关于折叠问题突破策略的举例探究

    季慧

    

    

    

    [摘? 要] 图形折叠是中考数学的难点问题，其中涉及众多几何特性和数学规律，在解析时需要采用合理的方法策略来构建思路.文章以2019年中考的折叠问题为例，探讨折叠问题常用的四种突破策略，并提出相应的教学建议，与读者交流.

    [关键词] 几何折叠;折叠问题;全等;轴对称

    图形折叠是初中数学的重点内容，以其为背景的折叠问题是中考的常见题型，该类问题常借助图形折叠来考查轴对称变换、几何特性、三角形全等、解直三角形等知識，问题综合性较强，解析时可以采用多种方法策略. 下面探究其解析策略，探讨问题教学.

    解析策略举例探究

    折叠问题的核心内容是轴对称，其中的折叠特性也是基于该内容所构建的，而在探究解析时可以采用多种策略，如把握其中的变量与不变量、轴对称的垂直平分关系、图形折叠中的特殊关系与特殊位置等，充分挖掘问题中的隐含信息，构建相应的解题思路.

    策略一：把握折叠中的变量与不变量

    折叠是图形动态变化的过程，在该过程中“变”的是位置，而“不变”的是图形本身所具有的特性，因此在实际解析时可以把握其中的变量与不变量，根据不变量来提取恒定关系，打开解题突破口.

    例1? （2019年江苏省常州市中考卷）如图1，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E.

    （1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是____________;

    （2）EB与ED相等吗？证明你的结论.

    分析? （1）题干给出了图形折叠的过程，根据几何性质和折叠特性可知AE=C′E，由三角形内角和定理可得等角关系，进而可推AC′与BD的平行关系;（2）初步分析EB与ED相等，对于该结论可以由等腰三角形的“等角对等边”来获得，因此可从几何角来切入.

    解? （1）连接AC′，由于AD=C′B，ED=EB，则AE=C′E，由三角形内角和定理可知∠EAC′=∠EC′A=∠EBD=∠EDB，所以AC′∥BD.

    （2）根据折叠特性可知∠CBD=∠C′BD，由于AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，进而可推知∠EDB=∠EBD，则△BED为等腰三角形，有EB=ED.

    策略二：活用轴对称中的垂直平分

    折叠前后的图形关于折痕对称，即折叠所形成的图形为轴对称图形，由轴对称特性“对称轴垂直平分对应点的连线”可提取等长和垂直线段，由该特性可构建相等、垂直关系，有利于确定后续解析的方向.

    例2 （2019年江苏省淮安市中考卷）如图2所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP的值为______.

    分析? 连接PB，交CH于E，根据轴对称特性和三角形内角和定理可得CH垂直平分PB，同时可证PA∥CH，可得出∠BAP=∠BHE，可在Rt△BCH中构建∠HAP的正切关系，从而代入线段长求值.

    解? 连接PB，与CH的交点设为点E，折叠前后的图形关于折痕轴对称，根据轴对称特性可知点E为线段PB的中点，而线段PB⊥CH. 根据条件可推得AH=BH=PH，所以∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，进而可知∠APB=90°. 由PB⊥CH可证PA∥CH，所以∠HAP=∠BHE. 在Rt△BCH中，已知BC=2，BH=■，则tan∠HAP=■=■，即tan∠HAP的值为■.

    策略三：提取折叠图形中的特殊关系

    图形折叠过程中必然涉及一些特殊的图形和特殊关系，例如全等三角形、相似三角形、直角三角形等，根据其对应特性即可提取特殊关系，合理利用其中的特殊关系可以构建解析思路，简化解题过程.

    例3? （2019年广东省深圳市中考卷）如图3所示，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，则EF的线段长为______.

    分析? 过点F作AB的垂线，垂足为点M，根据折叠和等腰直角三角形的性质可知EX=EB=AX=1，∠EXC=∠B=90°，AM=DF=YF=1. 而由勾股定理可知AE=■，进而可推知正方形边长AB的长，以及EM的长，后续利用勾股定理可求出EF的长.

    解? 作FM⊥AB于点M，如图4所示，已知四边形ABCD为正方形，则有∠BAC=∠CAD=45°. 分析图形折叠的过程，可知EX=EB=AX=1，∠EXC=∠B=90°. 在Rt△AEX中使用勾股定理可得AE=■=■. 点D的翻折落点是点Y，则AM=DF=YF=1，可推知正方形的边长AB=FM=■+1，则EM=■-1. 在Rt△EMF中使用勾股定理可得EF=■=■，即EF的线段长为■.

    策略四：讨论折叠中的落点位置

    在图形折叠过程中落点是其较为重要的内容，折叠的落点不同所形成的复合图形也具有较大差异，对于落点不明确的问题则可以对其加以讨论，形成对应几何模型，据此构建相应的解析思路.

    例4? （2019年河南省中考卷）如图5所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=■a. 连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为______.

    分析? 本题目没有明确点B的对应点B′的落点，需要分两种情况加以讨论：①点B′落在AD边上，②点B′落在CD边上. 针对不同的情形需要根据折叠特性及相关几何特性来探究突破.

    解 ①当点B′落在AD边上时，如图6所示，根据矩形性质和折叠特性可知∠BAE=∠B′AE=■∠BAD=45°，则AB=BE，所以■a=1，从而解得a=■.

    ②当点B′落在CD边上时，如图7所示，根据矩形性质可得∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a. 根据折叠过程可得∠B=∠AB′E=90°，AB=AB′=1，EB=EB′=■a，可推知DB′=■，EC=BC-BE=■a. 进一步分析可证△ADB′∽△B′CE，由相似性质可得■=■，从而可解得a1=■，a2=0（舍去）.

    综上可知，a的值为■或■.

    折叠问题教学思考

    上述对折叠问题突破的四种方法策略进行了实例探究，其解析思路和方法技巧具有一定的参考价值，而在实际教学折叠问题时需考虑学情和考情，针对问题特点和学生的学习能力进行教学，下面提出几点教学建议.

    1. 立足數学关系，奠定解题基础

    几何的定理定义是解决折叠问题的基本工具，上述所探讨的四大解题策略涉及几何的轴对称关系、全等关系、垂直平分、几何特性等内容，在教学中需要对这些关系进行梳理. 例如引导学生理解几何折叠过程中隐含的轴对称现象，折叠前后的图形关于折痕对称. 对于其中的折叠特性则需要从线段长、几何角大小和图形形状等方面进行总结阐释. 教师要引导学生关注其中的特殊关系，如直角三角形的三边关系，相似三角形对应边的比的关系等，让学生掌握图形折叠的内在规律，充分联合其中的数学关系来构建思路.

    2. 渗透数学思想，提升折叠价值

    图形折叠问题突破过程中渗透着众多的数学思想，开展折叠问题的数学思想教学可以提升考题的价值.折叠问题建立在空间平面上，其中涉及线段长的数量关系，同时隐含着数学的函数思想、方程思想等.对于以折叠为背景的几何问题，在实际教学中不应局限于基本的几何定理，而应以折叠为基础渗透数学思想方法.例如上述例4的探究中以勾股定理和相似性质为基础，融合方程思想来构建关于参数的解析方程.数学解题应重视其中的思想方法，灵活运用数学思想来指导思路构建，可快速打开解题突破口，这对学生的思维发展是十分有利的.

    3. 关注折叠构造，发展核心素养

    图形折叠是初中数学的重难点内容，其动态过程中隐含着众多“变”与“不变”的关系，教学中若仅通过图形探究很难使学生充分掌握问题的突破方法，也不容易形成折叠问题的突破策略.本文建议教学中应结合具体的折叠实例，从添加辅助线入手来帮助学生掌握折叠问题的构造方法.例如连接对应点，利用连线与折痕的垂直关系来构建直角三角形;完善折叠图形，利用折叠前后的全等关系来提取等量关系.构造图形是初中阶段需要学生重点掌握的方法技巧，对于几何问题的突破至关重要，教师在教学中应重视图形构造，以几何构造为基础来发展学生的构造思想，逐步提升学生的核心素养.

    结束语

    折叠问题的突破策略众多，上述所呈现的只是其中较为常用的几种，而在实际解析时需要根据问题特点、图形结构灵活变通.另外图形折叠中隐含的定理是图形折叠的本质体现，教师在教学中需引导学生深入挖掘，重点体会，融合数学的思想方法来提升学生的数学思维.