一个分式不等式的联想

有名辉
浙江省杭州市安吉路实验学校 (310006)
瓦西列夫不等式[1]叙述如下:
设a,b,c>0,a+b+c=1,则有a2+bb+c+b2+cc+a+c2+aa+b≥2.(1)
将此不等式进行联想类比,并推广到多元情形,得到
结论1 设x1,x2,…,x璶>0,n∈N,n≥2,则∑x12+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶≤x1+x2+…+x璶.(2)
其中记号“∑”表示循环和.
证明:x12+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶=
x12x2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2+x22x2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2-x2+x3+…+x璶n-1≥x1+x2+…+x﹏-1猲-1-x1+x2+…+x璶n-1.
采用同样的方法处理(2)式左边的其他项,可得
∑x21+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶≥
2∑x1+x2+…+x﹏-1猲-1-∑x2+x3+…+x璶n-1=x1+x2+…+x璶.当且仅当x1=x2=…=x璶时上式等号成立.类似结论1的证明,还可以得到
结论2 设x1,x2,…,x璶>0,n∈N,n≥2,1≤i≤n,且当n+i-2>n时,取x﹏+1=x1,…,x﹏+i-2=x﹊-2,则
∑x2璱+x2﹊+1+…+x2﹏+i-2獂2+x3+…+x璶≥x1+x2+…+x璶.
结论1和结论2中,不等式左边每一项的分母和分子的“缺项”都是一项,现作进一步推广.
结论3 x1,x2,…,x璶>0,n∈N,n≥2,i,j,k∈N,0≤i,j,k≤n-1;且当i+n-j-1>n时,取x﹏+1=x1,…,x﹊+n-j-1=x﹊-j-1,则∑x2﹊+1+x2﹊+2+…+x2﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k(x1+x2+…+x璶),(3),当且仅当x1=x2=…=x璶时上式等号成立.
证明:类似结论1,也可参照以下结论4的证明,在此略去过程.
结论4 设x1,x2,…,x璶>0,n,m∈N,n≥2,m≥2,i,j,k∈N,0≤i,j,k≤n-1,且当i+n-j>n时,取x﹏+1=x1,…,x﹊+n-j=x﹊-j,则∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k?∑ni=1x﹎-1璱.(4)
证明:由于x琺﹊+1獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶=(m-1)x琺﹊+1(m-1)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)+
(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺-
(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺≥
mmx﹎(m-1)﹊+1(m-1)琺(n-k)琺-
(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺=mx﹎-1﹊+1(m-1)(n-k)-(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺.
类似的处理可得
x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥
m(x﹎-1﹊+1+x﹎-1﹊+2+…+x﹎-1﹊+n-j)(m-1)(n-k)-
(n-j)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺,所以
∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥
∑m(x﹎-1﹊+1+x﹎-1﹊+2+…+x﹎-1﹊+n-j)(m-1)(n-k)-
∑(n-j)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺=
m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)(m-1)(n-k)琺∑(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1.(5)
当m≥2时,f(x)=x﹎-1是一个下凸函数,由下凸函数的獼enson不等式[2]可得(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1≤(n-k)﹎-2(x﹎-1﹌+1+x﹎-1﹌+2+…+x﹎-1璶).(6)
把(6)式代入(5)式,可得
∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥
m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)(m-1)(n-k)2∑(x﹎-1﹌+1+x﹎-1﹌+2+…+x﹎-1璶)=m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)=n-jn-k∑ni=1x﹎-1璱.结论3证毕.
在(4)式中,对∑ni=1x﹎-1璱再用一次下凸函数的獼enson不等式,可得
∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k(∑ni=1x璱)﹎-1猲﹎-2,(7)
此即为文[3]中定理1的一个推广.
结论4中,赋予m,n,j,k不同的值时,可以得到很多形式对称的不等式.其中有很多在一些文献或竞赛试题出现过.例如
取j=k=n-1,i=n-2,m=2,则结论4化为∑x21x2≥x1+x2+…+x璶,此为1984年全国高中数学竞赛题.
取j=n-1,k=1,i=0,m=2,并记x1+x2+…+x璶=s,则结论4化为∑ni=1x2璱s-x璱≥sn-1,此为《数学通报》1994年第11期数学问题第925题.特别地,若s=1,即为《数学通报》1993年第7期数学问题第845题.
取j=n-1,k=i=n-2,m=2,则结论4化为∑x21x1+x2≥12∑ni=1x璱,此为1991年亚太地区数学竞赛试题,也是第24届全苏数学奥林匹克试题.特别地,取n=3,则为《数学通报》1995年第4期数学问题第946题.
取j=n-1.k=1,i=0,m=2,则结论4化为∑x31x2+x3+…+x璶≥x21+x22+…+x2璶n-1.即为《数学教学》1996年第5期问题第405题.特别地,此式中取n=4,则
∑x31x2+x3+x4≥x21+x22+x23+x243≥
x1x2+x2x3+x3x4+x4x13,即为第31届IMO预选题.
(7)式中,取j=n-1,k=1,i=0,m=3,并记x1+x2+…+x璶=s,则∑ni=1x3璱s-x璱≥s2n(n-1),这是《数学通报》2007年第2期问题第1660题的推广.
取j=k=i=n-3,m=3,则结论4化为∑x31+x32+x33x1+x2+x3≥∑ni=1x2璱.此为文[4]所得结论.类似的特例在其它一些数学杂志和数学竞赛中还有很多,限于篇幅,在此不再赘述.除此之外,结论4对一些命题的证明也会带来方便.如
例1[5] 设α是锐角,求证玞os3α玸inα+玸in3α玞osα≥1.
证明:由结论4,可得玞os3α玸inα+玸in3α玞osα≥玸in2α+玞os2α=1.同理可证《数学通报》1994年第9期问题第912题:
例2 设α,β,γ是锐角,玸in2α+玸in2β+玸in2γ=1,求证玸in3α玸inβ+玸in3β玸inγ+玸in3γ玸inα≥1.
参考文献
[1]李学军(戎松魁译).一组优美的不等式.数学通讯,2006,21.
[2]T?M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程.北京:人民教育出版社,1957.
[3]季明银.一类不等式的推广.数学通报,2008.1
[4]杨银福,杨志丹.一个不等式的变形及推广.数学通讯,2000.6.
[5]曾思江,刘中华.用基本不等式解题的思维过程浅析.湖南数学通讯,1996,2.
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