让“美丽”的错误绽放“绚烂”的思维之花
朱建良
江苏省太仓市实验中学 (215400)
正确有效地指出学生错误是初中数学教学的基本内容之一，教师如果能以学生学习过程中出现的错误为教学资源，帮助学生从基本概念、基础知识的角度剖析产生错误的原因，帮助学生找出错误的来源并发展该问题，找到更成熟的解法和一般结论，会收到事半功倍的效果.尝试在典型的纠错过程中让学生暴露学生思维，以积极的态度去面对错误和失败，通过纠错回顾解题的思路，引导学生积极整理思维过程，寻找错误原因，寻求出知识点与数学思想方法上的漏缺.概括总结出一般方法和规律，使解题过程清晰，思维条理化、精确化和概括化.
1.剖析错解，诱发认知冲突，深化对知识本质的理解
“水至清则无鱼”，引导学生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去伪存真”，带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，加深对知识本质的理解.
案例1 讲授同底数幂的乘法，如何计算2a3?3a2?学生易出现三种答案：2a3?3a2=5a5,2a3?3a2=6a5,2a3?3a2=6a6，激发学生联想多项式乘法，有理数乘法、有理数乘方等知识，有依据、有步骤地逐一剖析验证，从不同角度去探求问题答案.
案例2 在讲授一元二次方程时，板演例题，已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值.出示错解：设方程两根为x1、x2,x1+x2=k-1,x1x2=k+1,x21+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4,∴(k-1)2-2(k+1)=4，即k2-4k-5=0,∴k1=5或k2=-1，在纠错的热烈讨论中，剖析错解中忽视了原方程有两根的条件△≥0，当k=5时△<0，不符合题意，注意先解后取舍，帮助学生深刻理解一元二次方程的定义.
案例3 当0通过剖析错因，“去伪存真”帮助学生深刻理解概念的内涵和外延，纠错形式唤起了学生解决问题的欲望，激发了学生的探究兴趣，培养了学生的问题意识，拓展思路，提高学习效率，有效地促进了知识点间的融会贯通.
2.漏解探因，排除思维定势，培养良好的思维品质
许多学生在解题时往往满足于求出一解，导致不完整解题，引导学生探究分析出现漏解情况的原因，积累经验，强化数学分类的严密性，分类方法的科学化，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展.
案例4 为美化环境，在某小区内用30玬2的草皮铺设一块长为10玬的等腰三角形绿地，求这个等腰三角形绿地的另两边长.
错解：(1)当AB为底边时，设AB=10,AD=BD=5,S△ABC=12AB?CD=30,∴CD=6,∴AC=BC=61(玬).
(2)当AB为腰时，AB=AC=10,AD=AC2-CD2=8(玬),BD=2玬，∴BC=210(玬).
学生的上述解法虽然进行了分类，看似正确，仍漏了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB=BC=10，AD=AB+BD=18，∴AC=62+182=610(玬).分类时应以高CD在△ABC的形内和形外两个角度考虑.
案例5 若⊙O直径AB=2，弦AC=2，弦AD=3，求S┥刃蜲CD(其中2S┥刃蜲CD
可求出∠COD=150°，从而求出S┥刃蜲CD=5π12.综上所述，S┥刃蜲CD的面积为π12或5π12.
引导学生思考时，不能忽视图形的位置或形状，应寻找出它们的内在联系，探索出一般规律，思维方式不能单一，对基本图形的基本性质和图形关系要熟练掌握，能正确运用.
3.反思出错过程，重构知识，关注数学思想方法
在刨根究底的纠错过程中，引导学生内化知识，自觉对自己的认知活动进行回味、思考、总结和调节，构建更清晰、稳定、条理化的知识结构，统化到蕴含在纠错过程中的具有方向性、规律性的数学方法与思想.
案例6 已知x≠0，判断x2+64x2是否有最小值，若有，请求出；若不存在，请说明理由.
错解：学生看到最小值，联想到二次函数，看所给的类型不是二次函数类型，认为不可能有最小值，陷入思维困境.运用数形结合思想可使本问题由复杂变简单，由抽象变具体.因x2+64x2=x2+(8x)2，设P(x,8x)为图像上一点到原点距离的平方，而动点P为y=8x与y=x两图像的交点，使|OP|2的值最小.由OP=4得,P(22,22)或P(-22,-22).
案例7 锐角△ABC中，BC=6,S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC滑动且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN.设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0).
(1)△ABC中边BC上高AD= ；
(2)当x= 时，PQ恰好落在BC上；(如图1)
(3)当PQ在△ABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系(注明x的取值范围)，并求出x为何值时y最大，最大值是多少?
典型错误在解(3)问中，矩形MEFN的面积y=MN?NF，无法用x表示NF，思路受阻，陷入僵局.在考虑自变量x的范围时，误认为PQ在BC边上移动，即0
纠错剖析的过程蕴涵着解决数学问题的择优性，补缺完整性，既有对解决问题过程的探究又有结果分析的本质揭示，以充分暴露学生思维形式弥补认识观点的缺损，让学生思维一直处于积极、活跃的状态，通过引导学生主动参与寻错探因的纠错活动，深入探讨思维走入“歧途”的原因，丰富学生思维活动经验，更有效地提高学生的解题能力和思维品质.
江苏省太仓市实验中学 (215400)
正确有效地指出学生错误是初中数学教学的基本内容之一，教师如果能以学生学习过程中出现的错误为教学资源，帮助学生从基本概念、基础知识的角度剖析产生错误的原因，帮助学生找出错误的来源并发展该问题，找到更成熟的解法和一般结论，会收到事半功倍的效果.尝试在典型的纠错过程中让学生暴露学生思维，以积极的态度去面对错误和失败，通过纠错回顾解题的思路，引导学生积极整理思维过程，寻找错误原因，寻求出知识点与数学思想方法上的漏缺.概括总结出一般方法和规律，使解题过程清晰，思维条理化、精确化和概括化.
1.剖析错解，诱发认知冲突，深化对知识本质的理解
“水至清则无鱼”，引导学生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去伪存真”，带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，加深对知识本质的理解.
案例1 讲授同底数幂的乘法，如何计算2a3?3a2?学生易出现三种答案：2a3?3a2=5a5,2a3?3a2=6a5,2a3?3a2=6a6，激发学生联想多项式乘法，有理数乘法、有理数乘方等知识，有依据、有步骤地逐一剖析验证，从不同角度去探求问题答案.
案例2 在讲授一元二次方程时，板演例题，已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值.出示错解：设方程两根为x1、x2,x1+x2=k-1,x1x2=k+1,x21+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4,∴(k-1)2-2(k+1)=4，即k2-4k-5=0,∴k1=5或k2=-1，在纠错的热烈讨论中，剖析错解中忽视了原方程有两根的条件△≥0，当k=5时△<0，不符合题意，注意先解后取舍，帮助学生深刻理解一元二次方程的定义.
案例3 当0通过剖析错因，“去伪存真”帮助学生深刻理解概念的内涵和外延，纠错形式唤起了学生解决问题的欲望，激发了学生的探究兴趣，培养了学生的问题意识，拓展思路，提高学习效率，有效地促进了知识点间的融会贯通.
2.漏解探因，排除思维定势，培养良好的思维品质
许多学生在解题时往往满足于求出一解，导致不完整解题，引导学生探究分析出现漏解情况的原因，积累经验，强化数学分类的严密性，分类方法的科学化，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展.
案例4 为美化环境，在某小区内用30玬2的草皮铺设一块长为10玬的等腰三角形绿地，求这个等腰三角形绿地的另两边长.
错解：(1)当AB为底边时，设AB=10,AD=BD=5,S△ABC=12AB?CD=30,∴CD=6,∴AC=BC=61(玬).
(2)当AB为腰时，AB=AC=10,AD=AC2-CD2=8(玬),BD=2玬，∴BC=210(玬).
学生的上述解法虽然进行了分类，看似正确，仍漏了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB=BC=10，AD=AB+BD=18，∴AC=62+182=610(玬).分类时应以高CD在△ABC的形内和形外两个角度考虑.
案例5 若⊙O直径AB=2，弦AC=2，弦AD=3，求S┥刃蜲CD(其中2S┥刃蜲CD
可求出∠COD=150°，从而求出S┥刃蜲CD=5π12.综上所述，S┥刃蜲CD的面积为π12或5π12.
引导学生思考时，不能忽视图形的位置或形状，应寻找出它们的内在联系，探索出一般规律，思维方式不能单一，对基本图形的基本性质和图形关系要熟练掌握，能正确运用.
3.反思出错过程，重构知识，关注数学思想方法
在刨根究底的纠错过程中，引导学生内化知识，自觉对自己的认知活动进行回味、思考、总结和调节，构建更清晰、稳定、条理化的知识结构，统化到蕴含在纠错过程中的具有方向性、规律性的数学方法与思想.
案例6 已知x≠0，判断x2+64x2是否有最小值，若有，请求出；若不存在，请说明理由.
错解：学生看到最小值，联想到二次函数，看所给的类型不是二次函数类型，认为不可能有最小值，陷入思维困境.运用数形结合思想可使本问题由复杂变简单，由抽象变具体.因x2+64x2=x2+(8x)2，设P(x,8x)为图像上一点到原点距离的平方，而动点P为y=8x与y=x两图像的交点，使|OP|2的值最小.由OP=4得,P(22,22)或P(-22,-22).
案例7 锐角△ABC中，BC=6,S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC滑动且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN.设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0).
(1)△ABC中边BC上高AD= ；
(2)当x= 时，PQ恰好落在BC上；(如图1)
(3)当PQ在△ABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系(注明x的取值范围)，并求出x为何值时y最大，最大值是多少?
典型错误在解(3)问中，矩形MEFN的面积y=MN?NF，无法用x表示NF，思路受阻，陷入僵局.在考虑自变量x的范围时，误认为PQ在BC边上移动，即0
纠错剖析的过程蕴涵着解决数学问题的择优性，补缺完整性，既有对解决问题过程的探究又有结果分析的本质揭示，以充分暴露学生思维形式弥补认识观点的缺损，让学生思维一直处于积极、活跃的状态，通过引导学生主动参与寻错探因的纠错活动，深入探讨思维走入“歧途”的原因，丰富学生思维活动经验，更有效地提高学生的解题能力和思维品质.
