函数视角下对“图形运动”的思考

    毛亚玲

    [摘? 要] 在函数概念体系下,“图形运动”课分别设计了图形“平移”概念课、“轴对称”性质课、“旋转”习题课三种课型,引导学生将“运动”与“对应”建立一一对应关系,让学生感受函数思想指导下图形运动规律的思维体系.

    [关键词] 函数思想;图形运动;一一对应

    与图形运动相关的问题因其灵活多变,所以在中考中颇受出题者的青睐. 相应的与图形运动相关的解题类文章种类繁多,大多侧重于各类模型的解密、解法的提炼与推广. 而关于图形运动教学类的文章则零散、碎片,对三种运动方式——平移、轴对称、旋转的理解如何才能上升到逻辑一体的程度,还有待挖掘. “平移、轴对称、旋转”是三种有规律的运动,而函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型,从函数变化的角度去理解图形运动是一次对数学教材“体系”认知的新尝试,是一次追求本质的数学教学过程.

    我们把图形运动看成是一个变化过程,那这个变化过程的本质是点的运动. 相关阐述如下:对于运动前的每一个点A来说,运动后都有唯一的点A′与它对应;由于图形运动的可逆性,运动后的每一个点A′也都有唯一的点A与之对应,所以我们说A和A′是图形运动中的一一对应点.

    下面笔者从挖掘教材中的实验素材出发,围绕函数的概念,谈谈对“平移、轴对称、旋转”的教学思考.

    概念教学:唯一确定,一一对应

    图形的运动“平移、轴对称、旋转”是将平面图形实施图形变换,概念的形成过程就是如何定义图形变换的过程. 那图形从一个位置到另一个位置,图形上的点从X到X′,是如何做到“唯一确定”“一一对应”的呢?

    案例1?摇 苏科版课标教材七年级下册“7.3 图形的平移”中的素材:如图1,移动三角尺ABC到三角尺A′B′C′的位置,得到一组平行线 AB和A′B′. 如图2,画出线段AB向左平移4格后得到的线段A′B′.

    问题1:在图1中,如果把直尺去掉,将三角尺ABC移动8 cm,你能确定移动后的三角尺A′B′C′的位置吗?

    追问:如何保证移动后的三角尺A′B′C′的位置只有一个?

    问题2:请用数学语言描述图1中三角尺ABC是如何移动到三角尺A′B′C′的位置的.

    追问1:直尺和8 cm的含义是什么?

    追问2:说说图形平移的概念.

    问题3:请说出图1中点B和点B′、点A和点A′的关系.

    追问:依据是什么?为什么是一样的?

    问题4:在图2中去掉方格纸后,画出AB向左平移4个单位长度后得到的A′B′.

    追问:画法的依据是什么?

    设计意图? 图形平移概念中的两个要素——方向和距离是如何提炼、概括出来的?“问题1”通过减少条件“把直尺去掉”,让学生感受到了平移之后的位置不能确定,接着利用唯一确定,由“问题2”从数学语言入手得到图形平移的概念. 图形平移和点的平移的关系是整体和局部的关系. “问题3”用整体去验证局部,反之,“问题4”用局部还原整体,还原的过程相当于利用“对应要素”(方向、距离)找对应点的过程. 这种函数思维方式能使学生对图形运动的理解达到一定的深度. 同样的,对于轴对称、旋转的概念课,教学也是如此.

    性质教学:对应元素、对应要素

    案例2?摇 苏科版课标教材八年级上册“2.2 轴对称的性质”中的素材:如图3,仿照上面的操作(沿l对折纸片,扎孔,展开后标记为点A和点A′),在对折后的纸上再扎一个孔,把纸展开后记这两个針孔为点B、点B′,连接BB′,AB,A′B′,BB′与折痕l有什么关系?再仿照上面的操作,扎孔、展开、标记、连线,图4中的CC′与折痕l有什么关系??摇

    问题1:在图3中,轴对称的性质是指研究什么?

    问题2:同样的,从局部看轴对称的性质是研究什么之间的关系?

    追问:如何研究?不变性如何体现?

    问题3:我们数学上的关系通常是指“位置关系”和“数量关系”. 从这两个角度说说BB′与对称轴l之间的关系.

    追问:能证明吗?请用文字语言阐述上述结论.

    问题4:我们已经得到一组对应点的性质,接下来,我们可以继续研究两组对应点的性质. 在图3中,线段AB和A′B′与折痕l之间有什么关系?

    追问:你会证明吗?请用文字语言阐述这一性质.

    问题5:除了对应点、对应线段的性质,接下来还能研究什么?

    设计意图?摇 研究轴对称的性质,即研究轴对称运动中的不变性. “问题1”是从整体图形看,“问题2”是从局部对应点来看,从而揭示本质. “追问”中不变性的探索依赖于核心概念里的“对应要素”. 对于轴对称而言,这个“对应要素”就是对称轴,通过研究对应元素BB′与对称轴l之间的关系去体现不变性. “问题3”则通过不断的追问得到轴对称的性质便显得顺理成章. “问题4”“问题5”的提出是遵循研究问题的有序性原则,由一组对应点到两组,甚至更多……研究对应元素与“对应要素”之间的关系,这种研究性质的经验可以顺延到“图形旋转”的教学当中,这对学生在后续图形运动的学习中发现规律性、统一性大有帮助.

    解题教学:主动从动,特殊一般

    图形旋转的问题往往伴随着动点问题,其中的轨迹路程、线段最值问题都是学生较难攻克的. 下面以旋转动点最值问题为例,尝试运用函数运动观点,化繁为简,揭示旋转的本质.

    案例3?摇 (1)如图5,直线MN⊥AB,垂足为A,AB=2,点C在直线MN上运动. 将点C绕点B顺时针旋转60°后得到点D,求AD的最小值.

    问题1:点C在直线MN上运动,任选C的三个位置,画出旋转之后点D的三个位置. 你发现了什么?

    追问1:如图6,你能证明点D的轨迹是直线吗?

    追问2:你能画出AD的最短距离吗?

    问题2:如图7,已知直线MN与点B,点C在直线MN上运动. 如果点C绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)后得到点D,从对应的角度你能得到点D的轨迹吗?

    (2)如图8,AB=4,O为AB的中点,☉O的半径为1. 点C是☉O上的一个动点,以CB为直角边作等腰直角三角形CBD(点C,B,D按逆时针方向),求AD的取值范围.

    问题3:请讨论点D的轨迹是通过何种途径形成的.

    问题4:如图9,运用(1)的经验,你能得到点D的轨迹吗?

    追问:请画出AD取得最大值和最小值时的位置.

    设计意图?摇 这类图形旋转问题是近几年比较热门的“瓜豆原理”问题. (1)问求AD 的最小值,可转化为求点D的运动轨迹. 通过“问题1”,直观观察为直线. “追问1”的探究用整体旋转得到点C的对应点D的运动轨迹:将△ABC绕点B顺时针旋转60°,A,C的对应点分别为A′,D,∠BA′D=90°,A′B=2,则点D在与点B的距离为2的直线上,从而可证点D的轨迹是直线. “追问2”则将AD距离的最小值转化为点到直线的距离. 在一般化的“问题2”中,局部来看,C是点,整体来看,C点就是直线MN,C点的旋转就是直线MN的旋转,由一一对应得到D的轨迹是直线,那如何画出点D的轨迹呢?如图7,利用局部特殊位置还原整体,当C是垂足时,垂足C对应垂足D,于是确定旋转之后的直线DE. (2)问中“问题3”描述轨迹的形成时要认清“对应要素”(旋转、位似),而“问题4”是“问题2”的变式,点C在“对应要素”(旋转、位似)的作用下一一对应到点D. 如图9,相应地,整体上看,就是☉O对应☉O′,圆心O按照“对应要素”(以OB为直角边作等腰直角三角形OBO′)找到对应圆心O′,利用旋转相似有△DBO′∽△CBO,从而有 = = .由此确定☉O′的圆心和半径. 同样地,“追问”转化AD长度的取值为圆外一点到圆上点的距离最值问题. 解题是概念和性質的最终应用,函数的对应思想能将此复杂题型破解.

    结束语

    函数的概念是中学数学中最基本、最重要的概念,而“平移、轴对称、旋转”是初中数学学习中最常见的图形变换. 运用函数概念这个普适性描述运动变化的方式去理解“平移、轴对称、旋转”的运动,能帮助学生认清客观世界中的“位置关系”“数量关系”的产生过程,这是一种“全局”的数学思维方式. 初中阶段的学生仍处于“直觉”思维到“理性”思维的成长期,需要教师用好教材中的活动素材去引导,让他们在体验、经历中揭示运动的变化规律,领悟到用运动变化的眼光看世界的真谛.

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