曲线运动在各领域中的应用
张统勋
曲线运动在现实中应用较多，本文举例列出社会、生活、科技等领域的一些应用，以期能够帮助同学们更好地理解曲线运动的内容，并能够灵活地应用.
令一、平抛运动
（一）体育运动的应用
例1 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图l所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气阻力的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（）
解析 当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小.由平抛运动规律，联立解得：
（二）公路交通的应用
例2 在发生的交通事故中，碰撞占了相当大的比例，事故发生时，车体上的部分物体（例如油漆碎片、车灯、玻璃等）会因碰撞而脱离车体，位于车辆上不同高度的两个物体散落在地面上的位置是不同的，如图2所示，据此可以测定碰撞瞬间汽车的速度，这对于事故责任的认定具有重要作用，《中国汽车驾驶员》杂志第163期发表的第一篇文章中给出了一个计算碰撞瞬间车辆速度的公式，在式中△L是事故现场散落在路面上的两物体沿公路方向上的水平距离，h1、h2是散落物在车上时的离地高度.只要用米尺测量出事故现场的△L、h1、h2三个量，根据上述公式就能计算出碰撞瞬间车辆的速度.（g取9.8m/s?）你认为上述公式正确吗？若正确，请说明正确的理由；若不正确，请说明不正确的原因.
（三）军事演习的应用
例3 如图3所示，装甲车在水平地面上以速度vo=20m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h=1.8m.在车正前方竖直一块高为2m的长方形靶，其底边与地面接触.枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v=800m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s=90m后停下.装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹.（不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g=10m/s?）
（1）求装甲车匀减速运动时的加速度大小：
（2）当L=410m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离：
（3）若靶上只有一个弹孔，求L的范围.
例4《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图4甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒.某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图4乙所示，若h1=0.8m，ι1=2m，h2=2.4m，ι2=1m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明.（取重力加速度g=10m/s?）可见小鸟不能直接击中堡垒，
二、圆周运动
（一）体育比赛的应用
例1 如图5所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A‘B线，有如图5所示的①②③三条路线，其中路线③是以O'为圆心的半圆，OO'=r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道（所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大），则
A.选择路线①，赛车经过的路程最短
B.选择路线②，赛车的速率最小
C.选择路线③，赛车所用时间最短
D.①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析 路线①的路程为s1=2r+1/2×2πr=2r+πr，路线②的路程为s2=2r+1/2×2π×2r=2r+2πr，路线③的路程为s，=2πr，故选择路线①，赛车经过的路程最短，选项A正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，所以有Fmax=ma，所以运动的
（二）铁路交通的应用
例6 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：（g=10m/s?）
（1）据表中数据，导出h和r关系的表达式，并求出r=44m时h的值？
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值1=1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速度v.（以km/h为单位，结果取整数）（设轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）.
（3）近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高.请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？
解析 （1）由表中数据可知，每组的h与r之积为常数hr=660×50×10-3㎡=33㎡.当r=44m时代人h=75mm.
（2）如图6所示，内、外轨对轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示.速度可采用：①适当增加内外轨的高度差h，②适当增加轨道半径r.
（三）娱乐设施的应用
例7“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模型如图7所示.若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度a不变，则下列说法中正确的是（）
A.摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
B.摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大
C.摩托车对侧壁的压力随高度H增大而增大
D.摩托车对侧壁的压力随高度H增大而减小
解析 经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，选项A错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，即，随H的增大，r增大，线速度增大，选项B正确；向心力与速度一直垂直，不做功，选项C错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，选项D错误.
（四）科学研究中的离心试验
例8 如图8所示是离心试验器的原理图.可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力.离心试验器转动时，被测试者做匀速圆周运动.现观察到图中直线AB（即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角，被测试者对座位的压力是他重力的多少倍？
解析 被实验者做圆周运动所需的向心力由它所受的重力和座位对他的支持力的合力提供，如图9所示.
x：FNcos30°=mrω?
y：FNsin30°=mg
解得：FN=2mg
被实验者对座位的压力和座位对他的支持力是一对作用力与反作用力，所以他对座位的压力大小是他所受重力的2倍.
（五）医疗方面的应用
例9 如图10所示，医学上常用离心分离机加速血液的沉淀，其“下沉”的加速式子中Po、p分别为液体密度和液体中固体颗粒的密度，r表示试管中心到转轴的距离，ω为转轴角速度，由以上信息回答：
（1）当满足什么条件时，“离心沉淀”比“重力沉淀”快？
（2）若距离r=0.2m，离心机转速度n=3000r/min，求a/a'的值.
解析 （1）比较两个加速度a和a'可见离心沉淀比重力沉淀快得多.
（六）在飞行表演中的应用
例10 如图11所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞行.已知飞行员的质量为m，飞行速度试分析飞行员在A、B、C、D四个位置受力情况.
解析在A点受力情况如图12（A）所示，其中F。表示座椅对飞行员的支持力.依牛顿运动定律
在B点（此时飞行员头向下，椅子在其上方），由于，，即只靠重力不足以提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P，如图12（B）所示：P+mg
在C点（此时飞行员头向下，椅子在其上方），受力情况如图12（C）所示，其中T表示安全带对飞行员向上拉力.并有T-mg=
在D点，情况与B点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势.故将由安全带提供向下的压力Q，如图12（D）所示，
曲线运动在现实中应用较多，本文举例列出社会、生活、科技等领域的一些应用，以期能够帮助同学们更好地理解曲线运动的内容，并能够灵活地应用.
令一、平抛运动
（一）体育运动的应用
例1 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图l所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气阻力的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（）
解析 当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小.由平抛运动规律，联立解得：
（二）公路交通的应用
例2 在发生的交通事故中，碰撞占了相当大的比例，事故发生时，车体上的部分物体（例如油漆碎片、车灯、玻璃等）会因碰撞而脱离车体，位于车辆上不同高度的两个物体散落在地面上的位置是不同的，如图2所示，据此可以测定碰撞瞬间汽车的速度，这对于事故责任的认定具有重要作用，《中国汽车驾驶员》杂志第163期发表的第一篇文章中给出了一个计算碰撞瞬间车辆速度的公式，在式中△L是事故现场散落在路面上的两物体沿公路方向上的水平距离，h1、h2是散落物在车上时的离地高度.只要用米尺测量出事故现场的△L、h1、h2三个量，根据上述公式就能计算出碰撞瞬间车辆的速度.（g取9.8m/s?）你认为上述公式正确吗？若正确，请说明正确的理由；若不正确，请说明不正确的原因.
（三）军事演习的应用
例3 如图3所示，装甲车在水平地面上以速度vo=20m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h=1.8m.在车正前方竖直一块高为2m的长方形靶，其底边与地面接触.枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v=800m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s=90m后停下.装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹.（不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g=10m/s?）
（1）求装甲车匀减速运动时的加速度大小：
（2）当L=410m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离：
（3）若靶上只有一个弹孔，求L的范围.
例4《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图4甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒.某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图4乙所示，若h1=0.8m，ι1=2m，h2=2.4m，ι2=1m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明.（取重力加速度g=10m/s?）可见小鸟不能直接击中堡垒，
二、圆周运动
（一）体育比赛的应用
例1 如图5所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A‘B线，有如图5所示的①②③三条路线，其中路线③是以O'为圆心的半圆，OO'=r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道（所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大），则
A.选择路线①，赛车经过的路程最短
B.选择路线②，赛车的速率最小
C.选择路线③，赛车所用时间最短
D.①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析 路线①的路程为s1=2r+1/2×2πr=2r+πr，路线②的路程为s2=2r+1/2×2π×2r=2r+2πr，路线③的路程为s，=2πr，故选择路线①，赛车经过的路程最短，选项A正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，所以有Fmax=ma，所以运动的
（二）铁路交通的应用
例6 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：（g=10m/s?）
（1）据表中数据，导出h和r关系的表达式，并求出r=44m时h的值？
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值1=1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速度v.（以km/h为单位，结果取整数）（设轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）.
（3）近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高.请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？
解析 （1）由表中数据可知，每组的h与r之积为常数hr=660×50×10-3㎡=33㎡.当r=44m时代人h=75mm.
（2）如图6所示，内、外轨对轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示.速度可采用：①适当增加内外轨的高度差h，②适当增加轨道半径r.
（三）娱乐设施的应用
例7“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模型如图7所示.若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度a不变，则下列说法中正确的是（）
A.摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
B.摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大
C.摩托车对侧壁的压力随高度H增大而增大
D.摩托车对侧壁的压力随高度H增大而减小
解析 经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，选项A错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，即，随H的增大，r增大，线速度增大，选项B正确；向心力与速度一直垂直，不做功，选项C错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，选项D错误.
（四）科学研究中的离心试验
例8 如图8所示是离心试验器的原理图.可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力.离心试验器转动时，被测试者做匀速圆周运动.现观察到图中直线AB（即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角，被测试者对座位的压力是他重力的多少倍？
解析 被实验者做圆周运动所需的向心力由它所受的重力和座位对他的支持力的合力提供，如图9所示.
x：FNcos30°=mrω?
y：FNsin30°=mg
解得：FN=2mg
被实验者对座位的压力和座位对他的支持力是一对作用力与反作用力，所以他对座位的压力大小是他所受重力的2倍.
（五）医疗方面的应用
例9 如图10所示，医学上常用离心分离机加速血液的沉淀，其“下沉”的加速式子中Po、p分别为液体密度和液体中固体颗粒的密度，r表示试管中心到转轴的距离，ω为转轴角速度，由以上信息回答：
（1）当满足什么条件时，“离心沉淀”比“重力沉淀”快？
（2）若距离r=0.2m，离心机转速度n=3000r/min，求a/a'的值.
解析 （1）比较两个加速度a和a'可见离心沉淀比重力沉淀快得多.
（六）在飞行表演中的应用
例10 如图11所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞行.已知飞行员的质量为m，飞行速度试分析飞行员在A、B、C、D四个位置受力情况.
解析在A点受力情况如图12（A）所示，其中F。表示座椅对飞行员的支持力.依牛顿运动定律
在B点（此时飞行员头向下，椅子在其上方），由于，，即只靠重力不足以提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P，如图12（B）所示：P+mg
在C点（此时飞行员头向下，椅子在其上方），受力情况如图12（C）所示，其中T表示安全带对飞行员向上拉力.并有T-mg=
在D点，情况与B点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势.故将由安全带提供向下的压力Q，如图12（D）所示，
