学材再建构：在思想渗透、方法引领中整体架构

    徐晓蓉

    [摘? 要] “学材再建构”就是从学生实际出发，在认真研究的基础上，对教材进行合理的增、删、调整等，引导学生整体架构自己的知识体系和结构，从而成为数学教学中涵育学生核心素养的重要方向和主要途径.

    [关键词] 整体架构;数学思想;方法引领;活动经验

    《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：“……注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”并建议“教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造”[1]. “学材再建构”就是依据《标准》，从学生实际出发，在认真研究的基础上，重组教材并建构适合的“学材”，引导学生整体架构自己的知识体系和结构，从而成为数学教学中涵育学生核心素养的重要方向和主要途径. 2020年1月14日，在“广西初中数学品质课堂建设培训活动”中，笔者认真聆听了施俊进老师执教的“直线和圆的位置关系”一课及“例谈初中数学‘学材再建构研究”的专题讲座. 施老师重视数学思想的渗透，研究方法的引领，引导学生从知识、能力、思维等多方面架起结构，体现了“学材再建构”的基本理念和价值追求. 现将教学设计、点评分析，以及反思启示整理成文，与各位同行交流.

    教学过程简述及点评

    环节一：回顾复习，以待类比

    练习：⊙O的直径为6 cm，点P为平面上的一点.分别由OP的长，判断点P和⊙O的位置关系（OP=2 cm，OP=3 cm，OP=4 cm）.

    追问：点和圆的位置关系有哪几种？你是如何判断的？我们是如何研究点和圆的位置关系的？

    点评? 分别从知识和方法上抓住了知识的“生长点”与“延伸点”，通过“以题理知”“问题诱思”，回顾旧知及其研究过程和研究方法，进而为类比研究新知做好准备. “以题理知”有别于常规的泛泛而谈的复习方式（仅复习知识内容），有利于学生在解决具体问题（根据新旧知识之间的内在联系而编制）的过程中主动回忆旧知，快速集中注意力;“问题诱思”又注重了研究方法和过程的引领，调动了学生自主类比學习新知的积极性.

    环节二：操作思考，探究归纳

    （1）观察太阳升起的过程，地平线（看作一条直线）与太阳（看作一个圆）有哪几种位置关系？由此能得出直线和圆的位置关系吗？

    （2）操作演示：线与圆相对运动（借助实物）.

    追问：在直线与圆相对运动的过程中，共有哪几种位置关系？直线与圆有公共点的个数是如何变化的？

    （3）合作探究：①在直线与圆相对运动的过程中，除了公共点的个数发生变化外，还涉及哪些量变化？如何用数量之间的关系来描述这些位置关系？②类比点和圆的位置关系的相关内容，说说直线和圆的位置关系的相关内容，并完成表1（设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r）.

    追问：①直线和圆的各种位置关系在生活中随处可见，你还能举出一些生活中相交、相切、相离的实例吗？②直线和圆的三种位置关系，与“点和圆的三种位置关系”相比，有何异同点？这两者之间有何联系？

    点评? 从生活中举出直线和圆的位置关系的实例（太阳升起的过程）以及动手操作探索直线（直尺）和圆（钥匙扣）的位置关系出发，从直线和圆的相对运动（移动直尺或钥匙扣）引出（感受）直线和圆的三种位置关系. 整个探索活动分为四个层次，第一层次是分别通过“操作与思考”（在具体操作演示后，教师通过问题来引领），引导学生感受直线和圆的位置关系的变化会引发“直线和圆的公共点的个数的变化”和“圆心到直线的距离的变化”;第二层次是探索“直线和圆的公共点的个数的变化”和“圆心到直线的距离的变化”之间的关系;第三层次是归纳直线和圆的三种位置关系，介绍相交、相切和相离等有关概念;第四层次是探索“数量关系”和“位置关系”之间的联系[2].

    学生积极参与这四个层次的探索活动，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想;在“做”的过程和“思考”的过程中逐步积累数学活动经验（体现了“做数学”的教育理念和原则）.

    另外，通过填表和反思——“直线和圆的三种位置关系”与“点和圆的三种位置关系”相比，有何异同点？这两者之间有何联系？——引导学生找到“直线和圆的位置关系”和“点和圆的位置关系”的联系与区别，使得学生进一步理解为何将“直线和圆的位置关系”转化为“点和圆的位置关系（即圆心到直线的垂线段的垂足）”，明确了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系，有助于学会数学思考、感悟理性精神.

    环节三：分层巩固，理解掌握

    （1）判断正误：①圆的切线只有一条;②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切;③线段AB与⊙O无公共点，则直线AB与⊙O相离. （追问：有几种不同的方法来判定直线与圆的位置关系？判定时要注意什么？）

    （2）⊙O的直径为10，圆心到直线l的距离为d.

    ①若d=5，则直线l与⊙O有______个公共点，它们的位置关系为______;

    ②点A在直线l上，OA=5，则直线l与⊙O的位置关系为______. （追问：若OA=4或6呢？）

    （3）直线l与半径为r的⊙O相交，圆心到直线l的距离为5，则r的取值范围为______.

    （4）已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5 cm，以M为圆心、r为半径作⊙M. 当r分别为2 cm，4 cm，2.5 cm时，⊙M与直线OA有怎样的位置关系？为什么？（追问：①你是怎么判断的？用到了哪些知识？②若⊙M与射线OA有两个交点，则r的取值范围是什么？）

    （5）如图1，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域.

    ①A城是否会受到这次台风的影响？为什么？②若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长.

    点评? 通过分层练习，不仅使学生多维度地认识到直线和圆的位置关系，而且增强了思维严密性. 通过练习的分层（特别是题后的“追问”），使得大部分学生比较好地理解了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系，对于少部分有余力的学生有了达到一定高度的弹性目标，从而最大限度地满足学生个体差异发展的需要，让不同的学生得到不同的发展.

    环节四：回顾总结，反思提升

    （1）直线和圆有怎样的位置关系？直线和圆的三种位置关系和数量关系之间有怎样的内在联系？

    （2）通过学习，你积累了哪些重要的数学方法？

    （3）如果让你自主探究两圆的位置关系，简要说说你的探究思路或过程.

    共同总结，并完善板书如图2.

    点评? 引导学生从知识、技能、方法、思想、情感等多方面进行自主反思内化，从整体上架起结构，形成“结构性板书”.这种包含了知识研究的基本内容和思想方法的“结构性板书”，突出了“与圆有关的位置关系”的知识体系和知识之间的内在联系，有利于学生整体把握相关知识和方法，力求实现“智慧不是别的，而是一种组织得很好的知识结构（教育家乌申斯基语）”.虽然《标准》没有将“圆和圆的位置关系”列入目标要求，但是学生有了对于点和圆、直线和圆的位置关系的学习基础，对于圆和圆的位置关系，研究方法和前两者是一脉相承的，都是从几何特征（交点个数）和代数特性（圆心的距离和半径的关系）两个角度考虑. 考虑到研究内容和研究方法的连贯性，在课堂的最后让学生类比前两者的位置关系，简述选学内容“圆和圆的位置关系”的探究思路或过程.有利于学生进一步体会其中的研究方法;有利于学生感悟数学思想，掌握学习方法，积累数学活动经验;有利于增强学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，使学生养成良好的学习习惯，促进学生的发展.

    启示和思考

    1. 从课堂的教学设计看出执教者之用心

    一是将直观感知和实验操作相结合，即利用直观操作，发现直线和圆之间的位置关系（那么圆和圆的位置关系也是如此）. 突出了“做中学”的教育理念和原则.

    二是数学思想方法的渗透. 分类的思想不必多说. 另外，通过对图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系的理解，圆和直线之间的位置关系从量变到质变等，对学生进行辩证唯物主义观点的教育，良好的個性品质得到发展.

    三是突出研究方法的引导. 通过类比的方法自主研究学习“直线和圆的位置关系”（有了点和圆的位置关系的学习基础，对于“直线和圆的位置关系”，与“点和圆的位置关系”的研究方法是一脉相承的）[3].

    正所谓“知识诚可贵，技能价更高;若为思想（方法）故，二者兼可退”. （改编自裴多菲的《自由与爱情》）

    2. 从课堂的生成过程看出执教者之匠心

    一是充分考虑到研究内容和研究方法的连贯性，注重了知识的结构和体系，引导学生感受到数学的整体性，体会到数学知识之间的关联.

    二是积极转变数学学习的学习方式，变“听”数学为“做”数学，变“被动接受”为“主动探究”. 注重引导学生通过“做中学”“学中思”“思中悟”“悟中生（生成、生长）” 的过程，体验发现的乐趣，感悟数学的真谛，发展数学思维和智慧，提高实践能力和创新意识，不断积累数学基本活动经验，并逐步感悟数学思想方法（显然是提高学生数学素养的重要标志）.

    三是通过“问题引领”（体现教师的“引导”作用）追求“学法三结合”的深度. 教师通过“问题引领”，引导学生积极思考、探索，并且始终让学生保持个人在独立学习（画图、观察、表达、思考、实践等）. 小组学习和全班学习都是建立在个人独立学习的基础上进行的，追求了“个人学习、小组学习和全班学习”有机、灵活、交替进行的学习方式（即“学法三结合”）的深度，使学生成为学习的主体，逐步学会学习.

    3.？摇关于“学材再建构”

    教材作为学生学习的资源，是有生成性的，当然它的生成性要借助教师来实现. 但教学有法，教无定法，贵在得法. 在教学“与圆有关的位置关系”这部分内容时，执教者依据《标准》，从实际出发，在认真研究的基础上，合理进行“学材再建构”. 通过类比“点和圆的位置关系”进行研究“直线和圆的位置关系”;课堂最后将选学内容“圆和圆的位置关系”提出来（花时3分钟），不是片面追求内容的深度、问题的难度和解题的技巧，而是注重于介绍重要的数学概念、数学思想和方法. 这样既能面向全体学生，又考虑到学生发展的差异. 在保证基本要求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展，充分体现了教师发挥自己的教学创造性（从板书设计也可看出）. 课堂中能用恰当的思维方式（特别是在“思想渗透”“方法引领”中整体架构体系结构）将自己再建构的“学材”呈现给学生，使他们便于学、乐于学. 体现了不仅要“教教材”，更要“用教材教”的教材观.

    4. 通过类比的方法自主研究

    对于选学内容“圆和圆的位置关系”的具体教学，可置于数学拓展课程中并加以实施. 具体实施时，完全让学生自主类比研究点和圆、直线和圆的位置关系. 即先让学生通过操作，探索圆和圆的不同位置关系;再从两圆半径、圆心距出发，让学生自主寻找两圆具有不同的位置关系时它们之间的数量关系，充分体现研究问题的类比的方法. 为此，教师要放手让学生自主设计探究步骤、探究方法和探究思路. 在整个过程中，教师既要关注学生的探究结果，又要关注学生的探究过程，更要鼓励并引导学生充分利用“探究”过程，积累数学活动经验、积极展示思考过程、交流反思收获体会，乃至激发创造潜能.

    5. 要重视信息技术的应用

    课堂上除了让学生直观操作外，还可以通过计算机软件让图形动起来（有条件的话）. 在动态变化中发现直线和圆的位置关系，通过测量发现与位置关系相对应的数量关系（在动态变化中发现图形的性质）. 合理、有效地使用计算机和有关软件，可以提高教学效益. 当然，在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计. 本节“结构性板书”给人留下了深刻的印象，不仅实现了学生的思维与教学过程的同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络，而且特别是在知识结构和思想方法引领的统整中，有利于学生自主架构起整体的认知体系和认知结构.

    参考文献：

    [1]中华人民共和国教育部制订. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2]杨裕前，董林伟. 义务教育教科书教师教学用书（九年级上册·数学）（苏科版）[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2014.

    [3]课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著. 义务教育教科书教师教学用书（九年级上册·数学）（人教版）[M]. 北京：人民教育出版社，2014.