摭谈“替代概念”在高中数学教学中的“角色扮演”
倪 进
概念是反映客观事物特有属性的思维形式，是思维的最基本的单位.而数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学学科系统的精髓和灵魂，也是对数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性.笔者通过研究发现，学生在形成正确概念的过程中，可能会形成一种中间概念，即“替代概念”，下文将就此进行相关阐述.
1 “替代概念”的界定及合理性
文［1］指出，学生在学习数学概念的过程中，他们所具有的概念，无论这是一种在学习前就已形成的“质朴概念”(native conception)，或是在各种情景、包括在学习过程中发展起来的“非标准概念”(noncanonical conception)，都是建构活动的产物，从而都有一定的合理性，特别是，这些概念很可能是由于不同的认识方式所造成的，从而就不应简单看做纯粹的“错误概念”，勿宁说，这构成了与科学家的概念(这即是所谓的“标准概念”)相“平行”的另一类“替代概念”(alternative conceptions).
具体而言，如果学生在新的学习活动中未能很好地利用自身已有的知识和经验，特别是，如果教师也未能帮助学生较好地去实现对概念的形式定义与其原先具有的直观形象和经验的必要整合，那么形式定义的学习在最初往往就只是学生原有的心理表征中加入了一个新的成分，从而形成标准概念的替代物——替代概念.并且有时学生已有的质朴概念与相应的形式定义构成了直接的矛盾，而学生自身对此却没有自觉的认识，“顽固不化”之后会导致形成“规律性错误”.按照认知心理学的研究，这里所说的“规律性错误”事实上具有一定的合理性，甚至更应该被看成认识发展过程中必不可缺的一个重要环节，显然不能加以全盘否定.“替代概念”的形成过程及发展方向如下图所示.
2 “替代概念”的呈现及转化
在高中数学中，概念教学的重要性不言而喻.但正如上文所述，高中生在学习数学概念的过程中往往会产生相对应的“替代概念”，从而产生规律性错误，导致学习障碍，影响了数学知识的掌握及数学能力的提高.所以在概念教学中，应重视各种“替代概念”的产生过程与根源，并且制定正确的转化策略，从而顺利地建构概念.
2.1 重视知识的前后联系，理顺“替代概念”的产生脉络
教育科学研究表明，学生在学习某一数学知识之前，头脑里并非一片空白，尤其是高中学生，他们通过初中数学学科的学习，对部分数学知识的理解和解释，往往有一套自己的观点和想法.这些观点和想法许多时候与正确的概念、科学的思维并无冲突，但有时候与科学的概念或思维方式相去甚远，甚至大相径庭，这就为“替代概念”的滋生提供了温床.所以在课堂教学中，应设法让学生重视知识的前后联系，理清产生脉络.
例如，初中学生在进入高中学习之前，已经学过了函数概念.但初中时的函数概念是建立在连续变量的基础上的，还停留在十八世纪人们的认识程度上.函数这一概念体现了数学高度抽象化、逻辑化、形式化的特点，学生由初中的函数概念要转换成高中由映射角度出发的函数概念有着相当的困难.在此过程中，有的学生会产生函数概念的“替代概念”，即：
设在一个变化过程有两个变量x,y，如果对于x的每一值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数.函数有且只有一个统一的表达式.
这样一来，在高中函数的概念教学中，学生始终不能理解常数函数和分段函数为何也可以作为函数的成员.因此在实际教学中，笔者利用数学史上有关函数概念的大讨论以及函数概念的几次发展，并结合高中函数概念的教学，让学生去争鸣、去探究，及时加以总结，同时指明学生所具有的函数的“替代概念”的合理性和滞后性，这样可使初高中函数知识浑然一体，又可促使学生所对应的“替代概念”向高中函数概念转化.
2.2 重视“替代概念”多样性，正确解剖“病灶”
由于学生主体之间认知结构的多样性，其已有图式以及信息加工的方式也各具特点，因此其概念学习均呈现出丰富多彩的特色，策略演变与选取也具有多种可能的方向，所产生的“替代概念”亦可能各不相同.
例如，在高中数学新教材必修3《概率》的新课教学时，笔者针对有的学生对概念理解肤浅，对数学概念的形式、概念的内涵和外延不甚了解或一知半解，造成对概念的“假性理解”，产生概念的理解“偏差”.出现了以下几种“替代概念”：
(1)概率值是所有频率的平均值；
(2)概率值是实验次数足够大时的所有频率的平均值；
(3)概率值是实验次数足够大时频率的近似值；
(4)概率值是当次数n→+∞时，频率mn趋近的常数.
在实际数学教学中，笔者利用书上的例题，让学生与教师组成学习共同体，经过激烈地讨论与协作，针对以上的“替代概念”，抓住其“病灶”所在，分析其产生根源，使学生达成对概率概念的共识.
2.3 重视数学语言的严谨性，解剖“替代概念”的言语逻辑
学生在学习数学概念或教师在概念教学时，常利用学生自身已有的生活知识与经验，即利用已有的朴素概念去说明或描述正在学习的数学概念.于是在此基础上就产生了用“生活语言”去描述“替代概念”，这给科学的数学概念教学带来不可忽视的、也可能是消极的影响.
例如，为了帮助学生较好地掌握极限的概念，我们无疑应充分利用学生已有的知识和经验，特别是，在对极限的概念进行描述时，我们不可避免地会用到“趋近”、“接近于”等日常用语——事实上，甚至连“极限”这一术语本身也是从自然语言中直接借用的——而这对于调动学生从日常生活中积累起来的相关经验显然是十分有益的.但正如心理学家维纳所指出的，日常意义在数学中的这种“渗透”也可能造成一些消极的后果，比如就其日常意义而言，“极限”这一概念往往包含“不可超越”的涵义(就如“速度的极限”等).类似的，当我 们用“趋近”、“接近于”等概念来对数列的极限进行说明时，也很容易造成这样的印象：作为一个过程，数列的项永远不可能与其极限相等.这就产生了如下极限概念的“替代概念”：极限值是一个无限接近的常数，且数列的所有各项均不可达到这个常数.
另外，由于学生关于数列的经验主要局限于这样的实例，即其各项是由一个通项公式统一给出的，特别是，这又往往是所谓的单调数列，从而，在新的学习过程中出现以下的情况就不足为奇了，即学生认为以下的数列并非是一个而是两个数列：1，0，12，0，13，0，….而诸多单调数列的实例无疑又进一步加强了关于“数列的项永远不可能与其极限相等”这一不正确的概念.
在极限概念的教学中可适量增加形象的比喻以及实例的教学，减少对概念形式的“纠缠”，即注重实质，适度形式化.从而使学生在认知冲
突中完成头脑中所对应的“替代概念”向正确的概念或思想方法转化.
2.4 正视思维定势，解除“替代概念”
有的学生不能透彻理解数学公式和法则，浮于表面，以偏概全，以自己不正确、不完善的“经验”推而广之，从而形成解题“危机”.下题中学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了以下错误解法.这本质上是受了思维定势的消极影响，从而产生错误的“替代概念”.例题及具体分析如下.
题目 若玪im猲→∞(3an+4bn)=8,玪im猲→∞(6an-bn)=1,求玪im猲→∞(3an+bn)的值.
错解:由玪im猲→∞(3an+4bn)=8,
玪im猲→∞(6an-bn)=1,得=3玪im猲→∞an+4玪im猲→∞bn=8 (1)
6玪im猲→∞an-玪im猲→∞bn=1 (2)(1)×2-(2)得：玪im猲→∞bn=159,并求得：玪im猲→∞an=49,∴玪im猲→∞(3an+bn)=3玪im猲→∞an+玪im猲→∞bn=129+159=3.
此解法错误的原因是解题者有下列的“替代概念”：乘法分配律对极限的加减运算也成立的.而没有对玪im猲→∞an与玪im猲→∞bn的存在加以说明.虽然答案是正确的(由于玪im猲→∞an与玪im猲→∞bn的确是存在的)，但是却不能掩盖正确结论下的错误.
由上所述，“替代概念”在高中数学中是普遍存在的.由于“替代概念”具有“相对稳定性”(顽固性)，更由于其对概念形式定义的学习往往建立在被动的接受与机械的记忆之上，所以如果缺乏必要的引导，那么随着时间的推移，所说的整合(应当指出，这种整合往往是在不自觉的情况下进行的，即主体对此往往并不具有清醒的自我认识)就很可能在错误的方向上得以进行.［1］这就是说，最终所出现的就很可能是错误概念对于形式定义的排斥或改造，从而导致概念的表征和转译失败.所以对“替代概念”的转化值得我们去重视和研究.
参考文献
［1］郑毓信、梁贯成编著.认知科学、建构主义与数学教育［M］.上海：上海教育出版社，2002.
概念是反映客观事物特有属性的思维形式，是思维的最基本的单位.而数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学学科系统的精髓和灵魂，也是对数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性.笔者通过研究发现，学生在形成正确概念的过程中，可能会形成一种中间概念，即“替代概念”，下文将就此进行相关阐述.
1 “替代概念”的界定及合理性
文［1］指出，学生在学习数学概念的过程中，他们所具有的概念，无论这是一种在学习前就已形成的“质朴概念”(native conception)，或是在各种情景、包括在学习过程中发展起来的“非标准概念”(noncanonical conception)，都是建构活动的产物，从而都有一定的合理性，特别是，这些概念很可能是由于不同的认识方式所造成的，从而就不应简单看做纯粹的“错误概念”，勿宁说，这构成了与科学家的概念(这即是所谓的“标准概念”)相“平行”的另一类“替代概念”(alternative conceptions).
具体而言，如果学生在新的学习活动中未能很好地利用自身已有的知识和经验，特别是，如果教师也未能帮助学生较好地去实现对概念的形式定义与其原先具有的直观形象和经验的必要整合，那么形式定义的学习在最初往往就只是学生原有的心理表征中加入了一个新的成分，从而形成标准概念的替代物——替代概念.并且有时学生已有的质朴概念与相应的形式定义构成了直接的矛盾，而学生自身对此却没有自觉的认识，“顽固不化”之后会导致形成“规律性错误”.按照认知心理学的研究，这里所说的“规律性错误”事实上具有一定的合理性，甚至更应该被看成认识发展过程中必不可缺的一个重要环节，显然不能加以全盘否定.“替代概念”的形成过程及发展方向如下图所示.
2 “替代概念”的呈现及转化
在高中数学中，概念教学的重要性不言而喻.但正如上文所述，高中生在学习数学概念的过程中往往会产生相对应的“替代概念”，从而产生规律性错误，导致学习障碍，影响了数学知识的掌握及数学能力的提高.所以在概念教学中，应重视各种“替代概念”的产生过程与根源，并且制定正确的转化策略，从而顺利地建构概念.
2.1 重视知识的前后联系，理顺“替代概念”的产生脉络
教育科学研究表明，学生在学习某一数学知识之前，头脑里并非一片空白，尤其是高中学生，他们通过初中数学学科的学习，对部分数学知识的理解和解释，往往有一套自己的观点和想法.这些观点和想法许多时候与正确的概念、科学的思维并无冲突，但有时候与科学的概念或思维方式相去甚远，甚至大相径庭，这就为“替代概念”的滋生提供了温床.所以在课堂教学中，应设法让学生重视知识的前后联系，理清产生脉络.
例如，初中学生在进入高中学习之前，已经学过了函数概念.但初中时的函数概念是建立在连续变量的基础上的，还停留在十八世纪人们的认识程度上.函数这一概念体现了数学高度抽象化、逻辑化、形式化的特点，学生由初中的函数概念要转换成高中由映射角度出发的函数概念有着相当的困难.在此过程中，有的学生会产生函数概念的“替代概念”，即：
设在一个变化过程有两个变量x,y，如果对于x的每一值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数.函数有且只有一个统一的表达式.
这样一来，在高中函数的概念教学中，学生始终不能理解常数函数和分段函数为何也可以作为函数的成员.因此在实际教学中，笔者利用数学史上有关函数概念的大讨论以及函数概念的几次发展，并结合高中函数概念的教学，让学生去争鸣、去探究，及时加以总结，同时指明学生所具有的函数的“替代概念”的合理性和滞后性，这样可使初高中函数知识浑然一体，又可促使学生所对应的“替代概念”向高中函数概念转化.
2.2 重视“替代概念”多样性，正确解剖“病灶”
由于学生主体之间认知结构的多样性，其已有图式以及信息加工的方式也各具特点，因此其概念学习均呈现出丰富多彩的特色，策略演变与选取也具有多种可能的方向，所产生的“替代概念”亦可能各不相同.
例如，在高中数学新教材必修3《概率》的新课教学时，笔者针对有的学生对概念理解肤浅，对数学概念的形式、概念的内涵和外延不甚了解或一知半解，造成对概念的“假性理解”，产生概念的理解“偏差”.出现了以下几种“替代概念”：
(1)概率值是所有频率的平均值；
(2)概率值是实验次数足够大时的所有频率的平均值；
(3)概率值是实验次数足够大时频率的近似值；
(4)概率值是当次数n→+∞时，频率mn趋近的常数.
在实际数学教学中，笔者利用书上的例题，让学生与教师组成学习共同体，经过激烈地讨论与协作，针对以上的“替代概念”，抓住其“病灶”所在，分析其产生根源，使学生达成对概率概念的共识.
2.3 重视数学语言的严谨性，解剖“替代概念”的言语逻辑
学生在学习数学概念或教师在概念教学时，常利用学生自身已有的生活知识与经验，即利用已有的朴素概念去说明或描述正在学习的数学概念.于是在此基础上就产生了用“生活语言”去描述“替代概念”，这给科学的数学概念教学带来不可忽视的、也可能是消极的影响.
例如，为了帮助学生较好地掌握极限的概念，我们无疑应充分利用学生已有的知识和经验，特别是，在对极限的概念进行描述时，我们不可避免地会用到“趋近”、“接近于”等日常用语——事实上，甚至连“极限”这一术语本身也是从自然语言中直接借用的——而这对于调动学生从日常生活中积累起来的相关经验显然是十分有益的.但正如心理学家维纳所指出的，日常意义在数学中的这种“渗透”也可能造成一些消极的后果，比如就其日常意义而言，“极限”这一概念往往包含“不可超越”的涵义(就如“速度的极限”等).类似的，当我 们用“趋近”、“接近于”等概念来对数列的极限进行说明时，也很容易造成这样的印象：作为一个过程，数列的项永远不可能与其极限相等.这就产生了如下极限概念的“替代概念”：极限值是一个无限接近的常数，且数列的所有各项均不可达到这个常数.
另外，由于学生关于数列的经验主要局限于这样的实例，即其各项是由一个通项公式统一给出的，特别是，这又往往是所谓的单调数列，从而，在新的学习过程中出现以下的情况就不足为奇了，即学生认为以下的数列并非是一个而是两个数列：1，0，12，0，13，0，….而诸多单调数列的实例无疑又进一步加强了关于“数列的项永远不可能与其极限相等”这一不正确的概念.
在极限概念的教学中可适量增加形象的比喻以及实例的教学，减少对概念形式的“纠缠”，即注重实质，适度形式化.从而使学生在认知冲
突中完成头脑中所对应的“替代概念”向正确的概念或思想方法转化.
2.4 正视思维定势，解除“替代概念”
有的学生不能透彻理解数学公式和法则，浮于表面，以偏概全，以自己不正确、不完善的“经验”推而广之，从而形成解题“危机”.下题中学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了以下错误解法.这本质上是受了思维定势的消极影响，从而产生错误的“替代概念”.例题及具体分析如下.
题目 若玪im猲→∞(3an+4bn)=8,玪im猲→∞(6an-bn)=1,求玪im猲→∞(3an+bn)的值.
错解:由玪im猲→∞(3an+4bn)=8,
玪im猲→∞(6an-bn)=1,得=3玪im猲→∞an+4玪im猲→∞bn=8 (1)
6玪im猲→∞an-玪im猲→∞bn=1 (2)(1)×2-(2)得：玪im猲→∞bn=159,并求得：玪im猲→∞an=49,∴玪im猲→∞(3an+bn)=3玪im猲→∞an+玪im猲→∞bn=129+159=3.
此解法错误的原因是解题者有下列的“替代概念”：乘法分配律对极限的加减运算也成立的.而没有对玪im猲→∞an与玪im猲→∞bn的存在加以说明.虽然答案是正确的(由于玪im猲→∞an与玪im猲→∞bn的确是存在的)，但是却不能掩盖正确结论下的错误.
由上所述，“替代概念”在高中数学中是普遍存在的.由于“替代概念”具有“相对稳定性”(顽固性)，更由于其对概念形式定义的学习往往建立在被动的接受与机械的记忆之上，所以如果缺乏必要的引导，那么随着时间的推移，所说的整合(应当指出，这种整合往往是在不自觉的情况下进行的，即主体对此往往并不具有清醒的自我认识)就很可能在错误的方向上得以进行.［1］这就是说，最终所出现的就很可能是错误概念对于形式定义的排斥或改造，从而导致概念的表征和转译失败.所以对“替代概念”的转化值得我们去重视和研究.
参考文献
［1］郑毓信、梁贯成编著.认知科学、建构主义与数学教育［M］.上海：上海教育出版社，2002.
