加强几何课程的教学 提高解空间几何问题的能力
胡青柏
几何课程的改革，历来是我国教材改革的焦点，自从进入新世纪以来，我国加大了中小学几何课程的改革步伐，采取下移、删减、增加、渗透等多种措施实施几何课程的改革.即将一些简单的几何概念像正方形、矩形、三角形、平行线等下移到小学，让学生从小学开始就感受一些几何知识；删减了几何中一些繁难、重复且不影响学生后续学习的内容，如平几中三角形内、外角平分线性质、立几中有关台体的内容；增加了平面向量和空间向量，成为几何运算和论证的工具，增加了许多与几何相关的生活实例，渗透了几何变换的思想，并将原本在高一(上)开设的立体几何后移到到高二下学期来开设.应该说，通过这样的改革，学生对几何学习的水平会有大幅度的提升，解决几何问题的能力将会增强.但从2006—2008年我省考生在解答立体几何综合题中暴露出来的问题，说明我们的考生在几何的学习方面还存在比较大的差距(满分12分，06年均分2.9分，08年均分3.2分)，下面就这两道立几综合题的解题 思维进行剖析，探讨学生在几何学习方面存在的问题.
2006年试题：如图1，在三棱锥A-BCD=中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜 边，且AD=3,BD=CD=1，另一个侧面是正三角形.(1)求证：AD⊥BC；(2)求二 面角B-AC-D的大小；(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角?若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.
2008年试题：如图2，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1=32，(1)求证：B1C1⊥平面OAH；(2)求二面角O-A1B1-C1的大小.
表面看，两道试题都考查了三棱锥内线线、线面关系与二面角的平面角计算，两者看不上有什么本质上联系，且考生被前一个图形过于简单，辅助线不知如何添设，而后一个图形线条太多，理不清头绪而难于切入求解.这正说明我们的学生空间几何概念的薄弱.他们看不出图形和条件之间的依存关系和相互转换关系.实际上，只要将图1，图2置于两个正方体内，则要求证的线面关系和二面角的计算则会一清二楚了.请看图3和图4.
图1实为图3正方体的一部分，要证AD⊥BC，只要连PD，由BC⊥PD，BC⊥AP，即知BC⊥平面APD，∴BC⊥AD.三步就得结论.要求B-AC-D的平面角，注意到面DAC⊥面PAC，∴只要用90°减去P-AC-B的平面角即可，过B作BH⊥AC于H，连PH.由ABC是等边三角形，∴H为AC中点，这时PH⊥AC，在△PBH中可求得P-AC-B的平面角θ的余弦值玞osθ=33，令B-AC-D的平面角为α，则α=90°-θ，∴玞osα=玞os(90°-θ)=玸inθ=63，∴所求二面角为玜rccos63.
在正方体内，本题的第3问更为简单，因为AC是正方体侧面的对角线，设E存在，则过E作EF⊥PC，连FD，则∠EDF=30°，设EF=FC=x，则DF=EF玹an30°=3x，∴(3x)2-x2=1輝2=12.EC=2EF2=1.即E点存在，它在AC上离C为1处.
可以看出，在上面的解题过程中，许多结论都直接来自于正方体的关系，如果考生能够将图形补成正方体，相信他们都能顺利解答该题.对08年的立几高考题，只要将OA，OB，OC视作正方体过同一顶点O的三条棱，转置后即可构作出如图4的正方体，这时，利用正方体的线面关系，易知OE=OF,∴OH⊥EF,又AH⊥EF，∴EF⊥面OAH，∵EF∥BC∥B1C1，∴B1C1⊥面OAH.为求二面角O-A1B1-C1的平面角，可用多种方法，∵C1在面OAB上的射影为O，若设O-A1B1-C1的平面角为θ，则玞osθ=S△OA1B1猄△C1A1B1，由BB1=CC1=1，A1B1=A1C1=325，B1C1=32,h〢1=332，可得S△OA1B1=94，S△A1B1C1=964，∴玞osθ=94964，=66.另外，也可过O作OM⊥A1B1，连C1M，易知C1M⊥A1B1，∴∠OMC1为所求二面角的平面角，OM=OA1?OB1A1B1=355,
∴玹an∠OMC1=OC1OM=3355=5.∴∠OMC1=玜rctan5.
通过正方体的构造，凸显了试题中几何元素间的位置关系和数量关系，使许多结论成为显然.通过构造正方体，也为用空间向量方法求解这两道几何问题奠定了基础(不会为无法寻找到坐标架而烦恼).考生在这两道题上得分率如此之低，说明我们的考生缺乏这种几何补形，图形整体转置等几何变换思想.高考给了我们很好的启示，要加强几何的衔接教学不仅要注重几何的演绎推理，还要重点提升学生的几何运算能力，对几何图形的变换、重组、拆分以及灵活地选用各种方法解题的能力，只有这样，才能提高几何教学的效率.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
几何课程的改革，历来是我国教材改革的焦点，自从进入新世纪以来，我国加大了中小学几何课程的改革步伐，采取下移、删减、增加、渗透等多种措施实施几何课程的改革.即将一些简单的几何概念像正方形、矩形、三角形、平行线等下移到小学，让学生从小学开始就感受一些几何知识；删减了几何中一些繁难、重复且不影响学生后续学习的内容，如平几中三角形内、外角平分线性质、立几中有关台体的内容；增加了平面向量和空间向量，成为几何运算和论证的工具，增加了许多与几何相关的生活实例，渗透了几何变换的思想，并将原本在高一(上)开设的立体几何后移到到高二下学期来开设.应该说，通过这样的改革，学生对几何学习的水平会有大幅度的提升，解决几何问题的能力将会增强.但从2006—2008年我省考生在解答立体几何综合题中暴露出来的问题，说明我们的考生在几何的学习方面还存在比较大的差距(满分12分，06年均分2.9分，08年均分3.2分)，下面就这两道立几综合题的解题 思维进行剖析，探讨学生在几何学习方面存在的问题.
2006年试题：如图1，在三棱锥A-BCD=中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜 边，且AD=3,BD=CD=1，另一个侧面是正三角形.(1)求证：AD⊥BC；(2)求二 面角B-AC-D的大小；(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角?若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.
2008年试题：如图2，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1=32，(1)求证：B1C1⊥平面OAH；(2)求二面角O-A1B1-C1的大小.
表面看，两道试题都考查了三棱锥内线线、线面关系与二面角的平面角计算，两者看不上有什么本质上联系，且考生被前一个图形过于简单，辅助线不知如何添设，而后一个图形线条太多，理不清头绪而难于切入求解.这正说明我们的学生空间几何概念的薄弱.他们看不出图形和条件之间的依存关系和相互转换关系.实际上，只要将图1，图2置于两个正方体内，则要求证的线面关系和二面角的计算则会一清二楚了.请看图3和图4.
图1实为图3正方体的一部分，要证AD⊥BC，只要连PD，由BC⊥PD，BC⊥AP，即知BC⊥平面APD，∴BC⊥AD.三步就得结论.要求B-AC-D的平面角，注意到面DAC⊥面PAC，∴只要用90°减去P-AC-B的平面角即可，过B作BH⊥AC于H，连PH.由ABC是等边三角形，∴H为AC中点，这时PH⊥AC，在△PBH中可求得P-AC-B的平面角θ的余弦值玞osθ=33，令B-AC-D的平面角为α，则α=90°-θ，∴玞osα=玞os(90°-θ)=玸inθ=63，∴所求二面角为玜rccos63.
在正方体内，本题的第3问更为简单，因为AC是正方体侧面的对角线，设E存在，则过E作EF⊥PC，连FD，则∠EDF=30°，设EF=FC=x，则DF=EF玹an30°=3x，∴(3x)2-x2=1輝2=12.EC=2EF2=1.即E点存在，它在AC上离C为1处.
可以看出，在上面的解题过程中，许多结论都直接来自于正方体的关系，如果考生能够将图形补成正方体，相信他们都能顺利解答该题.对08年的立几高考题，只要将OA，OB，OC视作正方体过同一顶点O的三条棱，转置后即可构作出如图4的正方体，这时，利用正方体的线面关系，易知OE=OF,∴OH⊥EF,又AH⊥EF，∴EF⊥面OAH，∵EF∥BC∥B1C1，∴B1C1⊥面OAH.为求二面角O-A1B1-C1的平面角，可用多种方法，∵C1在面OAB上的射影为O，若设O-A1B1-C1的平面角为θ，则玞osθ=S△OA1B1猄△C1A1B1，由BB1=CC1=1，A1B1=A1C1=325，B1C1=32,h〢1=332，可得S△OA1B1=94，S△A1B1C1=964，∴玞osθ=94964，=66.另外，也可过O作OM⊥A1B1，连C1M，易知C1M⊥A1B1，∴∠OMC1为所求二面角的平面角，OM=OA1?OB1A1B1=355,
∴玹an∠OMC1=OC1OM=3355=5.∴∠OMC1=玜rctan5.
通过正方体的构造，凸显了试题中几何元素间的位置关系和数量关系，使许多结论成为显然.通过构造正方体，也为用空间向量方法求解这两道几何问题奠定了基础(不会为无法寻找到坐标架而烦恼).考生在这两道题上得分率如此之低，说明我们的考生缺乏这种几何补形，图形整体转置等几何变换思想.高考给了我们很好的启示，要加强几何的衔接教学不仅要注重几何的演绎推理，还要重点提升学生的几何运算能力，对几何图形的变换、重组、拆分以及灵活地选用各种方法解题的能力，只有这样，才能提高几何教学的效率.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
