璶=6，知数列{a2k獇和{a2k+1獇分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差数列.
所以a2k=a2+6(k-1)=6k-2a+6(k∈N*)，同理有a2k+1=6k+2a-3(k∈N*).
又b璶=18×7﹏-1为偶数，a2k+1=6k+2a-3=2(3k+a)-3为奇数，所以b璶只可能是数列{a2k獇中的项.
若b1=18是数列{a2k獇中的第m项，由18=6m-2a+6得a=3m-6，取m=3得a=3，此时a2k=6k.
由b璶=a2k，得6k=18×7﹏-1,2k=6×7﹏-1,k∈N*.从而知b璶是数列{a璶}中的第6×7﹏-1项.
解法二：由第(1)问中的结论a﹏+2-a璶=6(n≥2)和a2=12-2a,a3=3+2a知：n为大于1的奇数时，a璶=a3+(n-12-1)×6=3n-6+2a;n为偶数时，a璶=a2+(n2-1)×6=3n+6-2a.
于是a璶=a n=1，
3n+(-1)琻?(6-2a) n≥2.因为数列{b璶}(n∈N*)中的所有项都是数列{a璶}中的项，所以b璵=a璶(m∈N*)，即18?7﹎-1=3n+(-1)琻?(6-2a),令a=3得18?7﹎-1=3n，于是n=6?7﹎-1.此时b璵是数列{a璶}的第6?7﹎-1项.即b璶是数列{a璶}中的第6×7﹏-1项.
赏析：在高考阅卷过程中知该小题的得分极低，近九成的学生得分在1分以下.除了考生考试的时间因素和心理因素外，该小题立足考查学生发现问题、解决问题的能力及探究意识.考查学生的分类讨论思想(如解法一)和整体运用思想(如解法二)，而这恰恰是文科学生的弱点.本小题是一道关注学生数学活动和探究过程的好题.该小题以探索性的设问方式提问，题中没有明确的结论，要求学生亲身经历“观察、联想、分析、比较、归纳、概括”的探究过程，真可谓匠心独运!
学生在解答该题时，主要有以下几种错误.
(1)把等差数列、等比数列的通项公式记错：如把等比数列的通项公式写成b璶=b1q琻等；
(2)误认为“常数”就是零.于是在证明了a﹏+2-a璶=6后，还证明了(a﹏+3-a﹏+1)-(a﹏+2-a璶)=0;
(3)运算错误：如由a﹏+2+a﹏+1=6n+9輆﹏+2+a﹏+1=6(n+2)+3=6n+15等；
(4)化归错误：如由a璶+a﹏-1=6n-3輆﹏+2+a璶=6(n+1)+3=6n+9等；
(5)用不完全归纳法得出的结论不加证明就作为命题的结论：如由S璶+S﹏-1=3n2和S1=a1=a分别求出a2=12-2a、a3=3+2a、a4=18-2a、…，由a4-a2=6得出a﹏+2-a璶=6(常数)等；
(6)其它错误：如由S璶+S﹏-1=3n2軸2+S1=3×22,S3+S2=3×32,S4+S3=3×42,……，S璶+S﹏-1=3n2.然后将上面各式盲目地相加减.
教学启示：
针对以上错误和这道试题得分极低这种情况，我们在今后的教学中应着重从以下几个方面去提高学生的数学素质.
(1)注重知识和思维的发生发展过程的教学
数学教学主要是知识教学和习题教学，这两种主要的教学内容都应该作为过程而不是结果展现给学生.在知识的教学中，不仅要讲概念、法则、定理、定义、公式以及思想方法的结果，更应剖析它们的文字叙述中关键词的深刻涵义，更应讲这些结论的形成过程及应用的条件；在习题教学中更应讲如何从题设、结论的等价条件出发，做出合理的联想、探索、猜想、转化，更应教会学生如何挖掘易被忽视的语意信息及处于隐蔽状态下的已知条件，在思维受阻时，如何合理改变思考方向，变换策略，另辟蹊径，从而再达目的的思维过程.
(2)注重数学思想方法的教学
数学在培养和提高人的思维能力方面有着其它学科不可替代的作用.这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想.而数学思想是数学思维活动的导向，正确的思想方法，可以引导我们不断地探索、发现和发展新知识，进而推动科学技术及人类社会的进步.高考数学提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展.因此，平时教学过程中，要加强研究试题解题过程的思维方法，注重不同思维方法的试题的协调和匹配，立足使学生的数学理性思维能力得到较全面的发展.
(3)重视培养学生的探究能力及创新思维能力
“探究是数学的生命线”.因此，探究性试题已成为各种考试的一个热点问题.然而现行课本中的探究性问题较少，教学时，应恰当改编教科书中的传统试题，设计探索性问题情境，激发学生的探索激情，培养学生的探索兴趣；在讲解探索性问题时，应重点讲清思维过程，充分展示教师在解题时的探索过程，使学生从中看到巧妙而简捷的解法来自艰苦的尝试、猜想、碰壁，以致觉得探索并不神秘.教学中要注意传授常用方法给学生，使学生感到解探索性问题“有法可依，有章可循”.
“问题是智慧的大门，质疑是创新的起点”，教师在教学中要加强对学生理解知识时出现困惑的理解，要鼓励学生大胆发表自己的见解，肯定他们的质疑行为(哪怕是错误的也应给予鼓励，然后指明错误所在并予以纠正)，只有以学生为主体，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，才能提高学生的探究精神和创新能力，才能培养出一批富有时代气息的创新型人才!
