摭谈近两年高考中的四次函数
刘瑞美
随着新课程标准的不断推行，导数的工具性越来越受到人们的青睐.由于以导数为背景的高考试题，背景比较新颖，能有效的考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能，因而成为近年来高考命题的“宠儿”，相信在不远的将来必定成为高考命题的新亮点.纵观07、08两年高考，以四次函数为背景的试题，精彩纷呈，且呈上升趋势，重点考查了函数的单调性、极值、在闭区间上的最值以及对参数的范围和恒成立问题的探究等.由于四次函数的导数是三次函数，所以它更能考查学生应用数学知识解决问题的潜能，相信四次函数将成为今后高考命题的新热点.下面就近两年高考中对四次函数应用问题的考查进行简单探究.
1.单调性——四次函数考查的永久主题
例1 (07重庆卷理20题)已知函数f(x)=ax4玪n玿+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.
(1)试确定a,b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围.
分析：本题是关于四次函数的导数应用题，由函数在某点处导数与极值的关系，可确定a,b的值；从而进一步利用导数求出函数的单调区间，对第(3)问，要求c的取值范围，只要函数f(x)的最小值大于-2c2即可.
解：(1)由题意知f(1)=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3.又对f(x)求导得：f′(x)=4ax3玪n玿+ax4?1x+4bx3=x3(4a玪n玿+a+4b).由题意f′(1)=0，因此a+4b=0，解得a=12.
(2)由(1)知f′(x)=48x3玪n玿(x>0)，令f′(x)=0，解得x=1,当01时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数.
因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
(3)由(2)知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c，此极小值也是最小值，故要使f(x)≥ -2c2(x>0)恒成立，只需-3-c≥-2c2.即2c2-c-3≥0，从而(2c-3)(c+1)≥0，解得c≥32或c≤-1.所以c的取值范围为(-∞，-1］∪［32,+∞).
点评：本题以四次函数为背景，以四次函数的单调性为载体，巧妙地将函数的极值和最值、导数的应用等融合在一起，重点考查了数学的应用、推理和运算能力.
2.极值与最值——四次函数考查的重点和亮点
例2 (2008年高考天津文21题)设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.
(1)当a=-103时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
(3)若对于任意的a∈［-2，2］，不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，求b的取值范围 .
分析：本题是求四次函数的单调性及参数的取值范围问题，首先利用导函数求出函数单调区间；由于四次函数可能有三个极值点，进而当函数f(x)仅在x=0处有极值时，求出a的取值范围；第(3)问为要使不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，只要函数f( x)在［-1，1］上的最大值不超过1就可以了.
解(1)：f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).当a=-103时，f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).令f′(x)=0，解得x1=0,x2=12,x3=2.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x(-∞,0)0(0,12)12(12,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-0+f(x)缂小值杓大值缂小值杷以f(x)在(0，12)，(2，+∞)内是增函数，在(-∞,0),(12,2)内是减函数.
(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4)，显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0恒成立，即有△=9a2-64≤0.解此不等式，得-83≤a≤83，这时，f(0)=b是唯一极值.因此满足条件的a的取值范围是［-83,83］.
(3)由条件a∈［-2，2］可知△=9a2-64<0，从而4x2+3ax+4>0恒成立.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.因此函数f(x)在［-1，1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.为使对任意的a∈［-2，2］，不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，当且仅当f(1)≤1,
f(-1)≤1,即b≤-2-a,
b≤-2+a,在a∈［-2，2］上恒成立.所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是(-∞，-4］.
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.
3.参数的范围——四次函数考查的难点
例3(2008年江西文21题)已知函数f(x)=14x4+13ax3-a2x2+a4(a>0).(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，求a的取值范围.
分析：本题第(1)问利用导数很容易求出函数的单调区间；第(2)问求参数a的取值范围，使函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，可先画出函数图像的大致形状，利用数形结合求出参数的范围.
解：(1)因为f′(x)=x3+ax2-2a2x=x(x+2a)(x-a).令f′(x)=0得x1=-2a,x2=0,x3=a.
由a>0时，f′(x)在f′(x)=0根的左右的符号如下表所示
x(-∞,-2a)-2a[JP3](-2a,0)[JP] 0(0,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-0+f(x)缂小值杓大值缂小值杷以f(x)的递增区间为(-2a,0)(a,+∞)； f(x)的递减区间为(-∞,-2a)与(0,a).
(2)由(1)得到f(x)极小值=f(-2a)=-53a4,猣(x)极小值=f(a)=712a4;f(x)极大值=f(0)=a4，要使f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，只要-53a4<1<712a4或a4<1，即a>4127或0≤a<1.
点评：利用导数求函数的单调区间是导数应用的重要内容之一.求参数的范围是导数考查另一个重要内容，它将数与形有机的结合在一起，考查了导数的应用及不等式应用等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力，试题的综合性强，对学生的能力要求较高.
总之，以四次函数为载体，以导数为工具，以考查函数性质、导数极值理论、函数的单调性、不等式的应用为目标，是近两年高考导数与函数交汇试题的显著特点和以后的命题趋势，值得我们去认真研究.
参考文献
［1］戴宏照.例析递推数列与数学建模，数学通报，2008，2.
［2］罗增儒.2007年高考数学陕西卷数列题解题的分析，中学数学教学参考，2007，3.
［3］郭振.导数应用题型与高考走势，中学教研(数学)，2008，2.
［4］刘晓东.聚焦07年高考中的三次函数，数学通报，2008，5.
随着新课程标准的不断推行，导数的工具性越来越受到人们的青睐.由于以导数为背景的高考试题，背景比较新颖，能有效的考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能，因而成为近年来高考命题的“宠儿”，相信在不远的将来必定成为高考命题的新亮点.纵观07、08两年高考，以四次函数为背景的试题，精彩纷呈，且呈上升趋势，重点考查了函数的单调性、极值、在闭区间上的最值以及对参数的范围和恒成立问题的探究等.由于四次函数的导数是三次函数，所以它更能考查学生应用数学知识解决问题的潜能，相信四次函数将成为今后高考命题的新热点.下面就近两年高考中对四次函数应用问题的考查进行简单探究.
1.单调性——四次函数考查的永久主题
例1 (07重庆卷理20题)已知函数f(x)=ax4玪n玿+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.
(1)试确定a,b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围.
分析：本题是关于四次函数的导数应用题，由函数在某点处导数与极值的关系，可确定a,b的值；从而进一步利用导数求出函数的单调区间，对第(3)问，要求c的取值范围，只要函数f(x)的最小值大于-2c2即可.
解：(1)由题意知f(1)=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3.又对f(x)求导得：f′(x)=4ax3玪n玿+ax4?1x+4bx3=x3(4a玪n玿+a+4b).由题意f′(1)=0，因此a+4b=0，解得a=12.
(2)由(1)知f′(x)=48x3玪n玿(x>0)，令f′(x)=0，解得x=1,当0
因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
(3)由(2)知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c，此极小值也是最小值，故要使f(x)≥ -2c2(x>0)恒成立，只需-3-c≥-2c2.即2c2-c-3≥0，从而(2c-3)(c+1)≥0，解得c≥32或c≤-1.所以c的取值范围为(-∞，-1］∪［32,+∞).
点评：本题以四次函数为背景，以四次函数的单调性为载体，巧妙地将函数的极值和最值、导数的应用等融合在一起，重点考查了数学的应用、推理和运算能力.
2.极值与最值——四次函数考查的重点和亮点
例2 (2008年高考天津文21题)设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.
(1)当a=-103时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
(3)若对于任意的a∈［-2，2］，不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，求b的取值范围 .
分析：本题是求四次函数的单调性及参数的取值范围问题，首先利用导函数求出函数单调区间；由于四次函数可能有三个极值点，进而当函数f(x)仅在x=0处有极值时，求出a的取值范围；第(3)问为要使不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，只要函数f( x)在［-1，1］上的最大值不超过1就可以了.
解(1)：f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).当a=-103时，f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).令f′(x)=0，解得x1=0,x2=12,x3=2.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x(-∞,0)0(0,12)12(12,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-0+f(x)缂小值杓大值缂小值杷以f(x)在(0，12)，(2，+∞)内是增函数，在(-∞,0),(12,2)内是减函数.
(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4)，显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0恒成立，即有△=9a2-64≤0.解此不等式，得-83≤a≤83，这时，f(0)=b是唯一极值.因此满足条件的a的取值范围是［-83,83］.
(3)由条件a∈［-2，2］可知△=9a2-64<0，从而4x2+3ax+4>0恒成立.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.因此函数f(x)在［-1，1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.为使对任意的a∈［-2，2］，不等式f(x)≤1在［-1，1］上恒成立，当且仅当f(1)≤1,
f(-1)≤1,即b≤-2-a,
b≤-2+a,在a∈［-2，2］上恒成立.所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是(-∞，-4］.
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.
3.参数的范围——四次函数考查的难点
例3(2008年江西文21题)已知函数f(x)=14x4+13ax3-a2x2+a4(a>0).(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，求a的取值范围.
分析：本题第(1)问利用导数很容易求出函数的单调区间；第(2)问求参数a的取值范围，使函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，可先画出函数图像的大致形状，利用数形结合求出参数的范围.
解：(1)因为f′(x)=x3+ax2-2a2x=x(x+2a)(x-a).令f′(x)=0得x1=-2a,x2=0,x3=a.
由a>0时，f′(x)在f′(x)=0根的左右的符号如下表所示
x(-∞,-2a)-2a[JP3](-2a,0)[JP] 0(0,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-0+f(x)缂小值杓大值缂小值杷以f(x)的递增区间为(-2a,0)(a,+∞)； f(x)的递减区间为(-∞,-2a)与(0,a).
(2)由(1)得到f(x)极小值=f(-2a)=-53a4,猣(x)极小值=f(a)=712a4;f(x)极大值=f(0)=a4，要使f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，只要-53a4<1<712a4或a4<1，即a>4127或0≤a<1.
点评：利用导数求函数的单调区间是导数应用的重要内容之一.求参数的范围是导数考查另一个重要内容，它将数与形有机的结合在一起，考查了导数的应用及不等式应用等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力，试题的综合性强，对学生的能力要求较高.
总之，以四次函数为载体，以导数为工具，以考查函数性质、导数极值理论、函数的单调性、不等式的应用为目标，是近两年高考导数与函数交汇试题的显著特点和以后的命题趋势，值得我们去认真研究.
参考文献
［1］戴宏照.例析递推数列与数学建模，数学通报，2008，2.
［2］罗增儒.2007年高考数学陕西卷数列题解题的分析，中学数学教学参考，2007，3.
［3］郭振.导数应用题型与高考走势，中学教研(数学)，2008，2.
［4］刘晓东.聚焦07年高考中的三次函数，数学通报，2008，5.
