学生学习困境的教因分析与对策
王良骏 戴静君
江苏省锡山高级中学 (214174)
学生在数学学习过程中犯一些错误是正常不过的事，学生出错后，老师往往能分析学生的错误原因，帮助学生走出困境，在这方面的文章也屡见于报刊杂志.但不可否认的是，学生的一些错误与老师有关，与老师的课堂教学有关.本文拟就笔者平时观察的一些案例作一点简单的分析.
一、对数学知识的正确认识是一个数学教师的基本功，但有时在不经意间，我们还是会犯一些不该犯的错误
问题1 对于命题P：若一个四边形为菱形，则这个四边形为正方形，写出它的否定形式.
错解1：若一个四边形为菱形，则这个四边形不是正方形.
分析：命题P及其否定应是一真一假，而本例中，命题及其否定均为假命题.
教学反思：错误根源在于教师教学中把对命题进行否定归纳为：保留命题的条件，否定命题的结论.
错误剖析：这是老师的一种错误认识，事实上，关于命题的非P形式问题中的P并不限定为一个复合命题，自然也就谈不上P中的条件或结论.基于命题是一种判断，对命题P的否定应该理解为对判断的否定，或者可以表达为对命题意义的否定.
正解：原命题是一个全称命题，可叙述为：菱形都是正方形，所以，非P形式应该为：存在不是正方形的菱形.
错解2：菱形不一定是正方形.
错因：命题是对事物的判断，“不一定”并没有作出判断.
二、对数学知识的教学只从一个角度往往不能让学生有全面的认识，“横看成岭侧成峰”，只有多角度地比较才能达到教学的目标
问题2 等腰Rt△ABC中，在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM错解：记“AM错因分析：老师的例题讲解不够全面.
在苏教版必修3的P102有例3：等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.本例中，“由于点M椭机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D”.而问题2中，应该是“由于射线CM随机地落在∠ACB内部，故可以认为射线CM落在∠ACB内部任一位置是等可能的，可将∠ACB内部的扇形看做区域D”.
可通过几何画板给出两种不同情形下的图形，在图(1)中，射线CM在∠ACB内部均匀分布，但射线CM与线段AB的交点M在AB上并不均匀分布，呈现出中间密两边疏的特征，而图(2)中，点M在线段AB上均匀分布，但在∠ACB内部，射线CM的分布并不均匀，呈现出中间疏而两边密的特征.
正解：记“AM比较两个问题，核心区别在于等可能的对象不同.由此可见，在老师讲解例题时，对“等可能性”的强调不能只从正面一讲了之，不妨多一些正反比较，“旁敲侧击”，所谓“横看成岭侧成峰”，多视角视察与研究才能把问题看清楚.而这样的变化往往只用很少的时间就能使学生的认识更全面.
三、对数学知识的教学只有做到“远近高低各不同”的探究才能让学生的认识上一个台阶
在处理数列前n项和S璶与通项a璶的关系的问题时，通常的处理方法是利用a璶=a1 n=1,
S璶-S﹏-1 n>1,把S璶化为a璶，并对n=1的情形进行强化训练，这有时会造成学生认识高度的不足.
问题3 正数数列{a璶}的前n项和为S璶，且2S璶=a璶+1，则S璶= .
学生面对这一问题时常常很头疼，因为S璶在根号内部，不方便运用上面的公式消去，注意到{a璶}为正数数列，然后进行平方，再运用上述公式，解题过程显得很沉重.较大的运算量也造成学生运算错误的增多.
面对这样的困境，老师应当反思：这样的教学是否是最合理的?
事实上，对a璶=a1 n=1,
S璶-S﹏-1 n>1,进行思考：这个式子既可以把S璶化为a璶，也可以把
a璶化为S璶，它表达的是a璶与S璶的关系，为什么我们不能消去a璶而留下S璶呢?在这样的启发下，学生易得如下解法：当n=1时易得a璶=1，当n≥2时，由2S璶=a璶+1，知2S璶=S璶-S﹏-1+1，移项得(S璶-1)2=(S﹏-1)2，由{a璶}为正数数列及a璶=1知S璶≥1，∴S璶-1=S﹏-1,∴{S璶}构成等差数列，首项为1，公差为1，∴S璶=n，即S璶=n2.
站在更高的高度认识a璶=a1 n=1,
S璶-S﹏-1 n>1,可以灵活地把握解题方向，使解题过程更合理.
四、我们常埋怨“没有教不会的学生，只有不会教的老师”这句话说的过于绝对，但我们不得不承认有时我们的教学活动真的对学生的学习积极性有很大的影响
在一次高三一轮复习中，我向学生出示了如下问题：集合A={a,b,c}，集合B={1,0,-1}，从集合A到集合B的映射f满足f(a)+f(b)=ゝ(c)，则这样的映射有 个.
由于是一轮复习，学生对映射概念遗忘较多，且本题还牵涉到有条件的计数问题，因此，能够正确作答的少之又少，虽然是一个小题，但对学生的打击却是沉重的.一些学生根本就无从下手，无所事事，无聊至极.还有一些学生绞尽脑汁，殚精竭虑，以错误告终.在一个小题面前缴了枪对自信心打击很大.
在进入第二个班级后，我对本题作了修改：集合A={a,b,c},集合B={1,0,-1}，从集合A到集合B的映射f满足f(a)+f(b)=ゝ(c)，请你写出一个这样的映射.你最多能写出几个这样的映射?
稍等片刻，即有许多学生写了出来，同学之间互相讨论，互相启发，互通有无，在得出一定数量符合要求的映射后，总结规律，写出全部的映射，热火朝天，每个人都成了胜利者.
复习同样的内容，为了同样的教学目标，拿的是同样的问题，仅仅是问法的不同，学生的积极性迥异，为什么?第一种问法是一种结果教学，只要结果，达不到结果就是失败，造成了成功者寥寥，失败者多多.而第二种问法期待的是学生的学习过程，哪怕一点小小的进展也是成功，也是收获，特别是“你最多能写出几个这样的映射”这样的问题正好符合了学生的能力实际，让学生在不知不觉中达到复习目标.
结语：在教育教学过程中，我们常常教学生多从自己的身上找原因，老师常对学生说：我们不能控制别人，但我们可以控制自己.把这句话对自己说说，自己听听，当学生在学习过程中出现一些问题时，我们能否在找学生问题时也找找自己的问题，或许这是提高课堂教学效率的一条重要途径呢.
江苏省锡山高级中学 (214174)
学生在数学学习过程中犯一些错误是正常不过的事，学生出错后，老师往往能分析学生的错误原因，帮助学生走出困境，在这方面的文章也屡见于报刊杂志.但不可否认的是，学生的一些错误与老师有关，与老师的课堂教学有关.本文拟就笔者平时观察的一些案例作一点简单的分析.
一、对数学知识的正确认识是一个数学教师的基本功，但有时在不经意间，我们还是会犯一些不该犯的错误
问题1 对于命题P：若一个四边形为菱形，则这个四边形为正方形，写出它的否定形式.
错解1：若一个四边形为菱形，则这个四边形不是正方形.
分析：命题P及其否定应是一真一假，而本例中，命题及其否定均为假命题.
教学反思：错误根源在于教师教学中把对命题进行否定归纳为：保留命题的条件，否定命题的结论.
错误剖析：这是老师的一种错误认识，事实上，关于命题的非P形式问题中的P并不限定为一个复合命题，自然也就谈不上P中的条件或结论.基于命题是一种判断，对命题P的否定应该理解为对判断的否定，或者可以表达为对命题意义的否定.
正解：原命题是一个全称命题，可叙述为：菱形都是正方形，所以，非P形式应该为：存在不是正方形的菱形.
错解2：菱形不一定是正方形.
错因：命题是对事物的判断，“不一定”并没有作出判断.
二、对数学知识的教学只从一个角度往往不能让学生有全面的认识，“横看成岭侧成峰”，只有多角度地比较才能达到教学的目标
问题2 等腰Rt△ABC中，在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM错解：记“AM错因分析：老师的例题讲解不够全面.
在苏教版必修3的P102有例3：等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.本例中，“由于点M椭机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D”.而问题2中，应该是“由于射线CM随机地落在∠ACB内部，故可以认为射线CM落在∠ACB内部任一位置是等可能的，可将∠ACB内部的扇形看做区域D”.
可通过几何画板给出两种不同情形下的图形，在图(1)中，射线CM在∠ACB内部均匀分布，但射线CM与线段AB的交点M在AB上并不均匀分布，呈现出中间密两边疏的特征，而图(2)中，点M在线段AB上均匀分布，但在∠ACB内部，射线CM的分布并不均匀，呈现出中间疏而两边密的特征.
正解：记“AM比较两个问题，核心区别在于等可能的对象不同.由此可见，在老师讲解例题时，对“等可能性”的强调不能只从正面一讲了之，不妨多一些正反比较，“旁敲侧击”，所谓“横看成岭侧成峰”，多视角视察与研究才能把问题看清楚.而这样的变化往往只用很少的时间就能使学生的认识更全面.
三、对数学知识的教学只有做到“远近高低各不同”的探究才能让学生的认识上一个台阶
在处理数列前n项和S璶与通项a璶的关系的问题时，通常的处理方法是利用a璶=a1 n=1,
S璶-S﹏-1 n>1,把S璶化为a璶，并对n=1的情形进行强化训练，这有时会造成学生认识高度的不足.
问题3 正数数列{a璶}的前n项和为S璶，且2S璶=a璶+1，则S璶= .
学生面对这一问题时常常很头疼，因为S璶在根号内部，不方便运用上面的公式消去，注意到{a璶}为正数数列，然后进行平方，再运用上述公式，解题过程显得很沉重.较大的运算量也造成学生运算错误的增多.
面对这样的困境，老师应当反思：这样的教学是否是最合理的?
事实上，对a璶=a1 n=1,
S璶-S﹏-1 n>1,进行思考：这个式子既可以把S璶化为a璶，也可以把
a璶化为S璶，它表达的是a璶与S璶的关系，为什么我们不能消去a璶而留下S璶呢?在这样的启发下，学生易得如下解法：当n=1时易得a璶=1，当n≥2时，由2S璶=a璶+1，知2S璶=S璶-S﹏-1+1，移项得(S璶-1)2=(S﹏-1)2，由{a璶}为正数数列及a璶=1知S璶≥1，∴S璶-1=S﹏-1,∴{S璶}构成等差数列，首项为1，公差为1，∴S璶=n，即S璶=n2.
站在更高的高度认识a璶=a1 n=1,
S璶-S﹏-1 n>1,可以灵活地把握解题方向，使解题过程更合理.
四、我们常埋怨“没有教不会的学生，只有不会教的老师”这句话说的过于绝对，但我们不得不承认有时我们的教学活动真的对学生的学习积极性有很大的影响
在一次高三一轮复习中，我向学生出示了如下问题：集合A={a,b,c}，集合B={1,0,-1}，从集合A到集合B的映射f满足f(a)+f(b)=ゝ(c)，则这样的映射有 个.
由于是一轮复习，学生对映射概念遗忘较多，且本题还牵涉到有条件的计数问题，因此，能够正确作答的少之又少，虽然是一个小题，但对学生的打击却是沉重的.一些学生根本就无从下手，无所事事，无聊至极.还有一些学生绞尽脑汁，殚精竭虑，以错误告终.在一个小题面前缴了枪对自信心打击很大.
在进入第二个班级后，我对本题作了修改：集合A={a,b,c},集合B={1,0,-1}，从集合A到集合B的映射f满足f(a)+f(b)=ゝ(c)，请你写出一个这样的映射.你最多能写出几个这样的映射?
稍等片刻，即有许多学生写了出来，同学之间互相讨论，互相启发，互通有无，在得出一定数量符合要求的映射后，总结规律，写出全部的映射，热火朝天，每个人都成了胜利者.
复习同样的内容，为了同样的教学目标，拿的是同样的问题，仅仅是问法的不同，学生的积极性迥异，为什么?第一种问法是一种结果教学，只要结果，达不到结果就是失败，造成了成功者寥寥，失败者多多.而第二种问法期待的是学生的学习过程，哪怕一点小小的进展也是成功，也是收获，特别是“你最多能写出几个这样的映射”这样的问题正好符合了学生的能力实际，让学生在不知不觉中达到复习目标.
结语：在教育教学过程中，我们常常教学生多从自己的身上找原因，老师常对学生说：我们不能控制别人，但我们可以控制自己.把这句话对自己说说，自己听听，当学生在学习过程中出现一些问题时，我们能否在找学生问题时也找找自己的问题，或许这是提高课堂教学效率的一条重要途径呢.
