信息论思想在数学解题中给人们惊喜
张家骥
江苏省盐城高等师范学校 (224001)
物质世界有三个基本方面，即材料、能量和信息.材料和能量早已受到人们的重视，现在人们又认识了信息.
所谓信息，并非指事物本身，而是指用来表征事物，并由事物发出的数据和信号中所包含的对象.信息论的创始人N?维纳说：“信息是人们在适应外部世界并且使这种适应反作用于外部世界的过程中，同外部世界进行交换的内容的名称.”信息就是事物存在的方式或运动的状态，以及这种方式或状态的直接或间接的表述.
信息论研究信息的本质，运用数学理论研究描述和度量信息的方法，以及传送、处理信息的基本原理.
从信息论的角度看，数学问题的解决过程就是信息的捕捉(主要任务是收集与存贮信息，对应于数学解题中的审题过程)、处理(主要任务是提取与加工信息，对应于数学解题中的分析过程)、应用(主要任务是将处理后的信息进行有目的和有序的反馈，对应于数学解题中的解答过程)和跟踪(主要任务是对反馈出去的信息进行跟踪了解，对应于数学解题中的检验与反思过程)的过程——笔者称之为用于探求数学解题思路的信息论思想.由此可见，从信息论的角度去分析和解决数学问题可以作为一种特别的探求数学解题思路的方法.如果在应用常见的数学思想方法解题过程中，你还能有意识地用信息论思想帮助探求解题思路的话，那么你一定会发现，信息论思想在数学解题中常会带给人们惊喜.
一、捕捉信息，关联探求
解答数学问题的首个步骤是审题，其任务是弄清题意.因此，许多学生的着眼点就是把题目的意思弄清楚.但从信息论的角度看，这一步骤是捕捉信息的过程(许多人喜欢说是接收信息，显然“捕捉”比“接收”主动得多).捕捉信息与审题虽然是从不同的角度说是一个意思，但给解题者引导的力度不同.捕捉信息鼓励解题者去寻找藏在表面或直接信息背后的信息，再把获取的新信息与已有信息做关联，从而使我们得以或尽快地找到正确的解题思路.现介绍两种捕捉信息的方法：
1.延伸条件法
所谓延伸条件就是把已知条件(也可以是题目要求的问题.下同)向前推一至两步或把条件变化一下.有时候看条件本身好象得不到我们需要的信息，按自己的经验感觉不到条件延伸后的作用(任何人看到眼前条件后都会或多或少地将条件进行延伸，当然可能更多的是无意识的延伸)或不愿意将某些条件做有意识的延伸，但在解题思路遇阻的情况下，将条件有意识地延伸一下，你或许会发出“原来如此”的感叹.
例1(2007北京高考数学试卷第20题)已知集合A={a1,a2,…，a璳}(k≥2)，其中a璱∈Z(i=1,2,…,k).由A中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)}|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.其中(a,b)是有序数对，集合S和T中的元素个数为m和n.若对于任意的a∈A，总有-a麬，则称集合A具有性质P.
(1)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
(2)对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k(k-1)2；
(3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
分析与简评：这里只对第(3)问做分析.不少学生遇此感到无法下手，为何?好象就这两个条件：集合S和集合T，看不出这两个集合之间有什么关系(因为属于S的元素推不出属于T，反之亦然)，各自的元素个数m和n又求不出来.怎么办呢?我们需要捕捉隐藏在表面信息背后的信息.由于题目告诉我们这两个集合之间肯定有某种关系，所以我们应该将这两个集合的元素加以比较和联系.将集合S和集合T的元素特征比较、关联后再延伸一下，我们发现：若(a,b)∈S，则(a+b,b)∈T；若(a,b)∈T，则(a-b,b)∈S.显然捕捉到这样一个信息是解决问题的关键，因为下面再说明“若(a,b)与(c,d)不同，则(a+b,b)与(c+d,d)不同，(a-b,b)与(c-d,d)也不同”是自然的事 ，而且简单.
2.关注弱项法
有些题目条件复杂，其中有些条件与要解决的问题表面上看关联度较低，给解题者的刺激较弱或印象不深，这些条件不妨称为弱项条件，反之称为强项条件或中项条件.弱项条件容易被解题者忽视，可有时找不到解题思路就是因为没有用到这些弱项条件.所以在解题思路遇阻的情况下，把弱项条件拿来试用一下，你或许会“柳暗花明又一春”.
例2 一批物品，分为3种：超重、正常、过轻.超重用H表示，正常用N表示，过轻用L表示.现在要称出物品属于哪一种，如果物品超重就会显示A，正常显示B，过轻显示C.由于位置偏移，超重显示为正常的物品数占总数的15%，即P(B|H)=0.15，正常显示为过轻的物品数占总数的10%，即P(C|N)=0.1.又已知H占15%，即P(H)=0.15，同样，P(N)=0.75,P(L)=0.1.求：P(H|A),P(N|B),㏄(L|C).
分析与简评：很多学生都说这个题目少条件了，认为至少还要知道P(A|H),P(A|N),P(A|L),P(B|L)才能用Bayes定理计算，而根据条件无法求出P(A|H),P(A|N),P(A|L),P(B|L).真的无法求出上面4个量吗?不是.想想为什么有时超重却显示为正常，正常却显示为过轻呢?是因为“位置偏移”!“位置偏移”这个非数量化的条件没有引起人们的注意，如果想到应用这样一个条件的话，那么由题目的已知条件可以推出：P(A|H)=0.85，㏄(C|H)=0，狿(A|N)=0，P(B|N)=0.9，㏄(A|L)=0,P(B|L)=0,P(C|L)=1，这下问题就简单了!事后有人感叹：我把问题复杂化了，或者说我们的注意力都集中到纯概率问题上，如果能从信息论的角度去分析我们应该能关注到“位置偏移”这样一个弱项条件.
二、判断信息，学会取舍
解答数学问题的重要和关键步骤是分析，其任务是探寻解题思路.如何探寻解题思路呢?概括地讲就是比较条件与条件、条件和问题，应用各种数学思想方法将题目中的已知条件和要求解的问题之间的被隐藏起来的逻辑通道显现.从信息论的角度讲，就是要对各种信息进行提取和加工，最终实现条件信息向结论信息的转化.筛选、捕捉、判断和联合转换信息则是这一过程中常见的具体的表现方式.在解答比较复杂的数学问题时，我们常常会看到某些学生进入“繁乱的森林”甚至走入歧途而不愿另辟蹊径，有些学生已到“关门前”却止步不前.原因何在?许多情况下是因为不能及时审时度势对眼前的各种信息做出正确的判断，或者是因为没有留心从眼前经过的各种信息尤其是那些从眼前一闪而过且不太引人注目的信息.其实解题的过程也是我们不断取舍的过程，因为面临一个数学问题，我们的思维方向可能有多个，其中有些方向是可通的，有些方向是错误的，所以我们需要不断地对思维方向进行取舍，而决定取舍受到我们对各种信息的获取和判断的影响.因此，在探求数学解题思路的过程中，关注和捕捉各种信息，并对它们及时做出正确的判断，然后对我们的思路作出合理的取舍，对我们解决数学问题一定会有较大的帮助.以下两种方法值得我们在解题中借鉴：
1.直觉放弃，分析转化
在探求解题思路的过程中，每走一步我们都可能有一个解题方向的选择问题，所以在探求解题思路的过程中，解题方向的选择与放弃成为常态，而且也是解题能力强弱的体现，尤其在解有一些难度的题目时这一点很重要.那么如何选择解题方向呢?若总是等各个方向全走一遍后再取舍显然行不通，因为时间上不允许，就像下象棋一样，路子很多，怎能让你全试一遍再确定走棋嘞?这时靠的是我们对基础知识掌握的熟练程度，靠的是我们的已有经验和对各种信息快速反应的能力，靠的是我们的直觉.及时捕捉各种信息，并运用我们的直觉对当前的解题方向进行取舍，通常会避免我们多走弯路或进入死胡同.
例3 (2007江苏高考数学试卷第19题)
如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于P、Q.
(1)若㎡A?㎡B=2，求c的值；
(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.
分析与简评：只对第(1)题做分析.设过C点的直线为y=kx+c，下面我们可能会想通过解下列方程组y=kx+c
y=x2求出A、B点的坐标，然后再用条件㎡A?㎡B=2求出c的值.由上面的方程组得x2-kx-c=0，接下来不少学生会按上面的思路求出A、B点的横坐标，从而走进繁难的道路.但如果我们信息论思想较强，在解题过程中注意积极地抓捕信息的话，那么很可能会看到(1)由方程x2-kx-c=0求出x的值较繁；(2)㎡A?㎡B=2告诉我们不需要一个一个地求x1,x2,y1,y2(以上分别为A、B点的横、纵坐标)，只需要直接求出x1x2和y1y2这两个积即可.由此，我们一定会放弃直接求A、B点坐标的思路，而改用韦达定理进行求解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2-kx-c=0得x1+x2=k,x1x2=-c，又由㎡A?㎡B=2知x1x2+y1y2=2,即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2，x1x2+k2x1x2+kc(x1+x2)+c2=2，所以-c-k2c+k2c+c2=2，即c2-c-2=0，所以c=2(舍去c=-1).
2.逻辑坚持，关联转化
直觉上感到某个解题思路可能不通是否就要立即放弃呢?由于直觉思维的结果未必正确，所以把各种信息综合起来，再从逻辑关系上做一些判断，通常会避免我们功亏一匮.
例4 (例3的第(2)题)
分析与简评：我们很容易看到若设A点的横坐标为x1的话，那么过点A的切线的斜率为2x1.所以我们会想到先写出点A和点Q的坐标，然后想办法说明直线QA的斜率为2x1.基于这样的考虑，我们设过C点的直线 为y=kx+c,A(x1,x12),B(x2,x22)，则有Q(x1+x22,-c),所以直线QA的斜率为x12+cx1-x1+x22.看到前面这个式子不少学生决定放弃，因为他们感到证明此式等于2x1不可能.其实从逻辑上考虑应该能证明此式等于2x1.如果你能这样想，那么你一定会去联想解答第(1)题时得到的信息“x1x2=-c”，从而使问题很快得解(标准答案里是用同一法证明的，其思路和过程比这里繁得多).
人类生活在信息的海洋中，人们通过信息来认识事物和改造世界.研究和运用信息，从大的方面讲对于人类的生存与发展有极为重要的意义，从数学教育方面说， 对数学教学和提高学生解答数学问题的能力也有较大的作用.在解答数学问题时从信息论的角度做一些分析和思考(即把信息论思想用于数学解题)常常会给我们惊喜.愿信息论思想在数学解题中发挥更大的作用!
参考文献
［1］韦辉源.“信息论”在数学教学中的应用，广东教育(综合版)，2007年05期.
［2］徐宏田.谈信息加工模式在数学解题中的应用，宿州教育学院学报，2002年04期.
江苏省盐城高等师范学校 (224001)
物质世界有三个基本方面，即材料、能量和信息.材料和能量早已受到人们的重视，现在人们又认识了信息.
所谓信息，并非指事物本身，而是指用来表征事物，并由事物发出的数据和信号中所包含的对象.信息论的创始人N?维纳说：“信息是人们在适应外部世界并且使这种适应反作用于外部世界的过程中，同外部世界进行交换的内容的名称.”信息就是事物存在的方式或运动的状态，以及这种方式或状态的直接或间接的表述.
信息论研究信息的本质，运用数学理论研究描述和度量信息的方法，以及传送、处理信息的基本原理.
从信息论的角度看，数学问题的解决过程就是信息的捕捉(主要任务是收集与存贮信息，对应于数学解题中的审题过程)、处理(主要任务是提取与加工信息，对应于数学解题中的分析过程)、应用(主要任务是将处理后的信息进行有目的和有序的反馈，对应于数学解题中的解答过程)和跟踪(主要任务是对反馈出去的信息进行跟踪了解，对应于数学解题中的检验与反思过程)的过程——笔者称之为用于探求数学解题思路的信息论思想.由此可见，从信息论的角度去分析和解决数学问题可以作为一种特别的探求数学解题思路的方法.如果在应用常见的数学思想方法解题过程中，你还能有意识地用信息论思想帮助探求解题思路的话，那么你一定会发现，信息论思想在数学解题中常会带给人们惊喜.
一、捕捉信息，关联探求
解答数学问题的首个步骤是审题，其任务是弄清题意.因此，许多学生的着眼点就是把题目的意思弄清楚.但从信息论的角度看，这一步骤是捕捉信息的过程(许多人喜欢说是接收信息，显然“捕捉”比“接收”主动得多).捕捉信息与审题虽然是从不同的角度说是一个意思，但给解题者引导的力度不同.捕捉信息鼓励解题者去寻找藏在表面或直接信息背后的信息，再把获取的新信息与已有信息做关联，从而使我们得以或尽快地找到正确的解题思路.现介绍两种捕捉信息的方法：
1.延伸条件法
所谓延伸条件就是把已知条件(也可以是题目要求的问题.下同)向前推一至两步或把条件变化一下.有时候看条件本身好象得不到我们需要的信息，按自己的经验感觉不到条件延伸后的作用(任何人看到眼前条件后都会或多或少地将条件进行延伸，当然可能更多的是无意识的延伸)或不愿意将某些条件做有意识的延伸，但在解题思路遇阻的情况下，将条件有意识地延伸一下，你或许会发出“原来如此”的感叹.
例1(2007北京高考数学试卷第20题)已知集合A={a1,a2,…，a璳}(k≥2)，其中a璱∈Z(i=1,2,…,k).由A中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)}|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.其中(a,b)是有序数对，集合S和T中的元素个数为m和n.若对于任意的a∈A，总有-a麬，则称集合A具有性质P.
(1)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
(2)对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k(k-1)2；
(3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
分析与简评：这里只对第(3)问做分析.不少学生遇此感到无法下手，为何?好象就这两个条件：集合S和集合T，看不出这两个集合之间有什么关系(因为属于S的元素推不出属于T，反之亦然)，各自的元素个数m和n又求不出来.怎么办呢?我们需要捕捉隐藏在表面信息背后的信息.由于题目告诉我们这两个集合之间肯定有某种关系，所以我们应该将这两个集合的元素加以比较和联系.将集合S和集合T的元素特征比较、关联后再延伸一下，我们发现：若(a,b)∈S，则(a+b,b)∈T；若(a,b)∈T，则(a-b,b)∈S.显然捕捉到这样一个信息是解决问题的关键，因为下面再说明“若(a,b)与(c,d)不同，则(a+b,b)与(c+d,d)不同，(a-b,b)与(c-d,d)也不同”是自然的事 ，而且简单.
2.关注弱项法
有些题目条件复杂，其中有些条件与要解决的问题表面上看关联度较低，给解题者的刺激较弱或印象不深，这些条件不妨称为弱项条件，反之称为强项条件或中项条件.弱项条件容易被解题者忽视，可有时找不到解题思路就是因为没有用到这些弱项条件.所以在解题思路遇阻的情况下，把弱项条件拿来试用一下，你或许会“柳暗花明又一春”.
例2 一批物品，分为3种：超重、正常、过轻.超重用H表示，正常用N表示，过轻用L表示.现在要称出物品属于哪一种，如果物品超重就会显示A，正常显示B，过轻显示C.由于位置偏移，超重显示为正常的物品数占总数的15%，即P(B|H)=0.15，正常显示为过轻的物品数占总数的10%，即P(C|N)=0.1.又已知H占15%，即P(H)=0.15，同样，P(N)=0.75,P(L)=0.1.求：P(H|A),P(N|B),㏄(L|C).
分析与简评：很多学生都说这个题目少条件了，认为至少还要知道P(A|H),P(A|N),P(A|L),P(B|L)才能用Bayes定理计算，而根据条件无法求出P(A|H),P(A|N),P(A|L),P(B|L).真的无法求出上面4个量吗?不是.想想为什么有时超重却显示为正常，正常却显示为过轻呢?是因为“位置偏移”!“位置偏移”这个非数量化的条件没有引起人们的注意，如果想到应用这样一个条件的话，那么由题目的已知条件可以推出：P(A|H)=0.85，㏄(C|H)=0，狿(A|N)=0，P(B|N)=0.9，㏄(A|L)=0,P(B|L)=0,P(C|L)=1，这下问题就简单了!事后有人感叹：我把问题复杂化了，或者说我们的注意力都集中到纯概率问题上，如果能从信息论的角度去分析我们应该能关注到“位置偏移”这样一个弱项条件.
二、判断信息，学会取舍
解答数学问题的重要和关键步骤是分析，其任务是探寻解题思路.如何探寻解题思路呢?概括地讲就是比较条件与条件、条件和问题，应用各种数学思想方法将题目中的已知条件和要求解的问题之间的被隐藏起来的逻辑通道显现.从信息论的角度讲，就是要对各种信息进行提取和加工，最终实现条件信息向结论信息的转化.筛选、捕捉、判断和联合转换信息则是这一过程中常见的具体的表现方式.在解答比较复杂的数学问题时，我们常常会看到某些学生进入“繁乱的森林”甚至走入歧途而不愿另辟蹊径，有些学生已到“关门前”却止步不前.原因何在?许多情况下是因为不能及时审时度势对眼前的各种信息做出正确的判断，或者是因为没有留心从眼前经过的各种信息尤其是那些从眼前一闪而过且不太引人注目的信息.其实解题的过程也是我们不断取舍的过程，因为面临一个数学问题，我们的思维方向可能有多个，其中有些方向是可通的，有些方向是错误的，所以我们需要不断地对思维方向进行取舍，而决定取舍受到我们对各种信息的获取和判断的影响.因此，在探求数学解题思路的过程中，关注和捕捉各种信息，并对它们及时做出正确的判断，然后对我们的思路作出合理的取舍，对我们解决数学问题一定会有较大的帮助.以下两种方法值得我们在解题中借鉴：
1.直觉放弃，分析转化
在探求解题思路的过程中，每走一步我们都可能有一个解题方向的选择问题，所以在探求解题思路的过程中，解题方向的选择与放弃成为常态，而且也是解题能力强弱的体现，尤其在解有一些难度的题目时这一点很重要.那么如何选择解题方向呢?若总是等各个方向全走一遍后再取舍显然行不通，因为时间上不允许，就像下象棋一样，路子很多，怎能让你全试一遍再确定走棋嘞?这时靠的是我们对基础知识掌握的熟练程度，靠的是我们的已有经验和对各种信息快速反应的能力，靠的是我们的直觉.及时捕捉各种信息，并运用我们的直觉对当前的解题方向进行取舍，通常会避免我们多走弯路或进入死胡同.
例3 (2007江苏高考数学试卷第19题)
如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于P、Q.
(1)若㎡A?㎡B=2，求c的值；
(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.
分析与简评：只对第(1)题做分析.设过C点的直线为y=kx+c，下面我们可能会想通过解下列方程组y=kx+c
y=x2求出A、B点的坐标，然后再用条件㎡A?㎡B=2求出c的值.由上面的方程组得x2-kx-c=0，接下来不少学生会按上面的思路求出A、B点的横坐标，从而走进繁难的道路.但如果我们信息论思想较强，在解题过程中注意积极地抓捕信息的话，那么很可能会看到(1)由方程x2-kx-c=0求出x的值较繁；(2)㎡A?㎡B=2告诉我们不需要一个一个地求x1,x2,y1,y2(以上分别为A、B点的横、纵坐标)，只需要直接求出x1x2和y1y2这两个积即可.由此，我们一定会放弃直接求A、B点坐标的思路，而改用韦达定理进行求解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2-kx-c=0得x1+x2=k,x1x2=-c，又由㎡A?㎡B=2知x1x2+y1y2=2,即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2，x1x2+k2x1x2+kc(x1+x2)+c2=2，所以-c-k2c+k2c+c2=2，即c2-c-2=0，所以c=2(舍去c=-1).
2.逻辑坚持，关联转化
直觉上感到某个解题思路可能不通是否就要立即放弃呢?由于直觉思维的结果未必正确，所以把各种信息综合起来，再从逻辑关系上做一些判断，通常会避免我们功亏一匮.
例4 (例3的第(2)题)
分析与简评：我们很容易看到若设A点的横坐标为x1的话，那么过点A的切线的斜率为2x1.所以我们会想到先写出点A和点Q的坐标，然后想办法说明直线QA的斜率为2x1.基于这样的考虑，我们设过C点的直线 为y=kx+c,A(x1,x12),B(x2,x22)，则有Q(x1+x22,-c),所以直线QA的斜率为x12+cx1-x1+x22.看到前面这个式子不少学生决定放弃，因为他们感到证明此式等于2x1不可能.其实从逻辑上考虑应该能证明此式等于2x1.如果你能这样想，那么你一定会去联想解答第(1)题时得到的信息“x1x2=-c”，从而使问题很快得解(标准答案里是用同一法证明的，其思路和过程比这里繁得多).
人类生活在信息的海洋中，人们通过信息来认识事物和改造世界.研究和运用信息，从大的方面讲对于人类的生存与发展有极为重要的意义，从数学教育方面说， 对数学教学和提高学生解答数学问题的能力也有较大的作用.在解答数学问题时从信息论的角度做一些分析和思考(即把信息论思想用于数学解题)常常会给我们惊喜.愿信息论思想在数学解题中发挥更大的作用!
参考文献
［1］韦辉源.“信息论”在数学教学中的应用，广东教育(综合版)，2007年05期.
［2］徐宏田.谈信息加工模式在数学解题中的应用，宿州教育学院学报，2002年04期.
