由０８年高考安徽卷中的一道题引起的探究
王 峰
2008年高考安徽卷中有这样的一道选择题：设(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8，则a0,a1,…,a8中奇数的个数为 .
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.
由于a0,a1,…,a8都是二项式系数，故考生大都是将它们翻译成数学式子后通过计算而获解的，当然若利用组合数性质Cmn=Cn-m猲(m、n∈N+，且m≤n)去处理，则会更快一些.笔者认为本题难度不大，但是它容易使我们产生疑问：二项式展开式的二项式系数的奇偶个数有没有规律性?若有其规律是什么 ?带着这两个问题，笔者作了一番探究，发现有如下几个正确的结论：
结论1 若n=2k-1(k∈N+)，则(a+b)n展开式的二项式系数皆为奇数，即Cr2k-1(0≤r≤2r-1)为奇数.
下面用数学归纳法证明此结论：
(1)当r=0时，结论显然成立.
(2)假设当r=t(0≤t<2k-1)时，结论成立，即Ct2k-1为奇数，则当r=t+1时，Ct+12k-1=(2k-1)!(t+1)!(2k-t-2)!=2k-t-1t+1?
(2k-1)!t!(2k-t-1)!=(2kt+1-1)Ct2k-1.
因为组合数Ct+12k-1、Ct2k-1为整数，所以2kt+1-1必为整数，又2k为偶数，则t+1必为偶数，故可设t+1=2u?k0(k0为奇数)，所以Ct+12k-1=(2k2u?k0-1)，Ct+12k-1=(2k-uk0-1)Ct2k-1.由2k-u为偶数，2k-u猭0为整数以及k0为奇数，故知2k-u猭0必含因数2，即2k-u猭0必为偶数，从而知2k-u猭0-1为奇数，又由归纳假设Ct2k-1为奇数，所以Ct+12k-1为奇数，即当r=t+1时，结论成立.综合(1)(2)知，Cr2k-1(0≤r≤2r-1)为奇数成立.
结论2 若n=2k(k∈N+)，则(a+b)n展开式的二项式系数中除了C0n和Cnn两个数外，其余各数皆为偶数，即Ct2k(1≤r≤2k-1)为偶数.
由结论1知Cr2k-1及Cr-12k-1均为奇数，所以Cr2k=Cr2k-1+Cr-12k-1为偶数.
注：当k=3时，即为08年安徽高考题，由结论2易知选A.
结论3 若n=2k-2(k≥2,k∈N)，则(a+b)n展开式的二项式系数的奇偶数相互交错出现，易知奇数个数为2k-1，偶数个数为2k-1-1.
因为Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2，又由上述结论2知Cr2k-1为奇数，所以Cr2k-2和Cr-12k-2中一奇一偶，从而说明(a+b)2k-2展开式的二项式系数的奇偶数是交错出现的.
结论4 若n=2k-3(k≥3,k∈N)，则(a+b)n展开式的二项式系数按奇、奇与偶、偶的规律交错出现，其中奇数个数为2k-1，偶数个数为2k-1-2.
因Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2=(Cr2k-3+Cr-12k-3)+(Cr-12k-3+Cr-22k-3)=Cr2k-3+2Cr-12k-3+Cr-22k-3，及由结论2知Cr2k-1为奇数，故Cr2k-3和Cr-22k-3必为一奇一偶，又C02k-3，C12k-3都为奇数，因此知结论4成立.
值得注意的是07年高考湖南卷理第15题同本文开头提供的真是如出一辙，若利用上述结论，此道考题就变得如此简单，读者不妨一试.
2008年高考安徽卷中有这样的一道选择题：设(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8，则a0,a1,…,a8中奇数的个数为 .
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.
由于a0,a1,…,a8都是二项式系数，故考生大都是将它们翻译成数学式子后通过计算而获解的，当然若利用组合数性质Cmn=Cn-m猲(m、n∈N+，且m≤n)去处理，则会更快一些.笔者认为本题难度不大，但是它容易使我们产生疑问：二项式展开式的二项式系数的奇偶个数有没有规律性?若有其规律是什么 ?带着这两个问题，笔者作了一番探究，发现有如下几个正确的结论：
结论1 若n=2k-1(k∈N+)，则(a+b)n展开式的二项式系数皆为奇数，即Cr2k-1(0≤r≤2r-1)为奇数.
下面用数学归纳法证明此结论：
(1)当r=0时，结论显然成立.
(2)假设当r=t(0≤t<2k-1)时，结论成立，即Ct2k-1为奇数，则当r=t+1时，Ct+12k-1=(2k-1)!(t+1)!(2k-t-2)!=2k-t-1t+1?
(2k-1)!t!(2k-t-1)!=(2kt+1-1)Ct2k-1.
因为组合数Ct+12k-1、Ct2k-1为整数，所以2kt+1-1必为整数，又2k为偶数，则t+1必为偶数，故可设t+1=2u?k0(k0为奇数)，所以Ct+12k-1=(2k2u?k0-1)，Ct+12k-1=(2k-uk0-1)Ct2k-1.由2k-u为偶数，2k-u猭0为整数以及k0为奇数，故知2k-u猭0必含因数2，即2k-u猭0必为偶数，从而知2k-u猭0-1为奇数，又由归纳假设Ct2k-1为奇数，所以Ct+12k-1为奇数，即当r=t+1时，结论成立.综合(1)(2)知，Cr2k-1(0≤r≤2r-1)为奇数成立.
结论2 若n=2k(k∈N+)，则(a+b)n展开式的二项式系数中除了C0n和Cnn两个数外，其余各数皆为偶数，即Ct2k(1≤r≤2k-1)为偶数.
由结论1知Cr2k-1及Cr-12k-1均为奇数，所以Cr2k=Cr2k-1+Cr-12k-1为偶数.
注：当k=3时，即为08年安徽高考题，由结论2易知选A.
结论3 若n=2k-2(k≥2,k∈N)，则(a+b)n展开式的二项式系数的奇偶数相互交错出现，易知奇数个数为2k-1，偶数个数为2k-1-1.
因为Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2，又由上述结论2知Cr2k-1为奇数，所以Cr2k-2和Cr-12k-2中一奇一偶，从而说明(a+b)2k-2展开式的二项式系数的奇偶数是交错出现的.
结论4 若n=2k-3(k≥3,k∈N)，则(a+b)n展开式的二项式系数按奇、奇与偶、偶的规律交错出现，其中奇数个数为2k-1，偶数个数为2k-1-2.
因Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2=(Cr2k-3+Cr-12k-3)+(Cr-12k-3+Cr-22k-3)=Cr2k-3+2Cr-12k-3+Cr-22k-3，及由结论2知Cr2k-1为奇数，故Cr2k-3和Cr-22k-3必为一奇一偶，又C02k-3，C12k-3都为奇数，因此知结论4成立.
值得注意的是07年高考湖南卷理第15题同本文开头提供的真是如出一辙，若利用上述结论，此道考题就变得如此简单，读者不妨一试.
